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初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线优秀习题
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这是一份初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线优秀习题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点E，F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是( )
A. ∠ACD=∠BCDB. AD=BD
C. CD⊥ABD. CD=AC
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过D点作DF⊥AB于点F，若OE=4，∠DAB=60°，则AF的长为( )
A. 3
B. 2 3
C. 4
D. 4 3
3.如图，▱ABCD中，AB=3，BE平分∠ABC，交AD于点E，DE=2，点F，G分别是BE和CE的中点，则FG的长为( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 5
4.如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG=( )
A. 52B. 102C. 2D. 3 22
5.如图△ ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长为( )
A. 32B. 52C. 3D. 4
6.如图，已知△ABC中，∠BAC=80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，点E为BC的中点，连结DE.则∠BDE的度数为( )
A. 130°B. 125°C. 120°D. 100°
7.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.( )
A. AB=CDB. AB//CDC. AC=BDD. AD=BC
8.如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中的相似三角形有( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
9.如图在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE=4，则GF=( )
A. 5
B. 4
C. 2
D. 3
10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( )
A. 4
B. 72
C. 92
D. 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连接DE，测得DE=20米，则BC= ______ 米.
12.如图，AB是池塘两端，设计一方案测量AB的距离，首先取一点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE=15米，则AB=______米．
13.如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于___________．
14.如图，在正△ABC中，AB=3，AE=CD=1，F、G分别为AD、BE的中点，则FG= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)如果设AB=a，BC=b，AD=c，那么BD= ，DC= ，HE= (含a、b、c的式子表示)；
(2)求作：BC−DG．
(请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论)
16.(本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点.请你在线段AB上截取BF=2AF，连接EF交BD于点G，求GBGD的值．
17.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，DE//BC，BE⊥AB．
(1)求证：△DEB∽△BAC；
(2)若AB=6，AC=2，求△DEB的面积．
18.(本小题8.0分)
如图，小明在乙楼BE前方的点C处，眼睛贴地观察，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，EF⊥AD于点F，已知D、B、C在一条直线上，甲AD与EB均垂直于CD，求甲楼的高AD.(提示：DF=BE，EF=BD)
19.(本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC=2AB，BE//AC，OE//AB．
(1)求证：四边形ABEO是菱形．
(2)若AC=4 5，BD=8，求四边形ABEO的面积．
20.(本小题8.0分)
已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定，矩形的判定等知识.添加AD=BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF是平行四边形，再根据∠ACB=90°，得出四边形DECF成为矩形．
【解答】
解：添加AD=BD，
∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD=BD，
∴ED//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形DECF是矩形．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∴E为AB的中点，
∴AE=EB，
∴OE是△ADB的中位线，
∴AD=2OE=8，
∵DF⊥AB，∠DAB=60°，
∴AF=12AD=4，
故选：C．
根据平行四边形的性质得出DO=OB，进而利用三角形的中位线定理得出AD，进而利用含30°角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出DO=OB解答．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=3，
∴AD=BC=AE+ED=3+2=5，
∵点F，G分别是BE和CE的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG=12BC=2.5，
故选：B．
根据平行四边形的性质得出AD//BC，进而利用平行线的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AD//BC解答．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形中位线的定理，求EC的长是解本题的关键．
由矩形的性质和角平分线的定义可得AB=BE=3，可得EC=1，由勾股定理可求DE= 10，由三角形中位线定理可求GF的长．
【解答】
解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC−BE=1，
∴DE= EC2+CD2= 10，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG=12DE= 102．
故选B．
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】A
【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵∠BAC=80°，AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAF=40°．
又∵BD⊥AD，
∴AF=AB，BD=DF，
∴∠ABF=∠AFB=50°．
∴∠BFC=130°．
又∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE//AC，
∴∠BDE=∠BFC=130°．
故选：A．
延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD=DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并可得DE//AC，则由平行线的性质求解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：当AB=CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下：
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//AB，EG=12AB，
同理HF//AB，HF=12AB，EH//CD，EH=12CD，
∴EG//HF，EG=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴平行四边形EGFH是菱形．
故选：A．
证EG是△ABD的中位线，得EG//AB，EG=12AB，同理HF//AB，HF=12AB，EH//CD，EH=12CD，则EG//HF，EG=HF，得四边形EGFH是平行四边形，再证EG=EH，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，
∴DE//AB，EF//BC，DF//AC，
∴△ODE∽△OAB，△OEF∽△OBC，△ODF∽△OAC，
∵∠ODE=∠OAB，∠ODF=∠OAC，
∴∠ODE+∠ODF=∠OAB+∠OAC，
∴∠EDF=∠BAC，
∵∠OED=∠OBA，∠OEF=∠OBC，
∴∠OED+∠OEF=∠OBA+∠OBC，
∴∠DEF=∠ABC，
∴△DEF∽△ABC，
∴图中共有4对相似三角形，
故选：D．
由三角形的中位线定理证明DE//AB，EF//BC，DF//AC，即可根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ODE∽△OAB，△OEF∽△OBC，△ODF∽△OAC，再由平行线的性质推导出∠EDF=∠BAC，∠DEF=∠ABC，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△DEF∽△ABC，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定等知识，根据三角形的中位线定理证明DE//AB，EF//BC，DF//AC是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB//CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=12AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故选：C．
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质可得BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 42+32=5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=1.5，DE//BC，EC=12AC=2.5，
∴∠EFC=∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC=2.5，
∴DF=DE+EF=1.5+2.5=4，
故选：A．
根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理得到DE=12BC=1.5，DE//BC，根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到EF=EC=2.5，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】40
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×20=40(米)，
故答案为：40．
根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】30
【解析】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故答案为：30．
证明DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可得AB=2DE=30米．
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用.根据菱形的性质得出OC=OA，根据三角形的中位线性质得出OE=12AD，代入求出即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=8，
∴OC=OA，AD=AB=8
∵E是CD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∵AD=8，
∴OE=12AD=4．
故答案为4．
14.【答案】 32
【解析】解：取AB的中点H，连接并延长HF交AC于点K，连接并延长HG交BC于点J，
∵△ABC是等边三角形，AB=3，AE=CD=1，
∴BC=AB=3，∠C=60°，
∴BD=BC−CD=3−1=2，
∵F、G分别为AD、BE的中点，
∴GH//AE，GH=12AE=12×1=12，FH//BD，FH=12BD=12×2=1，
∵JH//CK，KH//CJ，
∴四边形CKHJ是平行四边形，
∴∠KHJ=∠C=60°，
作HL⊥FH于点L，则∠GLH=∠GLF=90°，
∴HL=GH⋅cs60°=12×12=14，GL=GH⋅sin60°=12× 32= 34，
∴FL=FH−HL=1−14=34，
∴FG= GL2+FL2= ( 34)2+(34)2= 32，
故答案为： 32．
取AB的中点H，连接并延长HF交AC于点K，连接并延长HG交BC于点J，由等边三角形的性质得BC=AB=3，∠C=60°，则BD=BC−CD=2，由三角形的中位线定理得GH//AE，GH=12AE=12，FH//BD，FH=12BD=1，则四边形CKHJ是平行四边形，所以∠KHJ=∠C=60°，作HL⊥FH于点L，则HL=GH⋅cs60°=14，GL=GH⋅sin60°= 34，所以FL=FH−HL=34，由勾股定理得FG= GL2+FL2= 32，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：(1)c−a，a+b−c，12a−12c
(2)如图：BG即为所求．
【解析】【分析】
本题考查的是平面向量的加减法，三角形中位线定理有关知识．
(1)根据图形直接进行解答;
(2)要求作BC−DG，只要作出BC−DG=BC−GC=BG．
【解答】
解：(1)∵AB=a，AD=c
∴BD=BA+AD=c−a，
∵BC=b，
∴BD=BC+CD
c−a=b+CD
∴DC=a+b−c
∵H，E是AD，AB的中点，
∴HE=12DB=12a−c=12a−12c．
(2)见答案．
16.【答案】解：过点E作EH//CD交BD于H. …(2分)
∵点E是BC的中点，
∴点H是BD的中点．
∴HE是△BDC的中位线．
∴HECD=12. …(3分)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD．
∴HEAB=12，EH//AB．
∵BF=2AF，
∴BFAB=23．
∴BFHE=43．
∵EH//AB，
∴△FGB∽△EGH. …(4分)
∴BFHE=BGGH=43．
∵点H是BD的中点，
∴BGGD=25. …(5分)
【解析】由平行四边形的性质易证两三角形相似，然后由相似三角形和平行线分线段成比例得出比例式求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
17.【答案】(1)证明：∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBA，
∵∠C=90°，BE⊥AB，
∴∠C=∠EBD，
∴△DEB∽△BAC．
(2)解：∵点D是AB的中点，AB=6，
∴BD=12AB=3，
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC= AB2−AC2=4 2，
∴S△ABC=12×AC×BC=4 2，
由(1)可得△DEB∽△BAC，
∴S△BDES△ABC=(BDBC)2=(34 2)2=932，即S△BDE=932S△ABC，
∴S△BDE=932S△ABC=932×4 2=98 2．
【解析】(1)根据DE//BC可得∠EDB=∠CBA，即可求证△DEB∽△BAC；
(2)先求出BD=12AB=3，BC= AB2−AC2=4 2，再求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
18.【答案】解：∵AD⊥DC，EF⊥AD，
∴EF//DC，
∴∠AEF=∠C，
∵B、C相距30米，C、D相距60米，
∴EF=DB=BC=30米，
∵∠AFE=∠EBC=90°，
∴△AEF≌△ECB(ASA)，
∴AF=BE，
∵DF=BE，
∴AD=2BE=2×20=40(米)．
答：甲楼的高AD是40米．
【解析】由图可知，AD⊥DC，EF⊥AD，推出EF//CD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线的性质，平行线的性质，全等三角形，解题的关键是仔细分析数据特点，将原题转化为关于三角形中位线的问题解答．
19.【答案】证明：(1)∵BE//AC，OE//AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，
∵AC=2AB，
∴AO=AB，
∴四边形ABEO是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC=2 5，OB=12BD=4，
连接AE交BO于M，
由(1)知，四边形ABEO是菱形，
∴AE、OB互相垂直平分，
∴OM=12BO=2，
∴AM= OA2−OM2= (2 5)2−22=4，
∴AE=8，
∴四边形ABEO的面积=12AE⋅OB=12×8×4=16．
【解析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABEO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AC=2AO，推出AO=AB，得到四边形ABEO是菱形；
(2)根据平行四边形的性质得到AO=12AC=2 5，OB=12BD=4，连接AE交BO于M，根据勾股定理得到AM，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，
在△BCE和△DCF中，
BE=DF∠B=∠DBC=DC，
∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE//BC，
∴AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE//BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【解析】(1)由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知证出AE=BE=DF=AF，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；
(2)由三角形中位线定理证出OF=12DC，OE=12BC，OE//BC，得到AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．
本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解答本题的关键．
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点E，F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是( )
A. ∠ACD=∠BCDB. AD=BD
C. CD⊥ABD. CD=AC
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过D点作DF⊥AB于点F，若OE=4，∠DAB=60°，则AF的长为( )
A. 3
B. 2 3
C. 4
D. 4 3
3.如图，▱ABCD中，AB=3，BE平分∠ABC，交AD于点E，DE=2，点F，G分别是BE和CE的中点，则FG的长为( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 5
4.如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG=( )
A. 52B. 102C. 2D. 3 22
5.如图△ ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长为( )
A. 32B. 52C. 3D. 4
6.如图，已知△ABC中，∠BAC=80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，点E为BC的中点，连结DE.则∠BDE的度数为( )
A. 130°B. 125°C. 120°D. 100°
7.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.( )
A. AB=CDB. AB//CDC. AC=BDD. AD=BC
8.如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中的相似三角形有( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
9.如图在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE=4，则GF=( )
A. 5
B. 4
C. 2
D. 3
10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( )
A. 4
B. 72
C. 92
D. 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连接DE，测得DE=20米，则BC= ______ 米.
12.如图，AB是池塘两端，设计一方案测量AB的距离，首先取一点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE=15米，则AB=______米．
13.如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于___________．
14.如图，在正△ABC中，AB=3，AE=CD=1，F、G分别为AD、BE的中点，则FG= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)如果设AB=a，BC=b，AD=c，那么BD= ，DC= ，HE= (含a、b、c的式子表示)；
(2)求作：BC−DG．
(请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论)
16.(本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点.请你在线段AB上截取BF=2AF，连接EF交BD于点G，求GBGD的值．
17.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，DE//BC，BE⊥AB．
(1)求证：△DEB∽△BAC；
(2)若AB=6，AC=2，求△DEB的面积．
18.(本小题8.0分)
如图，小明在乙楼BE前方的点C处，眼睛贴地观察，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，EF⊥AD于点F，已知D、B、C在一条直线上，甲AD与EB均垂直于CD，求甲楼的高AD.(提示：DF=BE，EF=BD)
19.(本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC=2AB，BE//AC，OE//AB．
(1)求证：四边形ABEO是菱形．
(2)若AC=4 5，BD=8，求四边形ABEO的面积．
20.(本小题8.0分)
已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定，矩形的判定等知识.添加AD=BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF是平行四边形，再根据∠ACB=90°，得出四边形DECF成为矩形．
【解答】
解：添加AD=BD，
∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD=BD，
∴ED//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形DECF是矩形．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∴E为AB的中点，
∴AE=EB，
∴OE是△ADB的中位线，
∴AD=2OE=8，
∵DF⊥AB，∠DAB=60°，
∴AF=12AD=4，
故选：C．
根据平行四边形的性质得出DO=OB，进而利用三角形的中位线定理得出AD，进而利用含30°角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出DO=OB解答．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=3，
∴AD=BC=AE+ED=3+2=5，
∵点F，G分别是BE和CE的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG=12BC=2.5，
故选：B．
根据平行四边形的性质得出AD//BC，进而利用平行线的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AD//BC解答．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形中位线的定理，求EC的长是解本题的关键．
由矩形的性质和角平分线的定义可得AB=BE=3，可得EC=1，由勾股定理可求DE= 10，由三角形中位线定理可求GF的长．
【解答】
解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC−BE=1，
∴DE= EC2+CD2= 10，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG=12DE= 102．
故选B．
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】A
【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵∠BAC=80°，AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAF=40°．
又∵BD⊥AD，
∴AF=AB，BD=DF，
∴∠ABF=∠AFB=50°．
∴∠BFC=130°．
又∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE//AC，
∴∠BDE=∠BFC=130°．
故选：A．
延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD=DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并可得DE//AC，则由平行线的性质求解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：当AB=CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下：
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//AB，EG=12AB，
同理HF//AB，HF=12AB，EH//CD，EH=12CD，
∴EG//HF，EG=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴平行四边形EGFH是菱形．
故选：A．
证EG是△ABD的中位线，得EG//AB，EG=12AB，同理HF//AB，HF=12AB，EH//CD，EH=12CD，则EG//HF，EG=HF，得四边形EGFH是平行四边形，再证EG=EH，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，
∴DE//AB，EF//BC，DF//AC，
∴△ODE∽△OAB，△OEF∽△OBC，△ODF∽△OAC，
∵∠ODE=∠OAB，∠ODF=∠OAC，
∴∠ODE+∠ODF=∠OAB+∠OAC，
∴∠EDF=∠BAC，
∵∠OED=∠OBA，∠OEF=∠OBC，
∴∠OED+∠OEF=∠OBA+∠OBC，
∴∠DEF=∠ABC，
∴△DEF∽△ABC，
∴图中共有4对相似三角形，
故选：D．
由三角形的中位线定理证明DE//AB，EF//BC，DF//AC，即可根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ODE∽△OAB，△OEF∽△OBC，△ODF∽△OAC，再由平行线的性质推导出∠EDF=∠BAC，∠DEF=∠ABC，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△DEF∽△ABC，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定等知识，根据三角形的中位线定理证明DE//AB，EF//BC，DF//AC是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB//CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=12AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故选：C．
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质可得BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 42+32=5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=1.5，DE//BC，EC=12AC=2.5，
∴∠EFC=∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC=2.5，
∴DF=DE+EF=1.5+2.5=4，
故选：A．
根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理得到DE=12BC=1.5，DE//BC，根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到EF=EC=2.5，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】40
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×20=40(米)，
故答案为：40．
根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】30
【解析】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故答案为：30．
证明DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可得AB=2DE=30米．
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用.根据菱形的性质得出OC=OA，根据三角形的中位线性质得出OE=12AD，代入求出即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=8，
∴OC=OA，AD=AB=8
∵E是CD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∵AD=8，
∴OE=12AD=4．
故答案为4．
14.【答案】 32
【解析】解：取AB的中点H，连接并延长HF交AC于点K，连接并延长HG交BC于点J，
∵△ABC是等边三角形，AB=3，AE=CD=1，
∴BC=AB=3，∠C=60°，
∴BD=BC−CD=3−1=2，
∵F、G分别为AD、BE的中点，
∴GH//AE，GH=12AE=12×1=12，FH//BD，FH=12BD=12×2=1，
∵JH//CK，KH//CJ，
∴四边形CKHJ是平行四边形，
∴∠KHJ=∠C=60°，
作HL⊥FH于点L，则∠GLH=∠GLF=90°，
∴HL=GH⋅cs60°=12×12=14，GL=GH⋅sin60°=12× 32= 34，
∴FL=FH−HL=1−14=34，
∴FG= GL2+FL2= ( 34)2+(34)2= 32，
故答案为： 32．
取AB的中点H，连接并延长HF交AC于点K，连接并延长HG交BC于点J，由等边三角形的性质得BC=AB=3，∠C=60°，则BD=BC−CD=2，由三角形的中位线定理得GH//AE，GH=12AE=12，FH//BD，FH=12BD=1，则四边形CKHJ是平行四边形，所以∠KHJ=∠C=60°，作HL⊥FH于点L，则HL=GH⋅cs60°=14，GL=GH⋅sin60°= 34，所以FL=FH−HL=34，由勾股定理得FG= GL2+FL2= 32，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：(1)c−a，a+b−c，12a−12c
(2)如图：BG即为所求．
【解析】【分析】
本题考查的是平面向量的加减法，三角形中位线定理有关知识．
(1)根据图形直接进行解答;
(2)要求作BC−DG，只要作出BC−DG=BC−GC=BG．
【解答】
解：(1)∵AB=a，AD=c
∴BD=BA+AD=c−a，
∵BC=b，
∴BD=BC+CD
c−a=b+CD
∴DC=a+b−c
∵H，E是AD，AB的中点，
∴HE=12DB=12a−c=12a−12c．
(2)见答案．
16.【答案】解：过点E作EH//CD交BD于H. …(2分)
∵点E是BC的中点，
∴点H是BD的中点．
∴HE是△BDC的中位线．
∴HECD=12. …(3分)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD．
∴HEAB=12，EH//AB．
∵BF=2AF，
∴BFAB=23．
∴BFHE=43．
∵EH//AB，
∴△FGB∽△EGH. …(4分)
∴BFHE=BGGH=43．
∵点H是BD的中点，
∴BGGD=25. …(5分)
【解析】由平行四边形的性质易证两三角形相似，然后由相似三角形和平行线分线段成比例得出比例式求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
17.【答案】(1)证明：∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBA，
∵∠C=90°，BE⊥AB，
∴∠C=∠EBD，
∴△DEB∽△BAC．
(2)解：∵点D是AB的中点，AB=6，
∴BD=12AB=3，
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC= AB2−AC2=4 2，
∴S△ABC=12×AC×BC=4 2，
由(1)可得△DEB∽△BAC，
∴S△BDES△ABC=(BDBC)2=(34 2)2=932，即S△BDE=932S△ABC，
∴S△BDE=932S△ABC=932×4 2=98 2．
【解析】(1)根据DE//BC可得∠EDB=∠CBA，即可求证△DEB∽△BAC；
(2)先求出BD=12AB=3，BC= AB2−AC2=4 2，再求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
18.【答案】解：∵AD⊥DC，EF⊥AD，
∴EF//DC，
∴∠AEF=∠C，
∵B、C相距30米，C、D相距60米，
∴EF=DB=BC=30米，
∵∠AFE=∠EBC=90°，
∴△AEF≌△ECB(ASA)，
∴AF=BE，
∵DF=BE，
∴AD=2BE=2×20=40(米)．
答：甲楼的高AD是40米．
【解析】由图可知，AD⊥DC，EF⊥AD，推出EF//CD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线的性质，平行线的性质，全等三角形，解题的关键是仔细分析数据特点，将原题转化为关于三角形中位线的问题解答．
19.【答案】证明：(1)∵BE//AC，OE//AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，
∵AC=2AB，
∴AO=AB，
∴四边形ABEO是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC=2 5，OB=12BD=4，
连接AE交BO于M，
由(1)知，四边形ABEO是菱形，
∴AE、OB互相垂直平分，
∴OM=12BO=2，
∴AM= OA2−OM2= (2 5)2−22=4，
∴AE=8，
∴四边形ABEO的面积=12AE⋅OB=12×8×4=16．
【解析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABEO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AC=2AO，推出AO=AB，得到四边形ABEO是菱形；
(2)根据平行四边形的性质得到AO=12AC=2 5，OB=12BD=4，连接AE交BO于M，根据勾股定理得到AM，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，
在△BCE和△DCF中，
BE=DF∠B=∠DBC=DC，
∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE//BC，
∴AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE//BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【解析】(1)由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知证出AE=BE=DF=AF，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；
(2)由三角形中位线定理证出OF=12DC，OE=12BC，OE//BC，得到AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．
本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解答本题的关键．
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