广东省广州市天河区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题（原卷版）

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本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟．
一、单项选择题（本题有8个小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角的定义求解即可．
【详解】解：由题意可知：
中的和是对顶角，
故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
2. 的相反数是（ ）
A. B. ﹣C. 2D. ﹣2
【答案】B
【解析】
【详解】由相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知：的相反数是．
故选B．
3. 下列判断实数1与的大小关系，正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据实数的大小比较方法做题即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴1＜ ，
故选：C．
【点睛】考查实数之间的大小比较，关键要熟记一些常见的特殊数字的算术平方根．
4. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A. 调查某批次汽车的抗撞击能力B. 了解某班学生的身高情况
C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 调查全国中学生的视力情况
【答案】B
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】A. 调查某批次汽车的抗撞击能力，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A不符合题意；
B. 了解某班学生的身高情况，人员不多，适合全面调查，故B符合题意．
C. 调查春节联欢晚会的收视率，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故C不符合题意；
D. 调查全国中学生的视力情况，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键．
5. 如图，若，，，则得到结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的性质直接求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
又∵∠A= 100°，∠B= 115°，
∴∠D=180°－100°=80°，
∠C= 180°－115°= 65°，
∴D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 1的平方根是1
B. ﹣1平方根是﹣1
C. 0的平方根是0
D. 0.01是0.1的一个平方根
【答案】C
【解析】
【分析】一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.即如果x2=a，那么 x叫做a的平方根.根据平方根的定义依次进行判断即可.
【详解】解：A. 1的平方根是±1，故该选项错误，
B. 负数没有平方根，故该选项错误，
C. 0的平方根是0，故该选项正确，
D. 0.1是0.01的一个平方根，故该选项错误，
故选C
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键.
7. 设，则下列不等式不能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质可进行求解．
【详解】解：A、不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，故该选项成立；
B、不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变，故该选项成立；
C、不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向要变，故该选项不成立；
D、不等式两边同时除以一个正数时，不等号方向不变，故该选项成立；
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
8. 小明在调查全班同学喜爱的电视节目时，若喜爱体育节目的同学占全班同学的，那么在制作扇形统计图时，“体育”节目对应的扇形圆心角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用360°乘以对应的百分比即可求解．
【详解】解：“体育”节目对应的扇形圆心角的度数为360°×20％=72°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是扇形统计图及相关计算，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比，熟练掌握每部分对应圆心角度数的求法是解题关键．
二、多项选择题（本题有2个小题，每小题5分，共10分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9. 将一副三角板按如图所示的方式放置（两直角顶点重合），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 如果，则
C. 如果，则D. 如果，则AD与BC不垂直
【答案】AC
【解析】
【分析】根据两种三角板的各角的度数，结合两直线平行垂直的判定与性质对每个选项逐一验证即可得出结论．
【详解】解：
，，
．
选项A符合题意．
，
．
，
，与不平行．
选项B不符合题意．
，
．
，
，．
选项C符合题意．
设与相交于点，
，，
．
．
选项D不符合题意．
故选：AC．
【点睛】本题主要考查两直线平行与垂直的判定与性质的理解与应用能力，以及对余角（两锐角和为，称两个角互为余角）定义的理解与掌握．熟知同位角相等、内错角相等或同旁内角互补则两直线平行；两条直线相交的夹角为，则两条直线互相垂直；两种三角板各角的度数（、、，、、）是解本题的关键．
10. 已知方程组，以下说法正确的是（ ）
A. 无论实数取何值，不可能等于
B. 当时，方程组的解也是方程的解
C. 存在某一个值，使得，
D. 代数式的最小值为7
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解．
【详解】解：已知关于x、y的方程组 ，
解得： ，
A、当x=y时，即a2＋3=－2－2a2，
变形为：3a2 =－5无意义，
∴不可能等于，
故选项A正确；
B、当a= 1时，方程组的解为： ，
∴代入方程左右两边得：
左边=2×4＋（－4）=4，
右边=4×12=4，
∵左边=右边，
∴当时，方程组的解也是方程的解，
故选项B正确；
C、当，时，代入方程组中得： ，
解得： 无意义，
∴不存在某一个值，使得，，
故选项C错误；
D、 ，
∵ ，
∴的最小值为7，
故选项D正确；
故选：ABD．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题的关键．
三、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 64的立方根是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据立方根定义即可求解.
【详解】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，
故答案为：4.
【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
12. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“同大取大”的原则即可求得不等式组的解集．
【详解】解：由题意可得：不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解集规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解．
13. 把方程2x−y＝3 写成用含x的式子表示y的形式________．
【答案】y=2x−3
【解析】
【分析】将x看做已知数求出y即可．
【详解】解：∵2x-y=3，
∴2x-3=y，
∴y=2x-3；
故答案为：y=2x-3．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
14. 从方程组中消去可以得到与的关系式为______．
【答案】##y=-2+x
【解析】
【分析】两方程相减即可得到y与x的关系式．
【详解】解：，
①−②得：x−y＝2，即，
∴y与x的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了加减消元法的应用，熟练掌握加减消元法是解此题的关键．
15. 为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田抽取了100个麦穗，量出它们的长度．在样本数据中，最大值是，最小值是．列频数分布表时，若取组距为0.3，则适合的组数是______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据组数与组距的关系计算即可．
【详解】解：∵最大值是，最小值是，
∴，
∴组数应为12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查频数分布直方图中的组数与组距，解题关键是掌握组数取大于值的最小整数．
16. 在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限．
【答案】二
【解析】
【分析】根据每一象限内点坐标特点可得x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，然后求出x1y2＜0，x2y1＞0即可进行解答．
【详解】解：∵点A（x1，y1）在第一象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，
∴x1y2＜0，x2y1＞0，
∴点C的坐标（x1y2，x2y1）位于第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．
四、解答题（本大题有8小题，共62分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 解方程组:
【答案】
【解析】
【分析】方程组利用加减消元法求解即可；
【详解】解:
①+②得：3x=9，
解得：x=3
把x=3代入①得：
解得：y=0，
则原方程组的解为
【点睛】本题考查解二元一次方程组，观察题目，选择合适的方法是解题的关键.
18. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质解不等式即可．
【详解】解：去分母，得，
去括号得，
移项，
合并同类项得，
解得．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解答的关键．
19. 为响应“双减”政策，提升学生的艺体素养，某校计划开设武术、舞蹈、剪纸三种活动课程，为了解全校1800名学生喜欢课程的情况，在校内随机抽取了部分学生统计（每人只能从中选一项），并将统计结果绘制成统计图．现隐去图中部分信息，请你从中关联信息解答以下问题．
（1）填空：①本次抽样调查的样本容量是______；②选择舞蹈课程的女生人数为______；
（2）估计全校学生喜欢剪纸课程的人数．
【答案】（1）①90 ②12
（2）640人
【解析】
【分析】（1）由两个统计图可知，女生喜欢武术的有10人，占女生人数的25%，求出调查的女生人数，再加上男生人数，求出样本容量；用女生总人数减去喜欢武术和剪纸的女生数，求出选择舞蹈课程的女生人数；
（2）用总人数乘以喜欢剪纸的人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：①调查的女生人数：10÷25%=40（人），
本次抽样调查的样本容量是：40+30+6+14=90，
②女生喜欢舞蹈的人数：40-10-18=12（人），
故答案为：①90，②12
【小问2详解】
根据题意得： （14+18）÷90×1800=640（人），
答：估计全校学生中喜欢剪纸的有640人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，利用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移得到三角形，点A，B，C分别对应，，．
（1）若点正好与点重合，请在图中画出三角形，并写出点和点的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）画图见解析；（1，-2），（6,0）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【小问1详解】
解：如图所示，三角形为所求
的坐标为（1，-2），C的坐标为（6,0）
【小问2详解】
如图三角形ABC的面积为：
【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键．
21. 如图，，，．
（1）求∠B的度数：
（2）若射线BM，CN分别为，的角平分线，则等式成立吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
【解析】
【分析】（1）先利用两直线平行，同旁内角互补得到∠C＋∠D＝180°，再由已知条件求出∠C的度数，最后根据两直线平行，内错角相等得到∠B的度数；
（2）先根据题意画出图形，再根据角平分线定义求出∠MBC和∠BCN，即可得到∠MBC＝∠BCN．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
等式成立，
理由：如图，射线BM，CN分别为，的角平分线，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
22. 2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有型冰墩墩和型雪容融两种商品．已知购买1个型商品和1个型商品共需要220元，购买3个型商吕和2个型商品共需要560元，求每个型商品的售价．
【答案】120元
【解析】
【分析】设每个型商品的售价是元，每个型商品的售价是元，根据购买1个型商品和1个型商品共需要220元，购买3个型商吕和2个型商品共需要560元即可列出二元一次方程组，解之可得出结论．
【详解】解：设每个型商品的售价是元，每个型商品的售价是元，
依题意得：，
解得：；
答：每个型商品的售价是120元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
23. 先阅读材料，后解答问题：∵，即，∴的整数部分为2．若规定实数的整数部分记为［m］，则有．
（1）计算：①______；②______；
（2）若，求满足该不等式的所有整数解．
【答案】（1）6；6 （2）0，
【解析】
【分析】（1）①估算无理数大小，确定其整数部分即可；②估算无理数10﹣的大小，确定其整数部分即可；
（2）估算无理数的大小，得出|x|＜2，求出x 的取值范围，再确定整数解．
【小问1详解】
解：①∵，即，
∴[]＝6，
故答案为：6；
②∵3＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴6＜10﹣ ＜7，
∴ ＝6，
故答案为：6；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴|x|＜2，
∴﹣2＜x＜2，
∴满足﹣2＜x＜2的所有整数解有﹣1，0，1．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提，理解[m]的意义是正确解答的关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知，，，，且满足．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）A作CB的平行线交轴于点D，和的角平分线交于点，求的度数；
（3）在轴上是否存在点，使得三角形BCM的面积和三角形ABC的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）12 （2）
（3）存在；（0，－3）或（0，9）
【解析】
【分析】（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点B的坐标，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）过点E作EF∥CB，首先依据平行线的性质可知∠CBE=∠BEF，∠ADE=∠DEF，根据角平分线的性质可得到∠ADE=∠ADO，∠CBE=∠ABC，由∠BED=∠BEF+∠DEF=∠CBE+∠ADE求解即可；
（3）①当M在y轴正半轴上时，设点M (0，m) 分别过点M、A、B作PQ∥x轴，AP∥y轴，BQ∥y轴，交于点P、Q，则AP= m，CP= m－6，PQ=4，PM = MQ = 2；然后依据列出关于m的方程求解即可；②当M在y轴负半轴上时，同理依据列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴三角形ABC的面积；
故答案为：12；
图1
【小问2详解】
解：如图2所示，过点作，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴
，
；
故答案为：45°；
图2
【小问3详解】
解：①当M在y轴正半轴上时，如图3，不妨设点M（0，m），
分别过点M，A，B作轴，轴，轴，交于点P，Q，
则BQ=，，，．
∵，
∴，
∴ ，
解得，即点的坐标为．
图3
②当在轴负半轴上时，如图4所示，
分别过点M，A，B作轴，轴，轴，交于点P，Q，
设点，，
则，，．
∵，
∴，解得．
∴点M的坐标为（0，－3）．
综上所述，M点的坐标为（0，－3）或（0，9）．
故答案为：存在；（0，－3）或（0，9）．
图4
【点睛】本题考查了坐标与图像，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，以及依据相关图形之间的面积关系列出关于m和a的方程，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．