2022-2023学年四川省攀枝花市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2022-2023学年四川省攀枝花市高二（上）期末数学试卷（理科），文件包含九年级上册第二单元第4课希腊城邦和亚历山大帝国导学案教师版2023-2024学年初中历史docx、九年级上册第二单元第4课希腊城邦和亚历山大帝国导学案学生版2023-2024学年初中历史docx等2份学案配套教学资源，其中学案共17页， 欢迎下载使用。

A．开口向上，焦点为（0，1）
B．开口向右，焦点为（1，0）
C．开口向上，焦点为（0，）
D．开口向右，焦点为（，0）
2．（5分）已知随机事件A和B互斥，且P（A⋃B）＝0.6，P（A），则事件B的对立事件的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
3．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
4．（5分）2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，得到的数据如图所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，则估计2022年冬奥会这几项收入总和约为（ ）
A．118亿元B．143亿元C．218亿元D．223亿元
5．（5分）的展开式中，常数项为（ ）
A．﹣15B．16C．15D．﹣16
6．（5分）2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，13），第二组[13，…，第六组[17，18]（保留一位小数）分别是（ ）
A．15.2 15.4B．15.1 15.4
C．15.1 15.3D．15.2 15.3
7．（5分）程序框图如图所示，若上述程序运行的结果S＝1320，则判断框中应填入（ ）
A．k≤12B．k≤11C．k≤10D．k≤9
8．（5分）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
9．（5分）甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）若平面内两定点A、B的距离为4，动点P满足，若点P不在直线AB上（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上一点，PF2为半径的圆交y轴于A、B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
12．（5分）已知双曲线C1：的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O、A、B，若△OAB的垂心为抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，总分20分）
13．（5分）某学生的八次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，则这八次成绩的中位数为 ．
14．（5分）明代著名数学家程大位所著的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为 ．
15．（5分）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立新产品研发项目，组件甲、乙两个新产品研发小组，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下 ．
16．（5分）设F2是双曲线的右焦点，O为坐标原点2的直线交双曲线的右支于点P、N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|＝3|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为 ．
三．解答题（本大题共6小题，总分70分）
17．（10分）已知双曲线C的离心率为，且经过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点M（2，1）的直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点
18．（12分）从①第4项的系数与第2项的系数之比是7：4；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知，且（2x﹣1）n的二项展开式中，____．
（1）求n的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值．
19．（12分）“停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是．
（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？
（2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，求X的分布列、数学期望．
附临界值表：
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（4，m），且△OMF的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线E的准线相交于Q点．设△OAB、△QAB的面积分别为S1、S2，求的最大值．
21．（12分）已知过点的曲线E的方程为．
（1）求曲线E的方程；
（2）点Q为曲线E与y轴正半轴的交点，不过点Q且不垂直于坐标轴的直线l交曲线E于S、T两点，直线QS、QT分别与x轴交于C、D两点．若C、D的横坐标互为倒数，求出定点坐标；如果不是
22．（12分）攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：mm）（68，36）．
（1）一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于56mm的概率；
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y＝blnx+a的附近．对投资金额x做交换，令t＝lnx，且有，，，．
（ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
（ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．
附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）；
样本（ti，yi）（i＝1，2，⋯，n）的最小二乘估计公式为，；
相关指数．
参考数据：0.977210≈0.7940，0.998710≈0.9871，ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．
2022-2023学年四川省攀枝花市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．（5分）对抛物线y＝x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，1）
B．开口向右，焦点为（1，0）
C．开口向上，焦点为（0，）
D．开口向右，焦点为（，0）
【答案】A
【分析】将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的性质，即可得到开口方向和焦点坐标．
【解答】解：抛物线y＝x6，即为抛物线x2＝4y，
由抛物线的性质可得该抛物线开口向上，
焦点为（2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题．
2．（5分）已知随机事件A和B互斥，且P（A⋃B）＝0.6，P（A），则事件B的对立事件的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】D
【分析】根据题意，因为P（A）＝0.4，P（A+B）＝0.6，又事件A与B互斥，所以P（AB）＝0，则P（B）＝0.6﹣0.4＝0.2，因此可以得到正确答案．
【解答】解：根据题意，因为P（A）＝0.4，
所以由P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），
又事件A与B互斥，所以P（AB）＝5，
所以P（B）＝0.6﹣5.4＝0.4，
所以事件B不发生的概率为1﹣0.2＝0.8．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件定义，考查概率加法公式和乘法公式，属基础题．
3．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，|MF1|+|MF6|＝6，
所以|MF1|•|MF8|≤＝92|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF3|•|MF2|的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
4．（5分）2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，得到的数据如图所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，则估计2022年冬奥会这几项收入总和约为（ ）
A．118亿元B．143亿元C．218亿元D．223亿元
【答案】C
【分析】直接利用题意列出关系式，进一步求出结果．
【解答】解：设2022年冬奥会收入的总和大约为a亿元，
由于赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，
故35.4%a﹣12.2%a﹣10.3%a＝27，
解得a≈218（亿元）．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：一元一次方程的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5．（5分）的展开式中，常数项为（ ）
A．﹣15B．16C．15D．﹣16
【答案】B
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．
【解答】解：＝（8+x2）（1﹣+﹣+﹣+）的展开式中，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
6．（5分）2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，13），第二组[13，…，第六组[17，18]（保留一位小数）分别是（ ）
A．15.2 15.4B．15.1 15.4
C．15.1 15.3D．15.2 15.3
【答案】C
【分析】利用平均数和中位数的定义求解．
【解答】解：100名考生成绩的平均数x＝12.5×0.10+13.6×0.15+14.5×7.15+15.5×0.30+16.3×0.25+17.5×6.05＝15.1，
因为前三组频率直方图面积和为0.10+3.15+0.15＝0.5，前四组频率直方图面积和为0.10+0.15+8.15+0.30＝0.5，
所以中位数位于第四组内，设中位数为a，
解得a≈15.3，
故选C．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、中位数的估计，属于基础题．
7．（5分）程序框图如图所示，若上述程序运行的结果S＝1320，则判断框中应填入（ ）
A．k≤12B．k≤11C．k≤10D．k≤9
【答案】D
【分析】根据程序框图，列出每次执行循环体后得到的S、K的值，当S＝1320时退出循环体，这时就可以得出判断框中的条件．
【解答】解：第一次执行循环体后S＝12，K＝11；
第二次执行循环体后S＝132，K＝10；
第三次执行循环体后S＝1320，K＝9；
然后退出循环体，输出后S＝1320．
所以判断框中应填入k≤9？．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的三种结构，解题的关键是列出每次执行循环体后得到的S与K值，属于基础题．
8．（5分）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
【答案】C
【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解．
【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，有两类情况，
①三组人数为1、1、6，此时有，
②三组人数为2、4、1，此时有，
所以共有60+90＝150种．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
9．（5分）甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得甲获胜包括三种情况：①第三局甲胜利，②第三局乙胜利，第四局甲胜利，③第三、四局乙胜利，第五局甲胜利，求出每种情况的概率，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，甲获胜包括三种情况：①第三局甲胜利；
②第三局乙胜利，第四局甲胜利；
③第三、四局乙胜利，其概率，
则甲获胜的概率P＝P1+P4+P3＝．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件和相互独立事件概率的计算，属于基础题．
10．（5分）若平面内两定点A、B的距离为4，动点P满足，若点P不在直线AB上（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；设P（x，y），得到（x﹣4）2+y2＝12，当点P到AB（x轴）的距离最大时，求解三角形PAB的面积的最大值即可．
【解答】解：以经过A，B的直线为x轴，建立直角坐标系，
如图所示：
则A（﹣2，0），2）设P（x，
∵，∴＝3，
整理得：x3+y2﹣8x+8＝0⇒（x﹣4）3+y2＝12，
当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，
此时面积为×4×2．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的应用，是中档题．
11．（5分）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上一点，PF2为半径的圆交y轴于A、B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】设出P的坐标，利用垂径定理，转化求解|AB|的表达式，然后求解最大值即可．
【解答】解：F1、F2分别为椭圆的左，F2（6，0），
设P（2csθ，sinθ），
以点P为圆心，PF2为半径的圆交y轴于A、B两点，
则|AB|＝2＝2＝6≤．
当且仅当csθ＝时，|AB|取得最大值．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12．（5分）已知双曲线C1：的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O、A、B，若△OAB的垂心为抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出A的坐标，可得kAH，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）＝﹣1，由此可求C1的离心率．
【解答】解：双曲线C1：的渐近线方程为y＝±x，
与抛物线C8：x2＝2py联立，可得x＝3或x＝±，
取A（，），设垂心H（7，），
则kAH＝＝，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣，
∴5a2＝4b2，
∴5a2＝4（c2﹣a4），
∴e＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算求解能力，确定A的坐标是关键，是中档题．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，总分20分）
13．（5分）某学生的八次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，则这八次成绩的中位数为 83 ．
【答案】83．
【分析】由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据，再根据中位数定义可解．
【解答】解：由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据为：69，72，82，86，95，
则中位数为＝83．
故答案为：83．
【点评】本题考查中位数定义，属于基础题．
14．（5分）明代著名数学家程大位所著的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为 84 ．
【答案】84．
【分析】根据题中给出的程序框图，模拟程序的运行，直到条件满足，由此求出输出S的值．
【解答】解：根据题意，模拟程序的运行
i＝0，n＝0，执行循环体；
i＝5，n＝1，不满足条件i≥7；
i＝2，n＝3，不满足条件i≥7；
i＝5，n＝6，不满足条件i≥7；
i＝6，n＝10，不满足条件i≥7，；．
i＝5，n＝15，不满足条件i≥8；
i＝6$，n＝21，不满足条件i≥7；
i＝3，n＝28，刚好满足i≥7，
因此，最终输出的S值为84．
故答案为：84．
【点评】本题主要考查算法与程序框图等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
15．（5分）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立新产品研发项目，组件甲、乙两个新产品研发小组，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下 ．
【答案】．
【分析】根据对立事件、相互独立事件以及条件概率公式可直接求解．
【解答】解：设事件A为“新产品研发成功”，则P（A）＝1﹣（1﹣）＝，
事件B为“甲小组研发成功”，则P（B）＝P（AB）＝，
则在新产品研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为P（B|A）＝＝＝．
故答案为：
【点评】本题考查对立事件、相互独立事件以及条件概率公式，属于基础题．
16．（5分）设F2是双曲线的右焦点，O为坐标原点2的直线交双曲线的右支于点P、N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|＝3|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】．
【分析】由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解|MF1|，|MF2|，再由余弦定理列式求解双曲线C的离心率．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，如图所示，
由双曲线的对称性可知四边形MF2PF5为平行四边形，
∴|MF1|＝|PF2|，MF3∥PN，
而|MF2|＝3|PF2|，∴|MF2|＝3|MF2|，
由双曲线的定义可知，|MF2|﹣|MF1|＝6a，
∴|MF2|＝3a，|MF3|＝a，
∵∠MF2N＝60°，∴∠F1MF7＝60°，
在△MF1F2中，由余弦定理知8MF2＝，
即，化简得6c2＝7a8，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
三．解答题（本大题共6小题，总分70分）
17．（10分）已知双曲线C的离心率为，且经过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点M（2，1）的直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点
【答案】（1）双曲线C的标准方程为；
（2）y＝4x﹣7．
【分析】（1）由双曲线的离心率可得b2＝2a2，分别设出双曲线方程，代入已知点的坐标求解a，则双曲线方程可求；
（2）利用“点差法”求直线l的方程．
【解答】解：（1）由，得，即c7＝3a2，
∴b2＝c2﹣a2＝7a2﹣a2＝6a2．
设双曲线C的方程为或，
把代入两个方程，得或．
解得a2＝4（第二个方程无解）．
∴双曲线C的标准方程为；
（2）设A（x1，y4），B（x2，y2），
∵A，B都在双曲线上，∴，，
两式作差可得：，即，
∵M为AB的中点，∴x4+x2＝4，y4+y2＝2，
可得，
∴直线l的方程为y﹣1＝5（x﹣2），即y＝4x﹣5，
联立，得14x2﹣56x+51＝0，
Δ＝566﹣4×14×51＝280＞0，符合题意．
∴所求直线方程为y＝4x﹣7．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，训练了利用“点差法”求弦中点问题，是中档题．
18．（12分）从①第4项的系数与第2项的系数之比是7：4；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知，且（2x﹣1）n的二项展开式中，____．
（1）求n的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值．
【答案】（1）n＝8．
（2）①T5＝1120x4；②38﹣1．
【分析】（1）由题意，根据二项式系数的定义，列出等式，解出n的值．
（2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断a0、a2、a4、a6、a8为正数，a1、a3、
a5、a7为负数，再给x赋值，从而求出|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值．
【解答】解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是6：4，则有＝＝，
化简可得n2﹣4n﹣40＝0，求得n＝8或n＝﹣7（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有+＝，
化简可得n2+n﹣72＝0，求得n＝8或n＝﹣9（舍去）．
（2）由（1）可得n＝8，①（2x﹣1）8的二项展开式的中间项为T8＝•（2x）4•（﹣1）5＝1120x4．
②易知，a0、a7、a4、a6、a8为正数，a1、a3、a6、a7为负数．
在（2x﹣8）8＝a0+a5x+a2x2+•••+a3x8中，令x＝02＝1．
再令x＝﹣1，可得38＝a0﹣a7+a2﹣a3+•••+a6＝1+|a1|+|a6|+|a3|+⋯+|an|，
∴|a1|+|a8|+|a3|+⋯+|an|＝35﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
19．（12分）“停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是．
（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？
（2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，求X的分布列、数学期望．
附临界值表：
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
【答案】（1）没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关；
（2）分布列详见解题过程，E（x）＝．
【分析】（1）求出喜欢钉钉直播上课的学生的人数，补充列联表即可，代入K2计算即可判断；
（2）分别求出P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）的值，求出分布列，从而求出数学期望．
【解答】解：（1）由30人中随机抽取1人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是，
故喜欢钉钉直播上课的学生共有50人，列联表补充如下：
由已知数据可求得：K2＝＝≈5.429＜3.841，
所以没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关．
（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，
则X的可能取值为2，1，2，
 P（X＝2）＝＝，P（X＝5）＝＝＝，
所以X的分布列为：
X的数学期望为：E（x）＝0×+1×＝．
【点评】本题考查了独立性检验，考查分布列以及数学期望问题，是中档题．
20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（4，m），且△OMF的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线E的准线相交于Q点．设△OAB、△QAB的面积分别为S1、S2，求的最大值．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）．
【分析】（1）根据题设条件列关于m，p的方程组，求出p即可；
（2）设直线l的方程为x＝ky+1，与抛物线y2＝4x联立，得y2﹣4ky﹣4＝0，设出交点坐标，将△OAB、△QAB的面积S1、S2表示出来，再利用基本不等式求得最值．
【解答】解：（1）由题意可得，解得p＝8，
故抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）由（1）可得F（5，0），
与抛物线的方程y2＝6x联立，消去x，
可得y2﹣4ky﹣5＝0，Δ＝16k2+16＞7 恒成立，
设A（x1，y1），B（x8，y2），则y1+y7＝4k，y1y6＝﹣4，
所以，
则原点O到直线l的距离为，
所以，
易得Q（﹣1，k），
所以，
故，
设，则，
当且仅当，即t＝1时，所以．
【点评】本题考查抛物线方程求法，考查直线与抛物线的综合运用，属难题．
21．（12分）已知过点的曲线E的方程为．
（1）求曲线E的方程；
（2）点Q为曲线E与y轴正半轴的交点，不过点Q且不垂直于坐标轴的直线l交曲线E于S、T两点，直线QS、QT分别与x轴交于C、D两点．若C、D的横坐标互为倒数，求出定点坐标；如果不是
【答案】（1）曲线C的方程为；
（2）直线l过定点．
【分析】（1）将点P代入曲线方程，结合椭圆定义求曲线方程；
（2）联立直线l方程和椭圆方程，利用韦达定理结合条件求解．
【解答】解：（1）将代入曲线E方程，
由椭圆定义可知曲线E是以，为焦点的椭圆，即，
则b2＝a2﹣c2＝1，所以曲线E的方程为；
（2）由题得点Q（7，1），
联立直线和椭圆的方程，化简得（5+4k2）x5+8kmx+4m3﹣4＝0，
所以Δ＞2，∴4k2﹣m5+1＞0，
设S（x3，y1）T（x2，y5），
所以，，
所以直线QS的方程为，令y＝0得，
因为xCxD＝⇒x1x2＝y2y2﹣（y1+y8）+1，
所以x1x5＝（kx1+m）（kx2+m）﹣（kx8+m+kx+m）+1，
所以，
所以，
整理得5m2+2m﹣6＝0，解得m＝1或m＝﹣，
因为m≠1，所以，
即直线l的方程为，
所以直线l过定点．
【点评】此题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查了韦达定理，考查了方程思想，属于中档题．
22．（12分）攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：mm）（68，36）．
（1）一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于56mm的概率；
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y＝blnx+a的附近．对投资金额x做交换，令t＝lnx，且有，，，．
（ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
（ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．
附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）；
样本（ti，yi）（i＝1，2，⋯，n）的最小二乘估计公式为，；
相关指数．
参考数据：0.977210≈0.7940，0.998710≈0.9871，ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．
【答案】（1）0.2060；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ）模型②刻画的拟合效果更好，当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为42.89万元．
【分析】（1）由正态分布的对称性结合2σ法则求解；
（2）（ⅰ）由已知数据利用最小二乘法求解模型②中y关于x的回归方程；
（ⅱ）由已知表格中的数据，可得模型①的R2小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好，再由（ⅰ）中求得线性回归方程求解．
【解答】解：（1）由题意，μ＝68，
由正态分布曲线的对称性可知，P（X＜56）＝
＝＝．
设一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，其中果径小于56mm的有ξ个，0.0228），
故P（ξ≥4）＝1﹣P（ξ＝0）＝5﹣（1﹣0.0228）10＝4﹣0.977210＝0.2060．
∴一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，会买到果径小于56mm的概率为7.2060；
（2）（ⅰ）由题中所给数据，可得，，
＝＝25，．
∴模型②中y关于x的线性回归方程为；
（ⅱ）由表格中的数据，有102.28＞36.19，即，
∴模型①的R7小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好．
当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为：
≈25×（2×0.6931+5.6094）﹣32＝42.89万元．
【点评】本题考查正态分布及其概率的求法，考查线性回归方程及其应用，考查运算求解能力，是中档题．男生
女生
合计
喜欢钉钉直播上课
20
不喜欢钉钉直播上课
30
合计
120
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.63
7.879
回归模型
模型①
模型②
回归方程
102.28
36.19
男生
女生
合计
喜欢钉钉直播上课
20
不喜欢钉钉直播上课
30
合计
120
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.63
7.879
男生
女生
合计
喜欢钉钉直播上课
20
30
50
不喜欢钉钉直播上课
40
30
70
合计
60
60
120
x
0
1
6
P
回归模型
模型①
模型②
回归方程
102.28
36.19