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广东省广州市南沙区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题（原卷版）
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这是一份广东省广州市南沙区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题（原卷版），文件包含单元质量评价六第6章试卷教师版2023-2024沪教版化学九年级下册docx、单元质量评价六第6章试卷学生版2023-2024沪教版化学九年级下册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
1. 实数4的算术平方根是（ ）
A. －2B. 2C. ±2D. ±4
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴4算术平方根是2．
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】∵点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴该点在第二象限．
故选B．
3. 某灯具厂从万件同批次产品中随机抽称了件进行质检，发现其中有件不合格，估计该厂这万件产品中不合格品的件数大约是（ ）
A. 件B. 件C. 件D. 件
【答案】C
【解析】
【分析】首先可以求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可求出这一万件产品中不合格品约为多少件．
【详解】解：某灯具厂从万件同批次产品中随机抽称了件进行质检，发现其中有件不合格，
不合格率为：，
估计该厂这一万件产品中不合格品为（件）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用样本估计总体的思想，解题时首先求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．
4. 下列各图中，与是同位角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可．
【详解】解：A、与是内错角，故该选项不符合题意；
B、与是同旁内角，故该选项不符合题意；
C、与是同位角，故该选项符合题意；
D、与不是同位角，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．
5. 若，则下列不等式中不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式性质判断即可．
【详解】解：A.若，根据不等式的性质②得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
B．若，根据不等式的性质①得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
C．若，令，，原变形不成立，故本选项符合题意；
D．若，根据不等式的性质①得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
6. 已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把是代入方程得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解答的关键是明确方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7. 过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【详解】解：A．没有过点，故该选项不符合题意；
B．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
C．为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
D．没有垂直于，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．
8. 无理数的大小在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】B
【解析】
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A落在，点B落在，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A的坐标变化规律即可得到点的坐标．
【详解】解：将点的横坐标加，纵坐标加得到，
∴线段AB向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到，
∴将点的横坐标加，纵坐标加得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化之平移，掌握坐标变化的规律是解题的关键．
10. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①对顶角相等；
②同位角相等；
③同一平面内，如果直线，直线，那么；
④同一平面内，如果直线，直线，那么；
⑤同一平面内，如果直线与相交，直线与相交，那么与相交．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角、平行线的性质、平行公理以及两直线的位置关系判断即可．
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②两直线平行，同位角相等，故此命题是假命题；
③同一平面内，如果直线，直线，那么，是真命题；
④同一平面内，如果直线，直线，那么，是真命题；
⑤同一平面内，如果直线与相交，直线与相交，那么与相交或平行，故本命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 如图，，，那么的大小是______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，然后进行计算解答．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12. 立方根等于的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据立方根平方根的定义求出立方根等于的数，然后就可以解决问题．
【详解】解：的立方是，
立方根等于的数是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了立方根的定义和性质，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
13. 已知甲、乙、丙、丁共有课外书本，又知甲、乙、丙、丁的课外书制作的条形统计图的高度之比是∶∶∶，则丙的课外书的本数是______．
【答案】本
【解析】
【分析】用总数乘丙的课外书所占比例即可．
【详解】解：（本），
即丙的课外书的本数是本．
故答案为：本．
【点睛】此题考查了条形统计图，弄清题意，正确列出算式是解本题的关键．
14. 已知，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】方程组两方程相加即可求出所求．
【详解】解：，
①＋②得：，
整理得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂线段最短可得当轴时，取最小值．根据点的坐标即可得点的坐标．
【详解】解：如图，当轴时，取最小值．
，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短．
16. 已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据y系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
①+②，可得3x＝15，
解得x＝5，
把x＝5代入①，解得y＝2，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查二元一次方程组解法，掌握二元一次方程组的解题方法，能灵活选择加减消元和代入消元法解题是关键．
19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】无解，见解析
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图
所以，不等式组的解集是无解．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组解集，熟练掌握解一元一次不等式组方法是解题的关键．
20. 如图，是的平分线，，请你说出的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由角平分线的性质可得，根据等量关系可得，再根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：是的平分线，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定：内错角相等，两直线平行．
21. 某校为进一步落实“双减”政策，通过对本校学生进行调查了解学生的体育兴趣，组建更多符合学生爱好需求的体育社团，根据调查结果，最受学生喜爱的体育项目有：篮球、足球、羽毛球、乒乓球和其他共五类，根据调查的部分数据，绘制的统计图如下：
根据所给的信息解答下列问题：
（1）______，______；
（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（3）若全校约有名学生，请估计喜欢羽毛球的人数约为多少人．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）人
【解析】
【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，用乘以其他所占的百分比求出，用羽毛球的人数除以总人数即可得出的值；
（2）先求出足球的人数，再补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以喜欢羽毛球的人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：调查的总人数有：（人），
；
，即；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：足球的人数有：（人），
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：根据题意得：
（人），
答：估计喜欢羽毛球的人数约为人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 某校为落实《青少年体育活动促进计划》，为学生“每天体育锻炼1小时”创造更好的条件，计划从体育用品店购进一批足球、篮球和排球．已知同一种球单价相同，一个排球单价为80元，若购买3个足球和2个排球共需400元，购买2个足球和3个篮球共需610元．
（1）求购买一个足球、一个篮球和一个排球共需多少元？
（2）学校根据需求计划从体育用品店一次性购买三种球共100个，且购买的三种球的费用不超过12000元，求该学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）310元
（2）57个
【解析】
【分析】（1）根据费用可得等量关系：购买3个足球和2个排球共需400元，购买2个足球和3个篮球共需610元，带值求出结果即可；
（2）购买三种球的费用不超过12000元，列出不等式求得解集得到相应的解，从而求解．
【小问1详解】
解：∵一个排球单价为80元， 3个足球和2个排球共需400元，
设一个足球x元，列出方程：，解得，
∵购买2个足球和3个篮球共需610元，
设一个篮球y元，列出方程：，解得，
元，
答：购买一个足球、一个篮球和一个排球共需310元．
【小问2详解】
解：设学校最多可以购买z个篮球，足球和排球共（100－z）个
根据题意列出不等式：，
解得，
∵z为整数，
∴z取满足条件的最大整数57；
答：该学校最多可以购买57个篮球．
【点睛】本题考查一元一次方程组及一元一次不等式的应用，得到相应费用的关系是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，经平移得到，点，，的对应点分别为，，．
（1）写出的三个顶点的坐标；
（2）求的面积；
（3）请在平面直角坐标系中画出．
【答案】（1），，
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的位置可得坐标；
（2）利用三角形面积公式计算即可；
（3）根据平移的性质可得图形．
【小问1详解】
解：由图形知，，，；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图平移变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
24. 在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
（1）请写出一个大小在之间的无理数：______；
（2）请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；
（3）如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；
（4）根据（3）的条件，化简：．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）估算无理数的大小，写出一个答案即可；
（2）利用题中给出的方法画图，确定等腰直角三角形的直角边为，则斜边，再从数轴上画出来即可解决问题；
（3）根据，可得点所表示的数；
（4）根据绝对值的意义化简可得答案．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：如图所示，点即为所求；
∵AM=，
∴AD=AM=．
∴点D表示无理数是；
【小问3详解】
解：点表示，，如果点表示实数，
，
点表示的实数为；
【小问4详解】
解：由（3）知：，
．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理，在数轴上表示无理数，绝对值的意义，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼法求无理数是解题的关键．
25. 如图，，点，分别是直线和上的点．
（1）如图，若的平分线交直线于点，，求；
（2）点是两平行线间的一点．
①如图，若和的平分线交于点，请说明直线和的位置关系；
②如图，若，若和的平分线交于点，求的值．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）由平角的定义可求得，再由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可得；
（2）①由平行线的性质可得，再由角平分线的定义得∠HEF＝∠AEF，，从而可求得，利用三角形的内角和即可求的度数，即可得到结论；
②过作，过作，从而可得，ABONCD，得，，即有，同理得，再由角平分线的定义得，∠CFO＝∠CFH，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，
，
，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
解：①，理由如下：
如图2，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
②过点作，过点作，如图3，
，
，，
，，
，
同理：，
和的平分线交于点，
，，
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系
1. 实数4的算术平方根是（ ）
A. －2B. 2C. ±2D. ±4
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴4算术平方根是2．
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】∵点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴该点在第二象限．
故选B．
3. 某灯具厂从万件同批次产品中随机抽称了件进行质检，发现其中有件不合格，估计该厂这万件产品中不合格品的件数大约是（ ）
A. 件B. 件C. 件D. 件
【答案】C
【解析】
【分析】首先可以求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可求出这一万件产品中不合格品约为多少件．
【详解】解：某灯具厂从万件同批次产品中随机抽称了件进行质检，发现其中有件不合格，
不合格率为：，
估计该厂这一万件产品中不合格品为（件）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用样本估计总体的思想，解题时首先求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．
4. 下列各图中，与是同位角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可．
【详解】解：A、与是内错角，故该选项不符合题意；
B、与是同旁内角，故该选项不符合题意；
C、与是同位角，故该选项符合题意；
D、与不是同位角，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．
5. 若，则下列不等式中不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式性质判断即可．
【详解】解：A.若，根据不等式的性质②得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
B．若，根据不等式的性质①得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
C．若，令，，原变形不成立，故本选项符合题意；
D．若，根据不等式的性质①得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
6. 已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把是代入方程得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解答的关键是明确方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7. 过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【详解】解：A．没有过点，故该选项不符合题意；
B．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
C．为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
D．没有垂直于，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．
8. 无理数的大小在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】B
【解析】
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A落在，点B落在，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A的坐标变化规律即可得到点的坐标．
【详解】解：将点的横坐标加，纵坐标加得到，
∴线段AB向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到，
∴将点的横坐标加，纵坐标加得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化之平移，掌握坐标变化的规律是解题的关键．
10. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①对顶角相等；
②同位角相等；
③同一平面内，如果直线，直线，那么；
④同一平面内，如果直线，直线，那么；
⑤同一平面内，如果直线与相交，直线与相交，那么与相交．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角、平行线的性质、平行公理以及两直线的位置关系判断即可．
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②两直线平行，同位角相等，故此命题是假命题；
③同一平面内，如果直线，直线，那么，是真命题；
④同一平面内，如果直线，直线，那么，是真命题；
⑤同一平面内，如果直线与相交，直线与相交，那么与相交或平行，故本命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 如图，，，那么的大小是______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，然后进行计算解答．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12. 立方根等于的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据立方根平方根的定义求出立方根等于的数，然后就可以解决问题．
【详解】解：的立方是，
立方根等于的数是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了立方根的定义和性质，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
13. 已知甲、乙、丙、丁共有课外书本，又知甲、乙、丙、丁的课外书制作的条形统计图的高度之比是∶∶∶，则丙的课外书的本数是______．
【答案】本
【解析】
【分析】用总数乘丙的课外书所占比例即可．
【详解】解：（本），
即丙的课外书的本数是本．
故答案为：本．
【点睛】此题考查了条形统计图，弄清题意，正确列出算式是解本题的关键．
14. 已知，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】方程组两方程相加即可求出所求．
【详解】解：，
①＋②得：，
整理得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂线段最短可得当轴时，取最小值．根据点的坐标即可得点的坐标．
【详解】解：如图，当轴时，取最小值．
，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短．
16. 已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据y系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
①+②，可得3x＝15，
解得x＝5，
把x＝5代入①，解得y＝2，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查二元一次方程组解法，掌握二元一次方程组的解题方法，能灵活选择加减消元和代入消元法解题是关键．
19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】无解，见解析
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图
所以，不等式组的解集是无解．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组解集，熟练掌握解一元一次不等式组方法是解题的关键．
20. 如图，是的平分线，，请你说出的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由角平分线的性质可得，根据等量关系可得，再根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：是的平分线，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定：内错角相等，两直线平行．
21. 某校为进一步落实“双减”政策，通过对本校学生进行调查了解学生的体育兴趣，组建更多符合学生爱好需求的体育社团，根据调查结果，最受学生喜爱的体育项目有：篮球、足球、羽毛球、乒乓球和其他共五类，根据调查的部分数据，绘制的统计图如下：
根据所给的信息解答下列问题：
（1）______，______；
（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（3）若全校约有名学生，请估计喜欢羽毛球的人数约为多少人．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）人
【解析】
【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，用乘以其他所占的百分比求出，用羽毛球的人数除以总人数即可得出的值；
（2）先求出足球的人数，再补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以喜欢羽毛球的人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：调查的总人数有：（人），
；
，即；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：足球的人数有：（人），
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：根据题意得：
（人），
答：估计喜欢羽毛球的人数约为人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 某校为落实《青少年体育活动促进计划》，为学生“每天体育锻炼1小时”创造更好的条件，计划从体育用品店购进一批足球、篮球和排球．已知同一种球单价相同，一个排球单价为80元，若购买3个足球和2个排球共需400元，购买2个足球和3个篮球共需610元．
（1）求购买一个足球、一个篮球和一个排球共需多少元？
（2）学校根据需求计划从体育用品店一次性购买三种球共100个，且购买的三种球的费用不超过12000元，求该学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）310元
（2）57个
【解析】
【分析】（1）根据费用可得等量关系：购买3个足球和2个排球共需400元，购买2个足球和3个篮球共需610元，带值求出结果即可；
（2）购买三种球的费用不超过12000元，列出不等式求得解集得到相应的解，从而求解．
【小问1详解】
解：∵一个排球单价为80元， 3个足球和2个排球共需400元，
设一个足球x元，列出方程：，解得，
∵购买2个足球和3个篮球共需610元，
设一个篮球y元，列出方程：，解得，
元，
答：购买一个足球、一个篮球和一个排球共需310元．
【小问2详解】
解：设学校最多可以购买z个篮球，足球和排球共（100－z）个
根据题意列出不等式：，
解得，
∵z为整数，
∴z取满足条件的最大整数57；
答：该学校最多可以购买57个篮球．
【点睛】本题考查一元一次方程组及一元一次不等式的应用，得到相应费用的关系是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，经平移得到，点，，的对应点分别为，，．
（1）写出的三个顶点的坐标；
（2）求的面积；
（3）请在平面直角坐标系中画出．
【答案】（1），，
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的位置可得坐标；
（2）利用三角形面积公式计算即可；
（3）根据平移的性质可得图形．
【小问1详解】
解：由图形知，，，；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图平移变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
24. 在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
（1）请写出一个大小在之间的无理数：______；
（2）请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；
（3）如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；
（4）根据（3）的条件，化简：．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）估算无理数的大小，写出一个答案即可；
（2）利用题中给出的方法画图，确定等腰直角三角形的直角边为，则斜边，再从数轴上画出来即可解决问题；
（3）根据，可得点所表示的数；
（4）根据绝对值的意义化简可得答案．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：如图所示，点即为所求；
∵AM=，
∴AD=AM=．
∴点D表示无理数是；
【小问3详解】
解：点表示，，如果点表示实数，
，
点表示的实数为；
【小问4详解】
解：由（3）知：，
．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理，在数轴上表示无理数，绝对值的意义，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼法求无理数是解题的关键．
25. 如图，，点，分别是直线和上的点．
（1）如图，若的平分线交直线于点，，求；
（2）点是两平行线间的一点．
①如图，若和的平分线交于点，请说明直线和的位置关系；
②如图，若，若和的平分线交于点，求的值．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）由平角的定义可求得，再由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可得；
（2）①由平行线的性质可得，再由角平分线的定义得∠HEF＝∠AEF，，从而可求得，利用三角形的内角和即可求的度数，即可得到结论；
②过作，过作，从而可得，ABONCD，得，，即有，同理得，再由角平分线的定义得，∠CFO＝∠CFH，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，
，
，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
解：①，理由如下：
如图2，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
②过点作，过点作，如图3，
，
，，
，，
，
同理：，
和的平分线交于点，
，，
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系
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