和田地区第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知点，，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“相关点直线”，给出下列直线：①；②；③；④，其中为“相关点直线”的是( )
A.①③B.②④C.②③D.③④
2、极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距是( )
A.3B.1C.D.
3、已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是( )
A.2B.4C.8D.16
4、直线与直线互相垂直，则a的值为( )
A.2B.-3或1C.2或0D.1或0
5、已知圆C过点，，点M，N在圆C上，则面积的最大值为( )
A.100B.25C.50D.
6、若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是( )
A.B.
C.D.
7、已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为( )
A.7B.8C.9D.10
8、已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是( )
A.直线的一个方向向量为
B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为
D.平面的一个法向量为
10、已知P是双曲线上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，（），若恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是( )
A.双曲线的方程为
B.双曲线的离心率为
C.函数，的图象恒过双曲线C的一个焦点
D.直线与双曲线C有两个交点
11、下列说法不正确的是( )
A.不能表示过点且斜率为k的直线方程
B.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C.直线与y轴的交点到原点的距离为b
D.设，，若直线与线段有交点，则a的取值范围是
12、已知正项数列满足，则下列说法正确的是( )
A.若，则，
B.，使单调递增
C.，使
D.若，则数列中有无穷多项大于
三、填空题
13、若圆与圆的公共弦的长为，则圆上位于下方的点到的最长距离为_________.
14、若圆与圆外切，则实数t的值为_________.
15、直线与圆相切，则_________.
16、记为等差数列的前n项和，若，则_________.
四、解答题
17、已知抛物线和直线相交于A，B两点，且抛物线C的焦点在直线l上.
（1）求；
（2）设圆M经过A，B两点，且与抛物线C的准线相切，求圆M的方程.
18、已知正项数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知对于，不等式恒成立，求实数M的最小值.
19、已知数列及，，.
（1）求，，的值，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.
20、已知两个定点，，如果动点P满足.
(1)求点P的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；
(2)若直线分别与点P的轨迹和圆都有公共点，求实数k的取值范围.
21、已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求证：.
22、在平面直角坐标系中，点为椭圆上一动点，直线l交椭圆C于A，B两点，且满足.
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用，表示k的值；
（Ⅱ）若的面积为，求t的值.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意可知，点P的轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，
其方程是.
解法一：①把代入并整理得，，
，直线与圆相离，
直线不是“相关点直线”，
同理，通过联立直线和圆的方程，
可得直线②，④与圆相交，
直线③与圆相离，所以②④符合题意.
故选：B.
解法二：①圆心到直线，
即的距离为，
直线与圆相离，直线不是“相关点直线”，
同理，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小，
可得直线②，④与圆相交，
直线③与圆相离，所以②④符合题意.
故选：B.
2、答案：C
解析：由对应普通方程为，即圆心为，
由对应普通方程为，即圆心为，
所以两个圆的圆心距为.
故选：C.
3、答案：A
解析：因为时，，所以，而，
所以数列是首项为3公差为1的等差数列，
故，从而，
又因为恒成立，即恒成立，所以，
由，，得，
所以，所以，即实数的最小值是2.
故选：A.
4、答案：C
解析：当时，直线为：，，满足条件，
当时，直线为：，，
显然两直线不垂直，不满足；
当且时，因为两直线垂直，
所以，解得，
综上：或.
故选：C.
5、答案：D
解析：设圆C的方程为，
将，，代入可得，
，解得，，，
故圆C的一般方程为，即，
故的面积.
面积的最大值为.
故选：D.
6、答案：C
解析：由变形为，
直线与半圆相切时有，则，
当过时，，
由图知：b在时直线与曲线有公共点.
故选：C.
7、答案：C
解析：将圆方程化为标准方程为：，如下图所示：
作点关于x轴的对称点，
连接与圆相交于点Q，与x轴相交于点S，
此时，的值最小，
且，
由圆的标准方程得：M点坐标为，半径，
所以，，
所以最小值为9.
故选：C.
8、答案：C
解析：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，即，
所以，
所以
，
所以k的取值范围是.
故选：C.
9、答案：AC
解析：由题意，，，，，，
，
向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确；
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则C正确；
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则D不正确.
故选：AC.
10、答案：AC
解析：设，，，，
则，所以，，
所以，
又，
当且仅当等号成立，
又，且实数t的最大值为1，
所以，即，
所以双曲线的方程为，故A正确；
则双曲线的离心率，故B错误；
双曲线的焦点坐标为，
函数，，的图像过定点，故C正确；
双曲线的渐近线为，而直线的斜率为，
所以直线与双曲线C有没有交点，故D错误.
故选：AC.
11、答案：BCD
解析：因过点且斜率为k的直线方程为，
由知，，即不过点，A正确；
当x轴、y轴上的截距a，b都为0时的直线方程不能用表示，B不正确；
直线中的b是该直线在y轴上的截距，它可以取负数，
而直线与y轴的交点到原点的距离为非负数，C不正确；
直线过定点，如图，
直线斜率，直线斜率，
点P与线段上的点所成直线斜率范围是，
即或，则a的取值范围是，D不正确.
故选：BCD.
12、答案：ACD
解析：对于A，若，
则，，
，即，，A正确；
对于B，由可得，
两式相减得，
由可得，
若，则，
若，则，
故不具有单调性，B错误；
对于C，若，由解得，
显然恒成立；
若，由上知：，
可得，
，
又为正项数列，，
可得，
即存在，使，故C正确；
对于D，若，
则，，
可知n为偶数时，；
若，
则，，
可知n为奇数时，；
故时，数列中有无穷多项大于，D正确.
故选：ACD.
13、答案：
解析：公共弦l的方程为，因弦长为，
故圆心到l的距离，所以，即，
圆心，故到l的距离为2，又圆心的半径为，
故圆上位于下方的点到l的最大距离为.
14、答案：±3
解析：两个圆的圆心分别为，，两个圆的半径分别为2，1，
由于两个圆外切，故，解得.
15、答案：±1
解析：由直线与圆相切的几何表达式列式可得结果，
直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，
即：到直线的距离为，
，求解关于实数a的方程可得：.
故答案为：.
16、答案：7
解析：是等差数列，，
.
故答案为：7.
17、答案：（1）8
（2）或
解析：（1）抛物线C的焦点为，
由代入直线l的方程得，即C的方程为，
设，，则由，得，
所以，，
由抛物线定义得.
（2）由（1）得线段的中点坐标为，
所以的中垂线方程为即，
设圆M的圆心坐标为，而抛物线C的准线为，
则由，解得，或，
所以圆M的方程为或.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）时，，又，所以，
当时，，
，
作差整理得：，
因为，故，所以，
故数列为等差数列，所以.
（2）由（1）知，所以，
从而
.
所以，故M的最小值为.
19、答案：（1），，，
（2）
（3）或
解析：（1）由已知，所以，
，所以，
，所以，
因为，
所以，即.
所以.
（2）由（1）知，，故数列的前n项和：
，
由得，
则当，时，
；
当，时，
；
综上，.
（3）令，
，
当时，；当时，；
当时，，
当时，取最大值，
又对一切正整数n恒成立，
即对一切正整数n恒成立，得或.
20、答案：(1)，轨迹是以为圆心，半径为2的圆
(2).
解析：(1)设，由，则，
化简得：；
P的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.
(2)直线l与圆相切或相交，
即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，
直线l与圆相切或相交，
即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，
综上，直线分别与P的轨迹和圆都有公共点时，
实数.
21、答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）设数列的公比为，
由，得，
又，得，解的或（舍去），
，又，
，即，得，
当时，，
得，
，即，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，故.
（2）由（1），记，则，
由，
可知，
当n为奇数时，
；
当n为偶数时，
.
综上所述，.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，则，，
两式相减，可得，所以，
又由，所以，
所以，，
故.
（2）由（1）可知，，
所以线段中点坐标为，
故直线l的方程为，即，
将代入，并整理得，
所以，，
故
，
又因为点到直线的距离：，
所以，
，
化简得，即，
因为恒成立，故.