辉南县第六中学2022-2023学年高一上学期10月测试（三）（奥赛班）数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知集合，，，中所含元素的个数为( )
A.2B.4C.6D.8
2、函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是( )
A.为奇函数B.为偶函数
C.为奇函数D.为偶函数
3、已知函数，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
4、已知函数，则的值为( )
A.6B.5C.4D.3
5、集合或，若，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6、“”是“幂函数在上是减函数”的一个( )条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
7、已知，满足，则的最小值为( )
A.B.4C.D.
8、若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、设，，则( )
A.B.C.D.
10、对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是( )
A.“”是“”的充要条件
B.“”是“”的充分条件
C.“”是“”的必要条件
D.“是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
11、已知函数的图象关于对称，且对，，当，时，成立，若对任意的恒成立，则a的可能取值为( )
A.B.-1C.1D.
12、下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若正数a、b满足，则
C.若，则的最大值是
D.若，，，则的最小值是9
三、填空题
13、设函数，不等式的解集为，若对任意，恒成立，则实数m的取值范围为________.
14、若正数a，b满足，则的最小值是________.
15、已知，，下面四个结论：
① ；② 若，则的最小值为4；③ 若，则；④ 若，则的最小值为；
其中正确结论的序号是________.（把你认为正确的结论的序号都填上）
16、命题：p：“，”的否定为________.
四、解答题
17、（1）的定义域为，求的定义域；
（2）已知二次函数，求在上的最小值的解析式.
18、已知对任意两个实数a，b，定义，设函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且.
(1)求函数的最小值；
(2)若不等式对任意实数t恒成立，求非零实数m的取值范围.
19、设，命题，满足.命题，，
(1)若命题p，q都是真命题，求a的取值范围；
(2)若和q中有且仅有一个为真命题，求a的取值范围.
20、已知定义域为R，对任意x，都有，当时，，.
(1)试判断在R上的单调性，并证明；
(2)解不等式：.
参考答案
1、答案：C
解析：因为，
所以，，，，，中含6个元素.
故选：C.
2、答案：C
解析：令，
则，
且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则，
且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误.
故选：C.
3、答案：B
解析：根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得.
故选：B.
4、答案：B
解析：因为，所以，
因此，所以，
故选：B.
5、答案：A
解析：，
①当时，即无解，此时，满足题意；
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得.
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
6、答案：A
解析：由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或，
故必要性不成立.
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件.
故选：A.
7、答案：C
解析：由知：，
而，，
，
则，
.
故选：C.
8、答案：D
解析：函数是偶函数，
，又，
，，
，
函数的周期为4，
.
故选：D.
9、答案：BC
解析：根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可，
依题意集合B的元素为集合的子集，
所以，，，，，，，，
所以，，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC.
10、答案：ABD
解析：当时，充分性成立；
当时，若，则不一定成立，必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件，
故“”是“”的充要条件为假命题，A正确；
当，时，充分性不成立，
当时，若取，，则，必要性不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件，
故“”是“”的充分条件为假命题，B正确；
不一定，但必有，
故“”是“”的必要条件，为真命题，C错误；
若是无理数，则a是无理数，充分性成立；
若a是无理数，则a是无理数，必要性成立，
则“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，
故“是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件为假命题，
D正确.
故选：ABD.
11、答案：BC
解析：因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线(即y轴)对称，
所以函数是偶函数，
又，时，成立，
所以函数在上是单调增函数，
且对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
当时，恒成立，当时，，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，因此.
故选：BC.
12、答案：BC
解析：对于选项A，，
因为，，所以，
，即，故，所以A错误；
对于选项B，因为，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于选项C，因为，，
当且仅当即时，等号成立，
所以，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
所以，
当且仅当即，时，等号成立，
所以的最小值是8，故D错误.
故选：BC.
13、答案：
解析：由函数，
且不等式的解集为，
即-1，3是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意，恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
14、答案：
解析：设，，则，，
可得，
所以
，
当且仅当，时，等号成立，取得最小值.
故答案为：.
15、答案：①③④
解析：对于①，因为，所以，
即，
因为，，所以，所以①正确；
对于②，因为，所以，
所以
，
当且仅当，，
即，时取等号，所以②错误；
对于③，因为，所以，
因为，所以，所以③正确；
对于④，因为，
当且仅当，即，上时取等号，
因为，所以，
所以，
当且仅当，时取等号，所以④正确.
故答案为：①③④.
16、答案：，
解析：由题意得p的否定为“，”.
故答案为：，.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为的定义域为，
所以，
故的定义域为.
（2）由题意可知，的对称轴为：
，且图像开口向上，
①当时，即时，在上单调递增，
故；
②当时，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
故；
③当时，即时，在上单调递减，
故.
综上所述，.
18、答案：(1)0
(2)
解析：(1)，，
令，则是奇函数，而是偶函数，
所以，
即，
解得，，，
所以的图象如下图所示，
由图可知的最小值为0.
(2)由(1)得，是偶函数，开口向上，
在区间上递增，上递减，
不等式对任意实数t恒成立，
，
，
当时，恒成立，符合题意.
当时，，
所以，
恒成立，
所以，
解得.
当时，，
所以，
恒成立，
所以，
解得，
综上所述，m的取值范围是.
19、答案：(1)
(2)
解析：(1)若p为真，则只需即可，
当，即时，，
即，解得，故；
当，即时，，
即，解得，故；
综上：，
若q为真，则，即，得，
所以若命题p，q都是真命题，则，即.
(2)依题意，可知有两种情况，分别讨论如下：
若假和q真，则p，q都是真命题，由(1)可知；
若真和q假，
则由真，得p假，故，由q假，
得或，所以，
综上：.
20、答案：(1)函数在R上单调递减，证明见解析
(2)
解析：(1)函数在上R单调递减，证明如下：
任取，，且，
可得
，
因为，且时，，所以，
所以，即，
所以在R上单调递减.
(2)令，得，，
，
，又在R上的单调递减且，
，
，，
即不等式解集为.