浙江省嘉兴市海盐高级中学2023-2024学年高二数学上学期10月阶段测试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，，
则，.
故选：D.
2. 下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的有（ ）
A. 样本，，…，的方差B. 样本，，…，的中位数
C. 样本，，…，的众数D. 样本，，…，的平均数
【答案】A
【解析】
【分析】根据样本的数字特征的知识确定正确答案.
【详解】能度量样本离散程度、波动程度、稳定性的是方差.
故选：A
3. 已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A 相交B. 外切C. 内切D. 内含
【答案】B
【解析】
【分析】首先由两圆的标准方程分别得出圆心坐标和半径，再求出两圆的圆心距，根据圆心距与两圆半径之间的关系即可得出两圆的位置关系．
【详解】由圆方程，得圆心为，半径，
由圆方程，得圆心为，半径，
则两圆的圆心距为，
所以圆与圆外切，
故选：B．
4. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.
【详解】由题意知，圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为．
故选：C
5. 如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
6. 直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.
【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，
解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线与直线平行，
所以的值为.
故选：C
7. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程分别为、，由题意可知，这两条直线与圆都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，
设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，直线、均与圆相交，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D. .
【答案】B
【解析】
【分析】由题设以线段为直径圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.
【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B. 直线在轴的截距是2
C. 直线的倾斜角为30°
D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.
【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.
D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.
故选：CD
10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆M内B. 圆M关于对称
C. 半径为D. 直线与圆M相切
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.
【详解】整理得：，
∵，时，∴点在圆M外，A错；
∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；
∵圆M半径为1，故C错；
∵圆心到直线的距离为，与半径相等，
∴直线与圆M相切，D对.
故选：BD.
11. 某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）
注：同比增长率=（今年月销售额一去年同期月销售额）÷去年同期月销售额．

A. 2023年1月至6月的月销售额的极差为8
B. 2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8
C. 2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5
D. 2022年5月的月销售额为10万元
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据统计图得出6个月份的数据，确定极差，百分位数，中位数及相应销售额数据，再判断各选项．
【详解】对于A，2023年1月至6月的月销售额的最大值是14，最小值是6，极差为8，故A正确；
对于B，六个数从小到大排列为，因为，所以2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为第四个数11，故B错误；
对于C，2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5，故C正确；
对于D，设2022年5月的月销售额为万元，则，解得，故D正确．
故选：ACD．
12. 如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）
A. 椭圆的长轴长等于4
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是
D. 椭圆上点到一个焦点的距离的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．
【详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则，离心率，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 过点且与直线垂直的直线方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直直线斜率之积为，结合点斜式求解即可.
【详解】直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故答案为：
14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
15. 椭圆的焦距为4，则m的值为__________．
【答案】10或2
【解析】
【分析】讨论椭圆中的取值，结合之间的关系，即可求得答案.
【详解】椭圆的焦距为4，即
当时，；
当时，；
故m的值为10或2，
故答案为：10或2
16. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出A，B两点的坐标，则可求出，然后求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的最大值和最小值，即可求得结果.
【详解】对于，当时，，当时，，
所以，
所以，
圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值，
点P到直线的距离的最小值，
所以面积的最大值为，
面积的最小值为，
所以面积的取值范围是，
故答案为：

四、解答题：本题共4小题，共40分.每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点，直线：.
（1）求过点且与直线平行的直线方程，并求两平行线间距离.
（2）求点关于直线的对称点的坐标.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）确定直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程，化为一般式方程，即得答案；利用平行线间的距离公式即可求得两平行线间距离；
（2）设点关于直线的对称点的坐标，依题意列出方程组，即可求得答案.
【小问1详解】
直线：的斜率为1，
故过点且与直线平行的直线方程为，即，
这两条平行线间的距离为；
【小问2详解】
设点，则由题意可得，
解得，所以点B的坐标为.
18. 已知，．
（1）求；
（2）当时，求实数的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可；
（2）由，得，再根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可.
【小问1详解】
已知，，
则，，，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
解得或．
19. 如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，平面平面，且.
（1）求证：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，证得，结合平面平面，利用面面垂直的性质定理，即可证得平面；
（2）由（1）知平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面，
且平面平面，所以平面．
【小问2详解】
解：由（1）知平面，
因为平面，所以，
又因为，且为的中点，所以，
以为坐标原点，以DB，DC，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
不妨设，可得，，，，，
由，可得，
则，，，，
设平面的法向量为，则有,
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
20. 设圆的圆心为，半径为，圆过点，直线交圆与两点，.
（1）求圆的方程；
（2）已知，过点的直线与圆相交于两点，其中，若存在，使得轴为的平分线，求正数的值.
【答案】（1）或
（2）4
【解析】
【分析】（1）设圆C的方程为，根据题意，利用待定系数法，即可求出结果；
（2）由（1）知，圆C的方程为，设直线PQ的方程为，联立直线与圆的方程，化简整理得到韦达定理，然后再根据轴平分，可得，化简整理可得，求解方程即可得到结果.
【小问1详解】
解：设圆C的方程为，
由题意得，，解得，或，
∴圆C的方程为或.
【小问2详解】
解：由（1）知，圆C的方程为.
设直线PQ的方程为，
联立，化简得，
∴，.
∵轴平分，∴，则，
∴，
即，
∴，解得，
∴当时，轴为的平分线.