初中数学华师大版九年级上册1.锐角三角函数精品同步练习题

这是一份初中数学华师大版九年级上册1.锐角三角函数精品同步练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在边长为1的方格纸中，AB与CD交于点B，其中A、B均为所在正方形小方格一边的中点，则tan∠ABC=( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 3
2.在△ABC中，∠C=90°.若AB=3，BC=1，则csA的值为( )
A. 13B. 2 2C. 2 23D. 3
3.在Rt△ABC中，∠C为最大角，下列说法正确的是( )
A. csA=BCABB. tanA=BCACC. sinA=ACABD. tanA=csAsinA
4.如图，△OAB是某大桥主塔的正面示意图，OA=OB=a(m)，∠OAB=70°，则桥面宽度AB(单位：m)是( )
A. 12a⋅sin70∘B. 12a⋅cs70∘C. a·cs 70°D. 2a·cs 70°
5.sin30°的倒数为( )
A. 2B. −12C. 3D. 2 33
6.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为( )
A. 12B. 2C. 55D. 2 55
7.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2，则等腰三角形顶角的度数为
( )
A. 30∘；B. 60∘；C. 30∘或150∘；D. 60∘或120∘ .
8.比较tan46°，cs29°，sin59°的大小关系是( )
A. tan46°C. sin59°9.如图，等边三角形ABC的边长为4，D为BC延长线上一点，过点D作DE⊥AB于点E，DE交AC于点F，若CD=2，则EFFD的值为
( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanA=12，若将△ABC各边都扩大5倍，则tanA的值为( )
A. 52B. 110C. 5D. 12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.已知0°<α<90°，如果csα=34，那么tanα= ______ ．
12.如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ．
13.在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有|tanB− 3|+(sinA− 32)2=0，则△ABC的形状为______．
14.在△ABC中，若|sinA− 32|+(csB−12)2=0，则△ABC是______三角形．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
计算：| 3−1|+(π−3)0−tan60°．
16.(本小题8.0分)
(1)计算：|−3|−2tan60°+(12)−1+ 12；
(2)解不等式组：3(x−1)<25x+32>x，并写出所有整数解．
17.(本小题8.0分)
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABAC=BDCD.小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明ABAC=BDCD．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明ABAC=BDCD；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC=1，AB=2，求DE的长；
②若BC=m，∠AED=α，求DE的长(用含m，α的式子表示)．
18.(本小题8.0分)
如图，直线y=−12x+3分别交x轴、y轴于点A，B，点P在线段OA上，连结BP，PC⊥BP交AB于点C，PD是△BCP的中线，设OP=t．
(1)求AB的长．
(2)当C为AD中点时，求t的值．
(3)点P关于直线AB的对称点为点P′，
①若四边形PCP′D是菱形，求PBPC的值；
②当DP取到最小值时，请直接写出PP′的长．
19.(本小题8.0分)
如图1，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边AB的动点，将三角板的直角顶点与点E重合，直角边分别与线段BC交于点F，与射线AD相交于点G，联结FG．
图1 图2 图3
(1)求证：△AEG∽△BFE；
(2)点E为线段AB的中点．
①如图2，当点G在线段AD上运动时，(点G不与点D重合)，设BF=x，四边形CDGF的周长是否随x的变化而变化？如果变化，试用含有x的代数式表示四边形CDGF的周长，如果不发生变化，请说明理由．
②如图3，联结AC，交GE于点P，交FG于点Q，当△AEG与△PQG相似时，求tan∠EGF的值．
20.(本小题8.0分)
已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
(1)当α=60°时(如图1)，
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD= 3AE；
(2)当α=90°时(如图2)，求BDAE的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，
依题意，AE=3，EB=2，
∴tan∠ABC=AEEB=32，
故选：B．
过点A作AE⊥CD于点E，根据题意得出AE=3，EB=2，根据正切的定义即可求解．
本题考查了求正切，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，
由勾股定理可知AC= AB2−BC2= 32−12=2 2，
则csA=ACAB=2 23．
故选：C．
依据勾股定理求出AC的长，根据三角函数的定义就可以解决．
本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3.【答案】B
【解析】解：依题意，∠C=90°，如图所示，
csA=ACAB，故A选项错误，
tanA=BCAC，故B选项正确，
sinA=BCAB，故C选项错误，
csAsinA=ACAB：BCAB=ACBC≠tanA，故D选项错误，
故选：B．
根据题意可得∠C=90°，画出图形，根据三角函数的定义即可求解．
本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，解直角三角形的应用的有关知识，过点O作OC⊥AB，根据等腰三角形的性质得到AB=2AC，然后解直角三角形求出AC，进而求出AB．
【解答】
解：如图，过点O作OC⊥AB，
∵OA=OB=a(m)，
∴AB=2AC，
在Rt△ACO中，OA=OB=a(m)，∠OAB=70°，
∴cs70°=ACAO，
∴AC=AOcs70°=acs70°，
∴AB=2AC=2acs70°
5.【答案】A
【解析】解：sin30°=12，12的倒数是2
∴sin 30°的倒数为2，
故选：A．
根据特殊角的三角函数值以及倒数的定义即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值以及倒数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值以及倒数的定义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】略
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键，注意要分情况讨论，避免漏解而导致出错．
分三角形是锐角三角形与三角形是钝角三角形两种情况进行讨论，根据高与腰的比可得高所对的角的正弦值，即可求出高所对的角的度数，进而求解即可．
【解答】
解：如图1，当三角形ABC为锐角三角形时，AB=AC，BD为腰AC的高，
，
∴∠A=30°，
如图2，当△ABC为钝角三角形时，AB=AC，BD为腰AC的高，
，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°−30°=150°，
综上所述，顶角的度数为30°或150°．
8.【答案】D
【解析】【分析】
根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【解答】
解：∵cs29°=sin61°>sin59°
∴cs29°>sin59°
又∵tan46°>tan45°>1，cs29°<1
∴sin59°故选：D．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、特殊角的三角函数值等知识．
先根据已知条件，利用等边三角形的性质求出∠D=30°，∠AFE=30°，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BE=3，根据30°角的三角函数值计算得出DE、EF的长，最后求出EF与FD的比值．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，且DE⊥AB于点E，
∴∠BED=∠AEF=90°，∠A=∠B=60°，
∴∠D=30°，∠AFE=30°，
∵等边三角形ABC的边长为AB=BC=4，CD=2，
∴BD=BC+CD=4+2=6，
∴BE=BD·sin30°=3，DE=BD·cs30°=3 3，
∴AE=AB−BE=4−3=1，
∴EF=AE·tan60°= 3，
∴DF=DE−EF=3 3− 3=2 3，
∴EFFD= 32 3=12．
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：设AC=b，AB=c，BC=a，
则扩大5倍后三边长是5b，5a，5c，
∵tanA=ab=12，
∴扩大后tanA=5a5b=ab=12．
故选：D．
设AC=b，AB=c，BC=a，则扩大5倍后三边长是5b，5a，5c，根据tanA的定义代入求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握：若在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，则sinA=ac，csA=bc，tanA=ab．
11.【答案】 73
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=α，
∵csα=BCAC=34，
∴设BC=3a，AC=4a，
则AB= AC2−BC2= 7a，
∴tanα=ABBC= 7a3a= 73，
故答案为： 73．
由csα=34设出直角三角形的邻边和斜边长，由勾股定理求出另一直角边的长，再根据正切定义求值即可．
此题考查了锐角三角函数的求值，掌握定义是解答此题的关键．
12.【答案】2
【解析】作辅助线，取AC得中点D，连接BD，利用格点三角形的性质求出各边边长，证明△BAC是等腰三角形，再利用三线合一性质证明直角三角形，最后运用正切值等于对边比邻边即可解题．
解：取AC得中点D，连接BD，设相邻两点之间的距离为1，
利用格点三角形特征可得：AB=5，BC=5，AC=2 5，
∴△BAC是等腰三角形，AD= 5，
∴∠BDA=90°，(三线合一)
BD=2 5，
∴tan∠BAC=BDAD=2 5 5=2．
本题考查了解直角三角形，中等难度，作辅助线证明直角三角形，利用边长之间的关系求正切值是解题关键．
13.【答案】等边三角形
【解析】解：由题意得，tanB= 3，sinA= 32，
则∠A=60°，∠B=60°，
∠C=180°−60°−60°=60°．
故△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
根据非负数的性质求出tanB和sinA的值，然后求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质．
14.【答案】等边
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
根据绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA= 32，csB=12，再利用特殊角的锐角三角函数值求出答案．
【解答】
解：∵|sinA− 32|+(csB−12)2=0，
∴sinA− 32=0，csB−12=0，
∴sinA= 32，csB=12，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
15.【答案】解：原式= 3−1+1− 3，
=0．
【解析】根据绝对值的性质，零指数幂的性质a0=1(a≠0)，特殊锐角三角函数的值进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊锐角三角函数的值
16.【答案】解：(1)|−3|−2tan60°+(12)−1+ 12
=3−2× 3+2+2 3
=5；
(2)解第一个不等式得：x<53，
解第二个不等式得：x>−1，
∴不等式组的解集为：−1∴不等式组的整数解为：0、1．
【解析】(1)先求出绝对值、三角函数值、负整数次幂、和二次根式，再算加减；
(2)先解不等式组，再找出整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的解法和有理数的运算是解题的关键．
17.【答案】(1)解：∵AB // CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴ △ABD∼△ECD ，
∴ ABBD=CECD ，
即 ABBD=ACCD ，
∴ ABAC=BDCD ；
(2)①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由(1)得， ABAC=BDCD ，
∵AC=1，AB=2，
∴ BC= AC2+AB2= 12+22= 5 ，
∴ 21= 5−CDCD ，
解得：CD= 53 ，
∴DE= CD= 53 ；
②由折叠可知∠AED=∠C= α ，
∴ tanα=ABAC ，
由①可知 ABAC=BDCD=m−CDCD ，
∴ tanα=m−CDCD ，
∴ CD=mtanα+1 ，
即： DE=CD=mtanα+1 ．

【解析】【分析】
本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
(1)先证明AC=CE，再证明△ABD∼△ECD，列出比例式，即可证明结论；
(2)①先利用勾股定理求出BC，再利用(1)中的结论列式，求出CD，即可得出答案；
②根据tanα=ABAC 以及ABAC=BDCD=m−CDCD ，求出CD即可得出答案．
18.【答案】解：(1)当x=0时，y=3，即OB=3．
当y=0时，−12x+3=0，解得：x=6，即OA=6．
∴AB= 32+62=3 5．
(2)如图，作CH⊥x轴于点H．
则CH//y轴，
∵D是BC的中点，C是AD的中点，
∴ACAB=13，
∴CH=13BO=1，
∵tan∠BAO=12，
∴AH=2，
∴PH=4−t，
∵PC⊥BP，
∴∠BPO+∠CPH=90°，
∵∠BPO+∠OBP=90°，
∴∠CPH=∠OBP，
∵∠BOP=∠CHP=90°，∴△CHP∽△POB，
∴CHOP=PHBO，
∴OP⋅PH=CH⋅BO，即t(4−t)=3．
解得：t1=1，t2=3；
(3) ①如图，
四边形PCP′D是菱形时，PC=PD．
∵PC⊥BP，D是BC的中点，
∴PC=PD=CD．
∴△PCD是等边三角形．
∴PBPC=tan∠BCP=tan60∘= 3．
②PP′=3 5−3．
如图，PP′交AB于点E，DH⊥BO于点H，
当PD⊥OA时，DP取到最小值．
设HD=t，tan∠BDH=12，
∴BH=t2，BD= 52t，HO=3−t2，
由HO=PD=BD得：3−t2= 52t.
解得：t=32( 5−1)．
∴AP=15−3 52，
∴PE=AP 5=3 5−32，
∴PP′=2PE=3 5−3．

【解析】本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，轴对称的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，关键是知识的综合应用，属于难题．
(1)求出一次函数与坐标轴的交点，即可求出答案；
(2)利用锐角三角函数求出AH=2，表示出PH=4−t，再由△CHP∽△POB得到比例式，进一步解方程即可求解；
(3) ①利用菱形的性质得到△PCD是等边三角形，再由等边三角形的性质及锐角三角函数得到答案；
②利用垂线段最短得到：当PD⊥OA时，DP取到最小值.然后进一步求出PE的长，最后利用轴对称的性质得到答案．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
∵∠FEG=90°，
∴∠FEB+∠AEG=90°，
∴∠AGE=∠FEB，
∴△AEG∽△BFE；
(2)解：①四边形CDGF的周长不随x的变化而变化．
∵△AEG∽△BFE，
∴BFAE=BEAG，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE=BE=1，
∴x1=1AG，
∴AG=1x，
过点F作FH⊥AD于点H，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FB=AH=x，FH=AB=2，
∴GH=|AG−AH|=|1x−x|，
∴GF= HG2+FH2= (1x−x)2+4=1x+x，
∴四边形CDGF的周长=CD+DG+FG+CF=2+(2−1x)+(2−x)+(x+1x)=6，
∴四边形CDGF的周长不随x的变化而变化，它的值为6；
②若△AEG∽△PGQ，如图1，
则∠GAE=∠GPQ=90°，∠PGQ=∠AEG，
∵GP⊥AC，
∴∠AEG=45°，
∴∠PGQ=45°，
∴tan∠EGF=1．
当∠GQP=∠GAE=90°，如图2，
∵BD⊥AC，∠GQP=90°，
∴BD//GF，
∵AG/​/BC，
∴四边形BDGF是平行四边形，
∴DG=BF，
∵△AEG∽△BFE，
∴AEBF=AGBE，
得1x=2+x1，
解得x= 2−1(负值舍去)，
∵△AEG∽△BFE，
∴GEEF=AEBF，
∵AE=BE，
∴GEEF=BEBF，
∵∠GEF=∠EBF，
∴△EBF∽△GEF，
∴∠EGF=∠BEF，
则tan∠EGF=tan∠BEF=BFBE= 2−1；
∵△EBF∽△GEF，
∴∠EGF=∠BEF≠90°．
综上所述，tan∠EGF的值为1或 2−1．
【解析】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及分类讨论的思想等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)根据“一线三等角”基本模型可得∠AGE=∠FEB，从而证明结论；
(2)①过点F作FH⊥AD于点H，根据△AEG∽△BFE，表示出AG的长，再利用勾股定理得出GF= HG2+FH2= (1x−x)2+4=1x+x，表示出四边形CDGF的周长即可；
②分情况讨论：∠GAE=∠GPQ=90°，∠GQP=∠GAE=90°，分别利用相似的判定和性质解答即可．
20.【答案】解：(1)①判断：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等边三角形；
②证明：同理△EBD也是等边三角形，
如图1连接DC，
则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°−∠EBC=∠CBD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°−∠BDE=90°，∠CED=∠BEC−∠BED=90°−60°=30°，
在Rt△EDC中，CDED=tan30°= 33，
∴AEBD= 33，即BD= 3AE；
(2)如图2连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°，
∴△ABC∽△EBD，
∴ABEB=BCBD，即ABBC=EBBD，
又∵∠ABE=90°−∠EBC=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
AECD=BEBD，
∴∠EDC=150°−∠BDE=90°，∠CED=∠BEC−∠BED=90°−(90°−∠BDE)=60°，
设BD=x，在Rt△EBD中DE=2x，BE= 3x，
在Rt△EDC中CD=DE⋅tan60°=2 3x，
∴AE=CD·BEBD=2 3x· 3xx=6x=6BD，即BDAE=16．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，①中知道三角形中有两个60°角即证，②利用①的结论并证得△ABE≌△CBD，在Rt△EDC中很容易证得，(2)连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．
(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论；
(2)连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x，在Rt△EBD中DE=2x，由相似比即得到比值．