初中数学华师大版九年级上册21.3 二次根式的加减优秀课堂检测

这是一份初中数学华师大版九年级上册21.3 二次根式的加减优秀课堂检测，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.12x 4x+6x x9−4x x的值一定是
( )
A. 正数B. 非正数C. 非负数D. 负数
2.若9− 5的整数部分为x，小数部分为y，则x−2y=( )
A. −2 5B. 2 5C. 6−3 5D. 6+3 5
3.已知x= 5+1，y= 5−1，则x2+2xy+y2的值为
A. 20B. 16C. 2 5D. 4 5
4.若x为实数，在“( 3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A. 3+1B. 3−1C. 2 3D. 1− 3
5.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 4+19=2+13=73
C. 48− 27= 3D. ( 13− 5)2=13−5=8
6.如图在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为( )
A. 12
B. 1
C. 2
D. 2−1
7.下列二次根式中能与2 3合并的是( )
A. 8B. 13C. 18D. 9
8.下列各式：① 16m4=4m2；② 5a× 10a=5a 2；③2 3−4 3=−2 3；④ 1613= 16× 13=43 3；⑤ ( 5− 6)2= 5− 6.运算正确的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.计算：( 30+ 21−3)( 3+ 10− 7)的值等于( )
A. 6 7B. −6 7C. 20 3+6 7D. 20 3−6 7
10.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为( )
A. 5B. 4C. 2 5D. 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如果最简二次根式 3b和 2b−a+2是可以合并的二次根式，则a+b= ______ ．
12.古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c.记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S= P(P−a)(P−b)(P−c)，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB=3，BC=6，AC=7，则用海伦公式求得△ABC的面积为______ ．
13.不等式 3x−1<2x的解集是______ ．
14.已知最简二次根式4a+3b与b+12a−b+6可以合并，则a+b的值__________．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
(1)计算： 24× 13−4× 18×(1− 2)0+ 32．
(2)解方程：x−3y=−22x+y=3．
16.(本小题8.0分)
计算：
(1)(1−2 3)(1+2 3)−(1+ 3)2；
(2) 20+ 5 45− 13× 6．
17.(本小题8.0分)
已知在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 5， 10， 13，如图①是小辉同学在正方形网格中(每个小正方形的边长为1)画出的格点△ABC(△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处)．
(1)请你参照小辉的方法在图②的正方形网格图中画出格点△DEF，使得DE，EF，DF三边的长分别为 2， 8， 10；
(2)判断△DEF的形状，说明理由；
(3)求△DEF的面积．
18.(本小题8.0分)
人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦−秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).如图，在△ABC中，a=8，b=4，c=6．
(1)求△ABC的面积；
(2)设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
19.(本小题8.0分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使MN= 10；
(2)在图2中以格点为顶点画△ABC，AB= 5，AC= 20，BC=5，并判断它是否是直角三角形．
20.(本小题8.0分)
在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近 2的近似值，请回答如下问题：
(1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4< 2<1.5，请用“逐步逼近”的方法估算 11在哪两个近似数之间(精确到0.1)；
(2)大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用 2−1来表示 2的小数部分．
又例如：∵ 4< 7< 9，即2< 7<3，
∴ 7的整数部分为2，小数部分为( 7−2)．
请解答：① 19的整数部分是______ ，小数部分是______ ；
②如果 6的小数部分为a， 13的整数部分为b，求a+b− 6的值；
③若x是 2+ 11的整数部分，y是 2+ 11的小数部分，求(y− 2− 11)x的平方根．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二次根式的加减及二次根式的非负性，先把二次根式化成最简二次根式，再进行加减，再根据x为非负数，就可作出判断．
【解答】
解：原式=x x+2x x−4x x
=−x x，
∵x为非负数，
∴ x为非负数，
∴−x x为非正数，
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的运算以及估算无理数的大小，正确确定9− 5的整数部分x与小数部分y的值是关键．
首先估算一下 5的范围，再确定9− 5的范围，然后确定9− 5的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求式子计算即可求解．
【解答】
解：∵2< 5<3，
∴6<9− 5<7，
∴9− 5的整数部分x=6，
则小数部分y=9− 5−6=3− 5，
则x−2y=6−2×(3− 5)
=6−6+2 5
=2 5．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算，先利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可．
【解答】
解：原式=(x+y)2
=( 5+1+ 5−1)2
=(2 5)2
=20．
故选A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．(a+b)(a−b)=a2−b2．
根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．
【解答】
解：A.( 3+1)−( 3+1)=0，故本选项不合题意；
B.( 3+1)( 3−1)=2，故本选项不合题意；
C.( 3+1)与2 3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
D.( 3+1)(1− 3)=−2，故本选项不合题意．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：A． 2与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 4+19= 379= 373，所以B选项不符合题意；
C. 48− 27=4 3−3 3= 3，所以C选项符合题意；
D.( 13− 5)2=13−2 65+5=18−2 65，所以D选项不符合题意；．
故选：C．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据完全平方公式二对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：面积为2的正方形的边长为： 2，面积为1的正方形的边长为：1，
则阴影部分面积为：( 2−1)×1= 2−1，
故选：D．
由两个小正方形的面积分别为1、2，得出其边长分别为1和 2，则阴影部分的长等于1，宽等于( 2−1)的长方形，从而可得答案．
本题考查了算术平方根在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考察同类二次根式的概念和二次根式的化简.对每个选项进行化简后根据同类二次根式的定义即可判断．
【解答】
解：A． 8= 4×2=2 2，所以不能与2 3合并，错误；
B. 13= 39= 33，与2 3是同类二次根式，能够合并，正确；
C. 18= 9×2=3 2，所以不能与2 3合并，错误；
D. 9=3，所以不能与2 3合并，错误．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：① 16m4=4m2，正确；
② 5a× 10a= 5a×10a=5 2a，正确；
③2 3−4 3=(2−4) 3=−2 3，正确；
④ 1613= 493=73 3，错误；
⑤ ( 5− 6)2=| 5− 6|= 6− 5，错误；
所以正确的个数是3．
故选：B．
先根据二次根式的性质，二次根式的乘法、二次根式的减法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：原式= 3[ 10+( 7− 3)][( 10−( 7− 3)]
= 3[( 10)2−( 7− 3)2]
= 3(10−7−3+2 21)
=6 7．
故选：A．
前面的括号内提取 3之后，再按平方差公式计算，最后根据二次根式的运算求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用．
10.【答案】C
【解析】解：∵p=a+b+c2，p=5，c=4，
∴5=a+b+42，
∴a+b=6，
∴a=6−b，
∴S= p(p−a)(p−b)(p−c)
= 5(5−a)(5−b)(5−4)
= 5(5−a)(5−b)
= 5ab−25
= 5b(6−b)−25
= −5b2+30b−25
= −5(b−3)2+20，
当b=3时，S有最大值为 20=2 5．
故选：C．
根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，化简二次根式．
11.【答案】2
【解析】解：∵最简二次根式 3b和 2b−a+2是可以合并的二次根式，
∴3b=2b−a+2，
∴a+b=2．
故答案为：2．
根据题意可得最简二次根式 3b和 2b−a+2是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出答案．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出关于a、b的方程是解此题的关键．
12.【答案】4 5
【解析】解：由题意可得：a=6，b=7，c=3，
∴p=a+b+c2=6+7+32=8，
∴S= P(P−a)(P−b)(P−c)
= 8(8−6)(8−7)(8−3)
= 8×2×1×5
=4 5，
故答案为：4 5．
先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入面积公式S= P(P−a)(P−b)(P−c)，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键．
13.【答案】x>− 3−2
【解析】解： 3x−1<2x
( 3−2)x<1
x>1 3−2
x>− 3−2．
故答案为：x>− 3−2．
求得不等式的解集，进一步化简求得答案即可．
此题考查二次根式的应用，掌握解不等式的方法与步骤是解决问题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：∵最简二次根式 4a+3b与b+12a−b+6可以合并，
∴b+1=24a+3b=2a−b+6，
解得，a=1b=1，
则a+b=1+1=2，
故答案为：2．
根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．
本题考查的是同类二次根式的概念、二元一次方程组的解法以及代数式求值，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
15.【答案】解：(1) 24× 13−4× 18×(1− 2)0+ 32
= 24×13−4× 24×1+4 2
=2 2− 2+4 2
=5 2．
(2)x−3y=−2①2x+y=3②，
由①+②×3得：7x=7，
解得x=1，
把x=1代入①得y=1，
所以，原方程组的解为x=1y=1．
【解析】(1)先计算二次根式的乘法运算，零次幂，化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可；
(2)由①+②×3先求解x，再求解y即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂的含义，二元一次方程组的解法，掌握以上基础运算的运算方法是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)(1−2 3)(1+2 3)−(1+ 3)2
=12−(2 3)2−(1+3+2 3)
=1−12−1−3−2 3
=−15−2 3；
(2) 20+ 5 45− 13× 6
=2 5+ 53 5− 13×6
=3 53 5− 2
=1− 2．
【解析】(1)先根据完全平方公式，平方差公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法，最后算除法即可．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，分母有理化等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】(1)如图：

△DEF即为所求；
(2)△DEF 是直角三角形；
理由如下：
∵DE2+EF2=( 2)2+( 8)2=10=EF2，
∴△DEF 是直角三角形．
(3)S△DEF=12DE⋅EF=12× 2× 8=2．
【解析】(1)根据勾股定理画图；
(2)根据勾股定理的逆定理判断并证明；
(3)根据三角形的面积公式求解．
本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
18.【答案】解．(1)根据题意知p=a+b+c2=9，
所以S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 9×(9−8)×(9−4)×(9−6)=3 15，
∴△ABC的面积为3 15；
(2)∵S=12ch1=12bh2=12ah3=3 15，
∴12×6h1=12×4h2=12×8h3=3 15，
∴h1= 15，h2=3 152，h3=34 15，
∴h1+h2+h3=13 154．
【解析】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
(1)根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
(2)按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1，h2和h3的值，再求和即可．
19.【答案】解：(1)如图，线段MN即为所求．
(2)如图，△ABC即为所求．

∵AB= 5，AC= 20，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)利用数形结合的思想作出图形．
(2)利用数形结合的思想作出图形即可．再利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】4 19−4
【解析】解：(1)∵3.32=10.89，3.42=11.56，
∴3.3< 11<3.4；
(2)①∵ 16< 19< 25，
∴4< 19<5，
∴ 19的整数部分是4，小数部分是 19−4，
故答案为：4， 19−4；
②∵ 4< 6< 9， 9< 13< 16，
∴2< 6<3，3< 13<4，
∴a= 6−2，b=3，
∴a+b− 6= 6−2+3− 6=1；
③∵1.42=1.96，1.52=2.25，
∴1.4< 2<1.5，
∵3.3< 11<3.4，
∴4.7< 2+ 11<4.9，
∴x=4，y= 2+ 11−4，
∴(y− 2− 11)x=( 2+ 11−4− 2− 11)4=256，
∴(y− 2− 11)x的平方根是± 256=±16．
(1)根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；
(2)①求出4< 19<5，进而可得答案；
②根据2< 6<3，3< 13<4，求出a，b的值，然后代入计算即可；
③估算出 2+ 11的取值范围，求出x，y的值，然后代入计算，根据平方根的定义求解．
本题考查了无理数的估算，算术平方根和平方根的意义，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键．