2023-2024学年高一数学上学期期中模拟试题02（北师大版2019）（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高一数学上学期期中模拟试题02（北师大版2019）（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，正数m，n满足，则的最大值为，设函数为一次函数，满足，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（北师大版2019必修第一册）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.
【详解】且，则；且，则，所以.
故选：A
2．已知函数 (是自然对数的底数)，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求出，进而得到.
【详解】，故，
则.
故选：D
3．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出的定义域为，再由可求得的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，
所以函数的定义域为，
对于函数，则，得，
所以的定义域为.
故选：C
4．函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得关于的方程无解，分和两种情况讨论.
【详解】因为函数的定义域为，
即关于的方程无解，
当时，显然无解，符合题意；
当，则，解得，
综上可得.
故选：D
5．已知，，使是真命题，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由命题为真可得或，根据两个不等式的关系及充分条件、必要条件的概念可得解.
【详解】，使是真命题，
则，解得或，
因为成立时，能推出或成立，而或成立时推不出成立，
所以p是q的充分不必要条件，
故选：A
6．正数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．3
【答案】B
【分析】根据及，变形可求的最大值.
【详解】因为正数m，n满足，
所以，
所以由可知，
即，可得，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：B
7．已知函数的定义域为，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】令，判断出函数的奇偶性，再令，，求出，再求出函数的周期，根据函数的周期求解即可.
【详解】令，则，
故，
所以为定义域内的奇函数，
令，得，解得，
所以，
是以，所以函数是以为周期的一个周期函数，
所以.
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
8．已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
9．设函数为一次函数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】设，代入，通过对比系数列方程组，求得，进而求得.
【详解】设，由于，
所以，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若，则“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．若，，则
【答案】BD
【分析】对于A，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，举例判断，对于D，作差法分析判断
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，所以A错误，
对于B，当时，，，而当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确，
对于C，若，则，所以“”不是“”的充要条件，所以C错误，
对于D，因为，，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：BD
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图像恒过定点
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的值域为
D．函数的最小值为
【答案】BC
【分析】根据指数运算的性质、结合一元二次不等式解集的性质、换元法、基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数（且）的图像恒过定点，因此本选项不正确；
B：因为不等式的解集为或，
所以有，所以本选项正确；
C：，
，
当时，函数有最大值，
所以函数的值域为，因此本选项正确；
D：，令，
因为，所以，
函数在时，单调递增，
所以有，
故函数没有最小值，因此本选项不正确，
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题的关系是利用换元法求出选项C中函数的最值.
12．若函数在其定义域D的某个子区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称在M上是“弱增函数”，则（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【详解】对于A：在上为增函数，
在上是增函数，
故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，
由幂函数的性质可知，在上为减函数，
故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：因为在上单调递增，则在上单调递增，
，因为在单调递减，
则在上单调递增，
故不是上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，
则在上为增函数，所以，解得，
又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知幂函数在为增函数，则实数a的值为 .
【答案】4
【分析】利用幂函数的定义以及幂函数的单调性，列式求解即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
又在为增函数，
所以；
故答案为：4.
14．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有92%的学生喜欢足球或游泳，54%的学生喜欢足球，74%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 .
【答案】36%/0.36
【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．
【详解】由题可得如下所示韦恩图：

既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.
故答案为：36%.
15．已知函数为上的奇函数，当时，，则时， ．
【答案】
【分析】由奇函数性质可得时，，由条件求可得结论.
【详解】因为函数为上的奇函数，
所以对任意的，，
所以当时，，，
因为当时，，，
所以，
所以，
故答案为：.
16．函数的定义域为，为奇函数，其中a为正实数，且当时，．若对于任意，不等式恒成立，则实数b的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意得到为奇函数，进而求出，然后得到函数的解析式和单调性，将所求不等式进行等价转化得到恒成立，根据一次函数的性质列出不等式组，解之即可求解.
【详解】∵为奇函数，即为奇函数，
∴关于中心对称．故，且为正实数，∴．
∴，根据二次函数的性质易知在上单调递增．
而，
故恒成立等价于恒成立，
∴，也即．
由一次函数的性质可知，解得，
故答案为：.
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．化简求值：
(1)；
(2)若，求，的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用指数幂的计算公式逐步计算，即可解得本题答案；
（2）利用完全平方公式逐步计算，即可得到本题答案.
【详解】（1）；
（2），，
，
又，
.
18．已知集合,.
(1)当时，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集；
（2）根据题意可知，，再分情况讨论求集合，根据子集关系，求实数的取值范围.
【详解】（1），即，
解得：，所以，
时，，即，得，
则，
所以；
（2）若是的充分条件，则，
当时，，得，，此时，
当时，，得，，
若，则，得；
若，则，
当时，即，不等式的解集为或，
，若，则，得，
当时，即，不等式的解集为或，
恒成立，得，
当时，，不等式的解集为，此时，
综上可知，的取值范围为.
19．设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可；
（2）分类讨论结合集合的关系计算即可.
【详解】（1），由题意可知，解得；
（2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，
故，成立等价于，
即，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
综上，.
20．已知定义在上的奇函数，当时，．

(1)求函数在上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数的图象；
(3)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）根据函数是奇函数，求函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，作出函数的图象；
（3）根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解.
【详解】（1）当时，，
因为函数是奇函数，所以，
且，
所以函数在上的解析式为;
（2）根据函数的解析式，作出函数的图象，

（3）函数在区间上是单调函数，根据图象可知，
，或，或，
解得：或或.
21．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由不等式的解集为或，得到1和是方程的两个实数根求解.
（2）根据，由，利用基本不等式求得最小值即可.
【详解】（1）解：因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，
即，.
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为.
22．麻城市某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择：
方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：
方案二：不收取管理费，每度元．
(1)彭湃家上月比较节约，只用了90度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适．
(2)求方案一的收费元与用电量度间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元，问徐格拉底家该月用电多少度？
(3)该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？
【答案】(1)第一种方案：元；第二种方案：元.应选择第一种方案．
(2)度．
(3)该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．
【分析】（1）分别按两种方案计算，比较后选择费用较少的方案即可；
（2）方案一的收费元与用电量度间的函数关系为分段函数，分段求出函数的各段解析式，再应用求解实际问题；
（3）两种方案的费用作差比较，判断符号即可.
【详解】（1）第一种方案：元，
第二种方案：元，
由，故应选择第一种方案．
（2）当时，；
当时，.
综上，.
当时，令，解得舍去．
当时，令，解得．
答：徐格拉底家该月用电度．
（3）令，
当时，令，即，解得，．
当时，令，即，解得，．
综上可得：．
即该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．