山西省运城市景胜中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（A卷）

这是一份山西省运城市景胜中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（A卷），共3页。试卷主要包含了已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.如图在四面体中，分别在棱上且满足，点是线段的中点，用向量表示向量应为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知平行四边形中，，则顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体中，为的中点，为的三等分点（靠近点），则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A.
B.直线与所成角的正弦值为
C.向量与的夹角是
D.平面
8.已知，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列说法中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（ ）
A. B.
C. D.
11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.的图象关于点对称
D.在区间上单调递增
12.如图，在直三棱柱中，，点分别是线段上的动点（不含端点），且.则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.该三棱柱的外接球的表面积为
C.异面直线与所成角的正切值为
D.二面角的余弦值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则__________.
14.已知，若，则的值为__________.
15.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________.
16.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知直线.
（1）若直线的倾斜角是倾斜角的两倍，且与的交点在直线上，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且与的距离为3，求直线的方程.
18.在正四棱柱中，是棱上的中点.
（1）求证：；
（2）异面直线与所成角的余弦值.
19.如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.
（1）证明：；
（2）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.
20.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求直线到平面的距离；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.如图，在三棱锥中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.
22.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.
（1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离；
（2）某日经观测发现，在该平台正南处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
景胜中学2023-2024学年度第一学期高二月考（10月）
数学参考答案（A卷）
单选题
1.B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D
多选题
9.AB 10.ABC 11.BD 12.AD
填空题
13.1 14. 15. 16.
解答题
17.【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直线的斜率是，所以的倾斜角是，所以直线的倾斜角就是，再根据交点，利用点斜式方程求直线；
（2）设直线的方程为，再根据平行线的距离求.
【详解】解：（1）因为直线的斜率为，所以倾斜角为.
又因为直线的倾斜角是倾斜角的两倍，故的倾斜角是.
因为直线与直线的交点为，所以直线的方程是，
即.
（2）因为直线与直线平行，故可设直线的方程为.
因为与的距离为3，则有，解得或，所以直线的方程或.
本题考查直线方程的求法，意在考查直线方程的每种形式需要的条件，但比较重要的还是已知两点求直线，或者已知直线过一个定点和直线的斜率.
18.【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.
【小问1详解】
证明：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
，
所以；
【小问2详解】
，
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为.
19.【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由平面平面可得面，从而可得；
（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】（1）依题意，面面，
面，面面，
面.
又面，
.
（2）解法一：向量法
在中，取中点，
面，
以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，
，
.
设面法向量为，
则，解得.
设直线与平面所成角为，
则，
因为.
所以直线与平面所成角的余弦值为.
（2）解法二：几何法
过作交于点，则为中点，
过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，
过A作交于点，连结，
连结，取中点，连结，
四边形为矩形，所以面，所以，
又，所以面，
所以为线与面所成的角.
令，则，
由同一个三角形面积相等可得，
为直角三角形，由勾股定理可得，
所以，
又因为为锐角，所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】以为原点，所在的直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间坐标系，求出，即可证明，得到平面，点到平面的距离即为直线到平面的距离，求出平面的法向量，然后利用空间向量法求解点到平面的距离，即可得到结果.
（2）求出平面的法向量，利用空间向量法求解平面与平面所成锐二面角的余弦值即可.
【小问1详解】
解：以为原点，所在的直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的"
空间坐标系，则.
.
.
平面点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
，取，则，
又，
点到平面的距离为
【小问2详解】
解：设平面的法向量为，则，
取，则
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值
21.【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形性质得垂直，再通过计算，根据勾股定理得垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论；
（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得坐标，再利用向量数量积求得向量与平面法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
【详解】（1）因为为的中点，所以，且.连结.
因为，所以为等腰直角三角形，
且，由知.
由知，平面.
（2）[方法一]：【通性通法】向量法
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
由已知得
取平面的法向量.
设，则.
设平面的法向量为.
由得，
可取
所以.由已知得.
所以.解得（舍去），.
所以.
又，所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
[方法二]：三垂线十等积法
由（1）知平面，可得平面平面.如图5，在平面内作，垂足为，则平面.在平面内作，垂足为，联结，则，故为二面角的平面角，即.
设，则，在Rt中，.在Rt中，由，得，则.设点到平面的距离为，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为.
[方法三]：三垂线十线面角定义法
由（1）知平面，可得平面平面.如图6，在平面内作
，垂足为，则平面.在平面内作，垂足为，联结，则，故为二面角的平面角，即.同解法1可得.
在中，过作，在中，过作，垂足为，联结.在Rt中，.因为，
所以.
由平面，可得平面平面，交线为.在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角.
设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为.
[方法四]：【最优解】定义法
如图7，取的中点，联结，则.过作平面的垂线，垂足记为（垂足在平面内）.联结，则即为二面角的平面角，即，得.
联结，则为直线与平面所成的角.在Rt中，，
所以.
【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；
方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；
方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；
方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解.
22.【答案】（1）
（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解析】
【分析】（1）先求出的坐标，再由距离公式得出之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【小问1详解】
由题意得；
【小问2详解】
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.