云南省楚雄州2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份云南省楚雄州2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


云南省楚雄州 2022-2023 学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知单位向量的夹角为 ，且，则（）
A． B．6C．2D．4
已知样本数据的平均数为 9，则另一组数据
如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
“”是“对任意恒成立”的（）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是 2008 年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视
1．已知集合
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
2．复数
A．5
的虚部为（
B．3
）
C．
D．
的平均数为（
）
A．
B．
C．4
D．3
5．若
A．
是方程
的解，则
B．
（
）
C．
D．
整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择 C 和一个楼房 DE 的楼顶 为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知
，在 点处测得 点的仰角为，在 点处测得 点的仰角为，则超然楼的高度（）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
已知复数 满足，则（）
是纯虚数
复数 在复平面内对应的点在第四象限
某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的 6 瓶饮料中有 2 瓶瓶盖上分别印有“一等奖”， “二等奖”，其余 4 瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选 2 瓶购买，设事件 A 表示“甲没有中奖”， 事件 B 表示“甲获得一等奖”，事件 C 表示“甲中奖”，则（）
事件 A 和事件 B 是对立事件B．事件 A 和事件 C 是对立事件
C． D．
下列式子计算正确的是（）
A． B．
C． D．
在正三棱锥中，与底面所成角的余弦值为，则（）
三棱锥的体积为
二面角的大小为
三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
某游客计划从海口市､三亚市､普洱市､昆明市､丽江市这 5 个地区中随机选择 2 个地区去旅行，其
中海口市､三亚市属于海南省，普洱市､昆明市､丽江市属于云南省，则这 2 个地区在同一省的概率为
若一个样本的中位数是 4，则这个样本的方差为，这个样本的分位数为.
已知函数在上的最小值为 ，则的值为．
已知外接圆的圆心为是边上一动点，若，则的最大值为.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，17 题 10 分，18-22 题各 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有
1000 名学生参加，其中男生 550 名，采用分层抽样的方法抽取 100 人，将他们的比赛成绩（成绩都在内）分为组，得到如图所示的频率分布直方图.
求 的值以及女生被抽取的人数；
估计这 100 人比赛成绩的分位数（小数点后保留 2 位）.
已知函数且 在区间上的最大值是 2.
求 的值；
若函数的定义域为 ，求不等式中的取值范围.
已知向量，设函数.
求在上的单调增区间；
若对任意恒成立，求的取值范围.
袋中装有大小完全相同的 6 个红球，3 个蓝球，其中有 2 个红球和 1 个蓝球上面标记了数字 1，其他球标记了数字 2.
每次有放回地任取 1 个小球，连续取两次，求取出的 2 个球恰有 1 个红球且两球的数字和为 3
的概率；
从袋中不放回地依次取 2 个小球，每次取 1 个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字 1 的球 ，求，并判断事件 与事件 是否相互独立.
如图，在三棱柱中，侧面底面为等边三角形，且
.
证明：.
若，求点 到平面的距离.
在中，角所对的边分别为.
（1）求 ；
（2）若，过 作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意求得 ，.
故答案为：D.
【分析】先求出集合
，再根据并集定义求
.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
，
虚部为 3.
故答案为：B.
【分析】根据复数除法运算法则求出 ，写出其虚部即可.
3．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】根据数量积计算公式先求，再求.
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意得
，求得
，
.
故答案为：D.
【分析】根据平均数定义求出，进而求
即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，显然单调递增，又
，，
只有一个零点且在，.
故答案为：C.
【分析】令，结合函数单调性和零点存在性定理判断取值范围.
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；异面直线；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接、、、，令正方体边长为 2，
分别是的中点 ，易证，为异面直线与所成角或其补角，
，，
在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】连接、、、，由得到为异面直线与所成角或其补角，进而在中利用余弦定理求解.
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
故答案为：A.
【分析】根据不等式的解法和二次函数的性质，分别求出实数 的取值范围，结合充分必要条件的判定方法判断.
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过 作，在 点处测得 点的仰角为，即，
，
在 点处测得 点的仰角为，，在中，
，，在中由正弦定理得
，，
.
故答案为：D.
【分析】过 作，则，在得，在中由正弦定理求
，进而求.
【答案】B,D
【解析】【解答】解：
对任意
求得
恒成立，
，
，求得，
””“
”“是“对任意
“
恒成立”的充分不必要条件.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
D、复数 在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，D 正确.故答案为：BD.
【分析】A 设，则，代入 求出 ，进而分析选项.
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A.AUB 表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲还可能获得二等奖，事件 A
和事件 B 不是对立事件，A 错误
B.AUC 表示“甲没有中奖或甲中奖”为全集，且事件 A 和事件C 是互斥的，事件A 和事件C 是对立事件，B 正确
C.，事件 B+C 表示“甲中奖”，即，C 正确；
D.事件 BC 表示“甲获得一等奖”， ，D 错误.故答案为：BC.
【分析】根据对立事件定义判断 A，B；根据事件的包含关系判断 C，D.
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】解：A、 ，A 错误；
B、，B 正确；
C、
C 正确；
【解析】【解答】解：A 设
，
，则
，求得
，
，
，，
，A 错误；
B、
C、
，B 正确；
，C 错误；
D、，
，D 正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据三角函数诱导公式和余弦函数两角和、正切函数两角和公式逐一化简分析.
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图，
，，，，
A、在正三棱锥中，是的中点，，，又，平面，平面，平面，，A 正确；
B、三棱锥是正三棱锥，，B 错误；
C、由 A 知二面角的平面角为，易得，
，二面角的大小为，C 正确；
得，正三棱锥外接球的表面积
故答案为：ACD.
，D 正确.
【分析】取等边中心 ，取中点 ，连接求出，，逐一分析选项.
，
，
，由题意得
D、设正三棱锥的外接球的半径为 ，则即，求
，进而
取等边
中心
，取
中点
，连接
，
，
，则点
在
上
由题意得
，
，
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：5 个地区中随机选择 2 个地区去旅行有种情况，2 个地区在海南省有 1 种情况，2 个地区在云南省有种情况，
随机选择 2 个地区在同一省的概率为.
故答案为： .
【分析】分 2 个地区在海南省或 2 个地区在云南省两类讨论，结合古典概型的概率公式求解.
【答案】 ；
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：样本数据有 5 个，中位数是样本数据中的一个，，样本平均数：，方差，
样本数据从小到大排列为，，样本的分位数为.
故答案为：4； .
【分析】根据中位数的定义得到，求样本的平均数，再利用方差的公式和根据百分位数定义求样本的方差和分位数.
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解： 在上的最小值为，在上的最小值为，为偶函数，由图象性质易知当，取得最小值，，又，求得.
故答案为： .
【分析】将问题转化为在上的最小值为，再结合 图象性质知求得最小值，进而求解 .
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；余弦定理的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，即
，求得（舍负），由数量积的公式知当在方向上的投影最大时最大，即当点 P 运动到点 B 时最大，.
故答案为： .
【分析】在中，利用余弦定理求，结合数量积的公式知当在方向上的投影最大时最大，即当点 P 运动到点 B 时最大，进而求解.
【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得，其中女生被抽取的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可得：，
，
所以分位数位于区间，则分位数为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的性质得所有小长方形面积和为 1 列出方程求得 a 的值，结合分层抽样原理求女生被抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法求解.
【答案】（1）解：当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值 2，即，因此.
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值 2，即，因此.
故或
（2）解：因为的定义域为 ，所以，则，即，
代入不等式，得，
则，解得，因此的取值范围是.
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)分和两种情况讨论对数函数单调性，进而求 a 的值；
(2)由函数的定义域为，可得二次函数，结合（1）求 a 的值，然后利用指数函数的单调性求 m 的取值范围.
【答案】（1）解：
（2）解：当时，则，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为 0，
所以在上的最大值为 1，
由于对任意恒成立，故，故的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象
【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标运算先求，结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再利用正弦函数的单调性求在上的单调增区间；
(2)根据 x 范围，先求得的最值，再求的最大值，进而得到的取值范围.
【答案】（1）解：第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为 3，即抽到红 1 蓝
2 或者红 2 蓝 1 的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为 3 即抽到的是蓝 2 红 1 或者蓝 1 红 2 的
，
当
由
时，则
.
，可得，
故函数
在
上的单调增区间为.
概率，
则所求的概率为.
（2）解：“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字 1 的球”即取到的是数字 2，1 或者 1，1，概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字 1 的球”即抽到的为红 1 数字 1 或者红 2 数字 1，概率
.
因为成立，所以事件 与事件 相互独立.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)第一类：求第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为 3，即抽到红 1 蓝 2 或者红 2 蓝 1 的概率；第二类： 求第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为 3 即抽到的是蓝 2 红 1 或者蓝 1 红 2 的概率 ，然后概率相加即可；
(2) 求出事件 、事件 与事件 的概率，验证与是否相等判断事件 与事件 是否相互独立.
【答案】（1）证明：在三棱柱中，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接，
则且，四边形为平行四边形，有，
由为的中点，得，又，平面
，
于是平面，又，因此平面，又平面，即有.
而，则，又 为的中点，
所以.
（2）解：连接，由为等边三角形，得，，
因为平面平面，平面平面平面，则平面
，
又平面，即有，由（1）知，于是，
，，
设点 到平面的距离为 ，由，得，即，解得，
所以点 到平面的距离为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)取的中点 ，连接，取的中点 ，连接，通过证明平面得到平面，所以，即有，证得.
(2)由已知结合面面垂直的性质，得到平面，再利用等体积法求解点
到平面的距离.
因为，所以.
（2）解：
由已知可设，
22．【答案】（1）解：因为
，
所以
，
又，所以
，
因为，，所以
又，解得
，
，
当时，的长度取得最大值.
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角化简得，结合及求的值 ；
(2) 由已知设，在中由正余定理正定理得，再在中利用余定理求的最大值.在中，则由余弦定理得
，
即
由正弦定理得，所以
，
.
在中，由余弦定理，得
，