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沪教版 (五四制)八年级上册16．1 二次根式精品练习
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这是一份沪教版 (五四制)八年级上册16．1 二次根式精品练习，共38页。试卷主要包含了下列计算正确的是，已知，则的值为，如果，那么的值为，计算，已知2＜a＜3，化简等内容，欢迎下载使用。
1．要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠6B．x≠－6C．x＜6D．x≤6
2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．10
5．如果，那么的值为（ ）
A．1B．-1C．D．
6．当 时，代数式有意义．
7．计算：（1） ；
（2） ；
（3） ．
8．已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 ．
9．不等式的解集是 ．
10．已知2＜a＜3，化简： ．
11．若矩形的周长是cm，一边长是cm，则它的面积是 ．
12．若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于 ．（写出一个即可）
13．将根号外的因式移到根号内：
14．若实数满足，则的值是
15．已知 与 的小数部分分别是和，求的值
16．已知，当分别取时，所对应的值的总和是 ．
17．已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系： ．
18．已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： .
19．计算：
(1)
(2)
20．计算：．
21．先化简：，再求当时的值.
22．已知a，b，求下列各式的值．
(1)a2﹣ab+b2；
(2)．
23．已知实数满足求代数式的值．
24．已知实数x，y，a，b满足．求的值及的值．
25．若实数a，b，c满足．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
26．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
27．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
28．阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵6-x≥0，
∴x≤6．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．D
【分析】先利用二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式化简后，被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次根式的加减法法则、二次根式的化简逐项判断即可得．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、因为，所以，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．A
【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方根，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
5．D
【分析】根据算术平方根具有双重非负性，它们相加为0，那个每一个算术平方根都为0，则被开方数都为0，列出二元一次方程组，解方程组求出x和y的值后，即可求解．
【详解】解：由题意：
．
所以D正确.
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根的双重非负性、解二元一次方程组和二次根式的计算等问题，解题关键是要求考生能理解算术平方根的双重非负性并能进行实际的应用，同时能利用加减法解二元一次方程组和利用分母有理化来化简二次根式．
6．0≤x≤6且x≠4
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，以及分式的分母不为0，可得答案．
【详解】∵代数式有意义
∴6-x≥0①，且 ≠0②，且x≥0③
解得：由①得x≤6，由②得x≠4，由③得x≥0
解集为：0≤x≤6且x≠4
【点睛】本题考查了分式有意义，以及二次根式有意义的条件，熟记有意义的条件是解题的关键．
7．
【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得；
（2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可得；
（3）先计算平方差公式和完全平方公式，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：（1）原式
，
故答案为：；
（2）原式
，
故答案为：；
（3）原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．4
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【详解】解：∵等式成立，
∴，
解得：3＜x≤5，
∴|x﹣6|+
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关键．
9．
【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键．
10．3
【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
11．4
【分析】先根据矩形的周长公式求出另一边的长，然后再利用面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形的周长是，一边长是，
∴另一边长为：，
∴矩形的面积为：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、二次根式的乘法等知识点，利用周长求出矩形的边长是解答本题的关键．
12．3（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式，
∴可设，
则，
∴，
解得，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．
【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
14．
【分析】把已知条件化为两个完全平方式，可知两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入即可解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及二次根式的混合运算，两非负数之和等于0，则两数均为0，求得x、y值．本题中把变形得是解题的关键．
15．8
【分析】利用逼近法得到3＜＜4，分别求出a、b，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：∵3＜＜4，
∴12＜9+＜13，5＜9-＜6，
∴a=-3，b=4-，
则ab-3a+4b+8
=(-3)(4-)-3(-3)+4(4-)+8
=4-13-12+3-3+9+16-4+8
=8．
故答案为：8
【点睛】本题考查估算无理数的大小，代数式的求值；得到a，b的值是解决本题的突破点．
16．2022
【分析】将原式化简为，然后根据x的不同取值，求出y的值，最后把所有的y值加起来即可．
【详解】解：，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当分别取时，所有值的总和是：．
故答案是：2022．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．
17．
【分析】找每一个括号部分的有理化因式，两边相乘，得出两个等式，把两式相加即可．
【详解】a、b之间的关系是：a+b=0．
理由：原等式两边乘以，得=，
原等式两边乘以，得 =，
两式相加，得a+b=-a-b，
故a=-b．
故答案为a=-b．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值的运用，关键点是每一个括号部分的有理化因式与它互为倒数．
18．（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【分析】因为2的值也是整数，所以要使、开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
【详解】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【点睛】此题考查的是材料题，需要读懂材料在解决问题.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的运算法则运算即可．
（2）利用二次根式的性质化简合并即可．
（1）
解：
（2）
解：原式＝
【点睛】本题本题主要考查二次根式的性质及化简计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．．
【分析】根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．
【详解】
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
21．xy；1
【分析】分子中先提出公因式进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.
【详解】
=
=
=，
当时，原式==1.
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.
22．(1)22
(2)12
【分析】（1）根据二次根式的运算法则，求出a+b和ab，根据完全平方公式变形后，整体代入计算即可．
（2）利用分式的加法法则运算后，把分子利用完全平方公式变形后，整体代入a+b和ab的值，计算即可．
【详解】（1）解：∵a，b，
∴a＋b＝2，ab＝，
∴a2﹣ab+b2
＝
＝
＝28－6
＝22
（2）解：
＝
＝
＝
＝
＝12
【点睛】本题考查的是分式的加法法则、完全平方公式、平方差公式、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
23．
【分析】首先化简已知条件的等式，得出，代入所求代数式中即可得解.
【详解】解：由已知条件，等式可化为
，即为
解得 ，（舍去）
将其代入，即得
原式=，
故答案为.
【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题.
24．15
【分析】根据算术平方根的非负性列方程和不等式计算即可．
【详解】解：由已知，得，
∴，∴，
∴，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质是解答本题的关键．
25．(1)a=，b=2，c=3；
(2)等腰三角形的周长为2+2或+4．
【分析】（1）首先由得出c=0，再进一步得出a、b的数值即可；
（2）分a是腰长与b是底边和b是腰长与a是底边两种情况讨论求解．
【详解】（1）解：由题意得c-3≥0，3-c≥0，
则c=3，|a-|+=0，
则a-=0，b-2=0，
所以a=，b=2；
（2）解：当a是腰长与b是底边，
∵+>2，
∴等腰三角形的周长为++2=2+2；
当b是腰长与a是底边，
∵+2>2，
∴等腰三角形的周长为+2+2=+4．
综上，等腰三角形的周长为2+2或+4．
【点睛】此题考查二次根式的意义与加减运算，以及等腰三角形的性质．利用二次根式有意义的条件得出c的值是解题关键．
26．（1）；（2）
【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
27．(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
28．（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）根据前3个例题写出一个符合上述运算特征的例子即可；
（2）根据材料中的进行计算即可；
（3）结合（1）（2）的规律进行计算即可
【详解】解：（1）（答案不唯一）；
（2）；
故答案为：
证明：
=
故答案为：
（3）①；
，
，
，
．
②
则
【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的计算，二次根式的性质，掌握分式的性质，以及是解题的关键．
1．要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠6B．x≠－6C．x＜6D．x≤6
2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．10
5．如果，那么的值为（ ）
A．1B．-1C．D．
6．当 时，代数式有意义．
7．计算：（1） ；
（2） ；
（3） ．
8．已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 ．
9．不等式的解集是 ．
10．已知2＜a＜3，化简： ．
11．若矩形的周长是cm，一边长是cm，则它的面积是 ．
12．若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于 ．（写出一个即可）
13．将根号外的因式移到根号内：
14．若实数满足，则的值是
15．已知 与 的小数部分分别是和，求的值
16．已知，当分别取时，所对应的值的总和是 ．
17．已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系： ．
18．已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： .
19．计算：
(1)
(2)
20．计算：．
21．先化简：，再求当时的值.
22．已知a，b，求下列各式的值．
(1)a2﹣ab+b2；
(2)．
23．已知实数满足求代数式的值．
24．已知实数x，y，a，b满足．求的值及的值．
25．若实数a，b，c满足．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
26．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
27．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
28．阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵6-x≥0，
∴x≤6．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．D
【分析】先利用二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式化简后，被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次根式的加减法法则、二次根式的化简逐项判断即可得．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、因为，所以，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．A
【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方根，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
5．D
【分析】根据算术平方根具有双重非负性，它们相加为0，那个每一个算术平方根都为0，则被开方数都为0，列出二元一次方程组，解方程组求出x和y的值后，即可求解．
【详解】解：由题意：
．
所以D正确.
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根的双重非负性、解二元一次方程组和二次根式的计算等问题，解题关键是要求考生能理解算术平方根的双重非负性并能进行实际的应用，同时能利用加减法解二元一次方程组和利用分母有理化来化简二次根式．
6．0≤x≤6且x≠4
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，以及分式的分母不为0，可得答案．
【详解】∵代数式有意义
∴6-x≥0①，且 ≠0②，且x≥0③
解得：由①得x≤6，由②得x≠4，由③得x≥0
解集为：0≤x≤6且x≠4
【点睛】本题考查了分式有意义，以及二次根式有意义的条件，熟记有意义的条件是解题的关键．
7．
【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得；
（2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可得；
（3）先计算平方差公式和完全平方公式，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：（1）原式
，
故答案为：；
（2）原式
，
故答案为：；
（3）原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．4
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【详解】解：∵等式成立，
∴，
解得：3＜x≤5，
∴|x﹣6|+
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关键．
9．
【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键．
10．3
【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
11．4
【分析】先根据矩形的周长公式求出另一边的长，然后再利用面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形的周长是，一边长是，
∴另一边长为：，
∴矩形的面积为：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、二次根式的乘法等知识点，利用周长求出矩形的边长是解答本题的关键．
12．3（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式，
∴可设，
则，
∴，
解得，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．
【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
14．
【分析】把已知条件化为两个完全平方式，可知两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入即可解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及二次根式的混合运算，两非负数之和等于0，则两数均为0，求得x、y值．本题中把变形得是解题的关键．
15．8
【分析】利用逼近法得到3＜＜4，分别求出a、b，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：∵3＜＜4，
∴12＜9+＜13，5＜9-＜6，
∴a=-3，b=4-，
则ab-3a+4b+8
=(-3)(4-)-3(-3)+4(4-)+8
=4-13-12+3-3+9+16-4+8
=8．
故答案为：8
【点睛】本题考查估算无理数的大小，代数式的求值；得到a，b的值是解决本题的突破点．
16．2022
【分析】将原式化简为，然后根据x的不同取值，求出y的值，最后把所有的y值加起来即可．
【详解】解：，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当分别取时，所有值的总和是：．
故答案是：2022．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．
17．
【分析】找每一个括号部分的有理化因式，两边相乘，得出两个等式，把两式相加即可．
【详解】a、b之间的关系是：a+b=0．
理由：原等式两边乘以，得=，
原等式两边乘以，得 =，
两式相加，得a+b=-a-b，
故a=-b．
故答案为a=-b．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值的运用，关键点是每一个括号部分的有理化因式与它互为倒数．
18．（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【分析】因为2的值也是整数，所以要使、开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
【详解】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【点睛】此题考查的是材料题，需要读懂材料在解决问题.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的运算法则运算即可．
（2）利用二次根式的性质化简合并即可．
（1）
解：
（2）
解：原式＝
【点睛】本题本题主要考查二次根式的性质及化简计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．．
【分析】根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．
【详解】
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
21．xy；1
【分析】分子中先提出公因式进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.
【详解】
=
=
=，
当时，原式==1.
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.
22．(1)22
(2)12
【分析】（1）根据二次根式的运算法则，求出a+b和ab，根据完全平方公式变形后，整体代入计算即可．
（2）利用分式的加法法则运算后，把分子利用完全平方公式变形后，整体代入a+b和ab的值，计算即可．
【详解】（1）解：∵a，b，
∴a＋b＝2，ab＝，
∴a2﹣ab+b2
＝
＝
＝28－6
＝22
（2）解：
＝
＝
＝
＝
＝12
【点睛】本题考查的是分式的加法法则、完全平方公式、平方差公式、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
23．
【分析】首先化简已知条件的等式，得出，代入所求代数式中即可得解.
【详解】解：由已知条件，等式可化为
，即为
解得 ，（舍去）
将其代入，即得
原式=，
故答案为.
【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题.
24．15
【分析】根据算术平方根的非负性列方程和不等式计算即可．
【详解】解：由已知，得，
∴，∴，
∴，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质是解答本题的关键．
25．(1)a=，b=2，c=3；
(2)等腰三角形的周长为2+2或+4．
【分析】（1）首先由得出c=0，再进一步得出a、b的数值即可；
（2）分a是腰长与b是底边和b是腰长与a是底边两种情况讨论求解．
【详解】（1）解：由题意得c-3≥0，3-c≥0，
则c=3，|a-|+=0，
则a-=0，b-2=0，
所以a=，b=2；
（2）解：当a是腰长与b是底边，
∵+>2，
∴等腰三角形的周长为++2=2+2；
当b是腰长与a是底边，
∵+2>2，
∴等腰三角形的周长为+2+2=+4．
综上，等腰三角形的周长为2+2或+4．
【点睛】此题考查二次根式的意义与加减运算，以及等腰三角形的性质．利用二次根式有意义的条件得出c的值是解题关键．
26．（1）；（2）
【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
27．(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
28．（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）根据前3个例题写出一个符合上述运算特征的例子即可；
（2）根据材料中的进行计算即可；
（3）结合（1）（2）的规律进行计算即可
【详解】解：（1）（答案不唯一）；
（2）；
故答案为：
证明：
=
故答案为：
（3）①；
，
，
，
．
②
则
【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的计算，二次根式的性质，掌握分式的性质，以及是解题的关键．
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