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2023-2024学年高二数学上学期期中模拟试题02（新高考地区专用，测试范围：第1-2章）（Word版附解析）
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这是一份2023-2024学年高二数学上学期期中模拟试题02（新高考地区专用，测试范围：第1-2章）（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-2章（人教版选择性必修一）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·湖北武汉第十七中学高二期中）直线在x轴上的截距是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】将代入直线方程，可得，解得，故选C.
2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线与垂直，且，所以，解得，
设的倾斜角为，，所以，故选A.
3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．
C．或D．与的位置关系不能判断
【答案】B
【解析】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
显然它们共线，所以．故选B．
4．（2023·福建厦门高二期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为点在圆的外部，
所以，解得，故选C．
5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，
因此，故选D.
6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】如图，由已知可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，，，，，.
所以，，所以.故选：A.
7．（2023·福建师大附中高二期中）正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为
A． B． C． D．与点的位置有关
【答案】C
【解析】如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，，，，∴，，
∴，即，故夹角为，故选C.
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，则，化简得，
即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，
则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即，点到直线的距离最小值为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023·四川省武胜烈面中学校高二期中）对于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线l过点B．直线l与直线垂直
C．直线l的一个方向向量为D．直线l的倾斜角为45°
【答案】AB
【解析】直线化成斜截式为，所以当时，，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为，C错．故选AB．
10．已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】AC
【解析】因为，，，
所以
所以，，，所以不共线，故选AC
11．（2023·江苏盐城高二期中）圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为
D．两圆圆心距
【答案】ABD
【解析】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确；
把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确；
圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；
圆心到圆心的距离，故D正确. 故选ABD.
12．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．平面
D．点到平面的距离为
【答案】ABC
【解析】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，，，
对于A：，，
因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；
对于C：因为 ，，，
所以，，所以，，
因为，所以平面，故选项C正确；
对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；
对于D：因为，平面的一个法向量，
，，
故，令，则，故，
所以点到平面的距离，故D不正确，故选ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线与平行，则它们的距离是
【答案】
【解析】直线可化为直线，
又，且，
所以它们的距离.
14．求过点且与圆相切的直线方程为 .
【答案】x＝4或3x+4y＝0
【解析】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
15．（2023·黑龙江实验中学高二月考）已知点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
16．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为 .
【答案】
【解析】以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，， ，
设平面ABC1的法向量为，则，即，
令，则，故，
所以点B1到平面ABC1的距离为.
.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·浙江省镇海高中高二期中）已知的顶点，重心．
(1)求线段BC的中点坐标；
(2)记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．
【解析】（1）设中点，
因为为的重心，且，
所以，即
所以，所以中点
（2）因为的方程为，且为的垂心
所以即，所以
所以直线的方程为：，即
所以设点，又因为的中点，设则
即
又因为点在直线上，即，所以
所以，所以，则边上的高线为
而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点
即.
18．（2023·江苏扬州高二期中）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离.
(2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
当垂直与直线时，点到直线的距离最大，
因为，所以直线的斜率为，
所以，故，
所以直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以点到动直线的最大距离为；
（2）假设存在点和点满足要求，则
，解方程可得或，
所以直线的方程为或，
故存在直线或.
19．（2023·河南省开封高中高二期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①与直线垂直；②过点；③与直线平行.
问题：已知直线过点，且___________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.
【解析】方案一选条件①.
（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，即.
（2）圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为，所以.
方案二选条件②.
（1）因为直线过点及，
所以直线的方程为，即.
（2）圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为，所以.
方案三选条件③.
（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，
所以直线的斜率为
依题意，直线的方程为，即.
（2）圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为，所以.
20．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：由于，，所以，
由于，，、平面，所以平面，
平面，由平面，得.
取的中点，连接，
因为底面是直角梯形，且，，
故四边形为矩形，且且，，
所以在中，，，，即，
由于，、平面，所以平面.
（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
所以，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
21．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）取中点，连接，
分别为的中点，，，
因为四边形是矩形，是的中点，所以且，
故且，则四边形为平行四边形，
，又面，平面，
所以平面.
（2）设，则，
因为，所以由勾股定理得，则是等腰直角三角形，
又平面，
故以中点为原点，过点和平行的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设是面的一个法向量，则有，
取，则，故，
设是面的一个法向量，则有，
取，则，故，
记平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
22．已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．
(1)求二面角的余弦值；
(2)连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．
【解析】（1）解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
（2）解：设，其中，
则，
令，设点到直线的距离为，
则，
故当时，取最小值，此时.
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-2章（人教版选择性必修一）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·湖北武汉第十七中学高二期中）直线在x轴上的截距是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】将代入直线方程，可得，解得，故选C.
2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线与垂直，且，所以，解得，
设的倾斜角为，，所以，故选A.
3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．
C．或D．与的位置关系不能判断
【答案】B
【解析】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
显然它们共线，所以．故选B．
4．（2023·福建厦门高二期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为点在圆的外部，
所以，解得，故选C．
5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，
因此，故选D.
6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】如图，由已知可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，，，，，.
所以，，所以.故选：A.
7．（2023·福建师大附中高二期中）正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为
A． B． C． D．与点的位置有关
【答案】C
【解析】如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，，，，∴，，
∴，即，故夹角为，故选C.
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，则，化简得，
即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，
则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即，点到直线的距离最小值为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023·四川省武胜烈面中学校高二期中）对于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线l过点B．直线l与直线垂直
C．直线l的一个方向向量为D．直线l的倾斜角为45°
【答案】AB
【解析】直线化成斜截式为，所以当时，，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为，C错．故选AB．
10．已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】AC
【解析】因为，，，
所以
所以，，，所以不共线，故选AC
11．（2023·江苏盐城高二期中）圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为
D．两圆圆心距
【答案】ABD
【解析】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确；
把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确；
圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；
圆心到圆心的距离，故D正确. 故选ABD.
12．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．平面
D．点到平面的距离为
【答案】ABC
【解析】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，，，
对于A：，，
因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；
对于C：因为 ，，，
所以，，所以，，
因为，所以平面，故选项C正确；
对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；
对于D：因为，平面的一个法向量，
，，
故，令，则，故，
所以点到平面的距离，故D不正确，故选ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线与平行，则它们的距离是
【答案】
【解析】直线可化为直线，
又，且，
所以它们的距离.
14．求过点且与圆相切的直线方程为 .
【答案】x＝4或3x+4y＝0
【解析】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
15．（2023·黑龙江实验中学高二月考）已知点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
16．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为 .
【答案】
【解析】以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，， ，
设平面ABC1的法向量为，则，即，
令，则，故，
所以点B1到平面ABC1的距离为.
.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·浙江省镇海高中高二期中）已知的顶点，重心．
(1)求线段BC的中点坐标；
(2)记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．
【解析】（1）设中点，
因为为的重心，且，
所以，即
所以，所以中点
（2）因为的方程为，且为的垂心
所以即，所以
所以直线的方程为：，即
所以设点，又因为的中点，设则
即
又因为点在直线上，即，所以
所以，所以，则边上的高线为
而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点
即.
18．（2023·江苏扬州高二期中）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离.
(2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
当垂直与直线时，点到直线的距离最大，
因为，所以直线的斜率为，
所以，故，
所以直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以点到动直线的最大距离为；
（2）假设存在点和点满足要求，则
，解方程可得或，
所以直线的方程为或，
故存在直线或.
19．（2023·河南省开封高中高二期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①与直线垂直；②过点；③与直线平行.
问题：已知直线过点，且___________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.
【解析】方案一选条件①.
（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，即.
（2）圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为，所以.
方案二选条件②.
（1）因为直线过点及，
所以直线的方程为，即.
（2）圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为，所以.
方案三选条件③.
（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，
所以直线的斜率为
依题意，直线的方程为，即.
（2）圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为，所以.
20．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：由于，，所以，
由于，，、平面，所以平面，
平面，由平面，得.
取的中点，连接，
因为底面是直角梯形，且，，
故四边形为矩形，且且，，
所以在中，，，，即，
由于，、平面，所以平面.
（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
所以，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
21．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）取中点，连接，
分别为的中点，，，
因为四边形是矩形，是的中点，所以且，
故且，则四边形为平行四边形，
，又面，平面，
所以平面.
（2）设，则，
因为，所以由勾股定理得，则是等腰直角三角形，
又平面，
故以中点为原点，过点和平行的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设是面的一个法向量，则有，
取，则，故，
设是面的一个法向量，则有，
取，则，故，
记平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
22．已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．
(1)求二面角的余弦值；
(2)连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．
【解析】（1）解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
（2）解：设，其中，
则，
令，设点到直线的距离为，
则，
故当时，取最小值，此时.
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2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）03（Word版附解析）： 这是一份2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）03（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，在平行六面体中，点E满足，则，已知直线，则，已知曲线，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
