阶段专项提分练四　新定义运算2023-2024北师大版数学七年级上册

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  阶段专项提分练四　新定义运算·类型一:定义两个数的运算典例1：对于整数a,b,规定一种新的运算“*”,即a*b等于由a开始及其以后连续|b|个整数的积,如,2*3=2×3×4=24,(-5)*(-2)=(-5)×(-4)=20,那么(-7)*[1*(-2)]的值等于多少?解析：根据题中的新定义得:1*(-2)=1×2=2,则(-7)*[1*(-2)]=(-7)*2=-7×(-6)=42.变式1：若规定:a*b=,如1*2==-3,请计算:(2*3)*(-4).解析：因为a*b=,所以(2*3)*(-4)=*(-4)=*(-4)=-1*(-4)===.变式2：对于有理数a,b,定义一种新运算“☉”,规定:a☉b=|a+b|+|a-b|.例如1☉2=|1+2|+|1-2|=3+1=4.(1)计算2☉(-4)的值;(2)若a,b在数轴上的位置如图所示,化简a☉b.解析：(1)根据题中的新定义得:2☉(-4)=|2+(-4)|+|2-(-4)|=2+6=8;(2)根据数轴上位置得:a☉b=|a+b|+|a-b|=-(a+b)-(a-b)=-a-b-a+b=-2a.·类型二:定义多个数的运算典例2：小明学习了《有理数》后,对运算非常感兴趣,于是定义了一种新运算“△”规则如下:对于两个有理数m,n,m△n=.(1)计算:1△(-2)=__________; (2)这个运算中,交换m,n两数的位置,计算结果是否会受到影响,请结合整式的计算,说明理由;(3)若a1=|x|,a2=|x-1|,若a1△a2=3,直接写出x的值.(1)1△(-2)===1.答案:1(2)因为m△n=,n△m=.而|m-n|=|n-m|,所以m△n=n△m,因此交换m,n两数的位置,计算结果不会受到影响;(3)因为a1△a2=3,所以=3,所以|a1-a2|+a1+a2=6,①当a1>a2时,|a1-a2|+a1+a2=6,即a1-a2+a1+a2=6,所以a1=3,又因为a1=|x|,所以x=3或x=-3,当x=-3时,a2=|x-1|=4>a1(舍去).②当a1<a2时,|a1-a2|+a1+a2=6,即-a1+a2+a1+a2=6,所以a2=3,又因为a2=|x-1|,所以x=4或x=-2,当x=4时,a1=|x|=4>a2(舍去),因此x=3或x=-2.变式：对于正整数a,b,定义一种新运算a△b=(-1)a+(-1)b.(1)计算1△2的值为　0　; (2)写出a△b的所有可能的值　-2或0或2　; (3)若a△b△c△d△e△f=(-1)a+(-1)b+(-1)c+(-1)d+(-1)e+(-1)f,其中a,b,c,d,e,f都是正整数,请你写出使a△b△c△d△e△f=4成立的一组a,b,c,d,e,f的值　2,4,6,8,10,3(答案不唯一)　;  (4)若a,b,c都是正整数,则下列说法正确的是　A,C　.(选出所有正确选项) A.a△b=b△a    B.a△(b+c)=a△b+a△cC.(a△a)2=2[(2a)△(2a)] D.(a△b)3=3[(3a)△(3b)]·类型三:定义数对间关系典例3：字母a,b表示两个正整数,规定a⊕b=[a,b]+(a,b),其中[a,b]表示a与b的最小公倍数,(a,b)表示a与b的最大公因数.(1)求9⊕12;(2)已知15⊕x=63,求x.解析：(1)因为a⊕b=[a,b]+(a,b),所以9⊕12=36+3=39;(2)设15和x的最小公倍数是m,最大公因数是n,依题意有经过讨论,只有x=12,最大公因数是n=3,最小公倍数是m=60.故x的值为12.·类型四:两种运算的组合典例4：定义新运算“@”与“⊕”:a@b=,a⊕b=.(1)计算3@(-2)-(-2)⊕(-1)的值;(2)若A=3b@(-a)+a⊕(2-3b),B=a@(-3b)+(-a)⊕(-2-9b),比较A和B的大小.解析：(1)3@(-2)-(-2)⊕(-1)=-=+=1;(2)A=3b@(-a)+a⊕(2-3b)=+=3b-1,B=a@(-3b)+(-a)⊕(-2-9b)=+=3b+1,则A<B.