(2024届高考数学)高考数学二轮复习之选填16题专项高分冲刺限时训练(11)
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一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得:,,.
故选:C.
2.设复数满足,则的实部为( )
A. 0B. 1C. -1D. i
【答案】A
【解析】设,则,所以,故的实部为0.
故选:A
3. “直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件
【答案】B
【解析】设命题:直线与平面内无数条直线垂直,
命题:直线与平面垂直,
则推不出,但,所以是的必要不充分条件.
故选:B
4.的展开式中的项的系数为( )
A. 120B. 80C. 60D. 40
【答案】A
【解析】
展开式中项为.
故选:
5.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因,则,
依题意,,即,解得,
所以.
故选:B
6.“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.为了缓解了教育的“内卷”现象,2021年7月24日,中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.某初中学校为了响应上级的号召,每天减少了一节学科类课程,增加了一节活动课,为此学校特开设了乓乓球,羽毛球,书法,小提琴四门选修课程,要求每位同学每学年至多选2门,初一到初三3学年将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有( )
A. 60种B. 78种C. 54种D. 84种
【答案】C
【解析】由题意,三年修完四门选修课程,每学年至多选2门,
则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2,
先将4每学科按1,1,2分成三组,有种方式,
再分到三个学年,有 种不同分式,
由分步计数原理得,不同选修分式共有 种,
同理将4门课程按0,2,2分成三组,再排列,有种,
所以共有36+18=54种,
故选:C
7.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘微的有关工作,提出“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,即:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,上述原理称为“祖暅原理”.一个上底面边长为1,下底面边长为2,侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”,则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. D. 21
【答案】D
【解析】由“祖暅原理”知,该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等,
因为正六棱台的上下底面边长分别为1和2,设上底面面积为,下底面面积为,高为h,
则,,,
所以
,
所以该不规则几何体的体积为21.
故选:D.
8.已知,且,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题可得,,.
令,则,令,得,
∴时,,在上单调递增,时,,在上单调递减,
又,,,,
由,可知即,
∴.
故选:C.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地市场造成明显的冲击,如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图,某同学根据折线图对这7天的认购量(单位:
套)与成交量(单位:套)作出如下判断,则下列判断正确的是( )
A.日成交量的中位数是16
B.日成交量超过平均成交量的只有1天
C.10月7日认购量的增长率大于10月7日成交量的增长率
D.日认购量的方差大于日成交量的方差
【答案】BD
【解析】由题意可知,对于选项A,日成交量为8,13,16,26,32,38,166,所以中位数为26,所以选项A错误;对于选项B,平均成交量为EQ \F(1,7)(13+8+32+16+26+38+166)≈42.7,所以日成交量超过平均成交量的只有1天,即为7日,所以选项B正确;对于选项C,10月7日认购量的增长率为y1=EQ \F(276-112,112)≈1.464,成交量的增长率为y2=EQ \F(166-38,38)≈3.368,则选项C错误;对于选项D,日认购量的均值为EQ \F(1,7)(223+105+91+107+100+112+276)≈144.857,由各数据与均值的差可看出,日认购量的方差大于日成交量的方差,所以选项D正确;综上,
故选:BD.
10.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题中真命题是( )
A 若,,,则
B. 若,,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
【答案】AC
【解析】A选项,因为,,所以,因为,α,β是两个不同的平面,所以,A选项正确;B选项,若,,,则与n可能平行,可能异面,可能相交,B选项错误;C选项,若,,则,又因为,α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则,C选项正确;若,,,则可能在内,可能与平行,可能与相交,故D选项错误.
故选:AC
11.在平面直角坐标系中,当不是原点时,定义P的“伴随点”为;当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”,下列命题为真命题的有( )
A. 若点A的“伴随点”是点,则点的“伴随点”是点A;
B. 单位圆的“伴随曲线”是它自身;
C. 若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”关于y轴对称;
D. 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
【答案】BC
【解析】对于,若令为,则其“伴随点”为,,
而,的“伴随点”为,而不是,故错误;
对于,设单位圆上任一点的坐标为,其“伴随点”为仍在单位圆上,故正确;
对于,设曲线关于轴对称,
则与方程表示同一曲线,其“伴随曲线”分别为,
,与,也表示同一曲线,
又曲线,与曲线,的图象关于轴对称,所以正确;
对于,设直线方程为,点的“伴随点”是点,则
点的“伴随点”是点,,,,
,代入整理可得,的轨迹是圆,故错误,
故选:.
12.若正整数只有1为公约数,则称互质.对于正整数,是小于或等于的正整数中与互质的数的个数,函数以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如:,,,则( )
A. 数列为等比数列B. 数列单调递增
C. D. 数列的前项和为,则.
【答案】AC
【解析】因为与互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,…,,,共有个,所以,则数列为等比数列,故A正确;
因为,所以数列不是单调递增数列,故B错误;
因为7为质数,所以与不互质的数为7,14,21,…,,共有个,
所以,故C正确;
因为,所以
设,则
所以,
所以,从而数列的前项和为,故D错误.
故选:AC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,多空题,第一空2分,第二空3分,共20分.
13.已知函数为奇函数,则实数___________
【答案】12
【解析】函数的定义域为,因为函数为奇函数,所以,即,解得,此时,函数为奇函数.
故答案为:12
14.袋中装有编号为的个球,先从袋中一次性任取两个球,在取出的两个球编号之和为偶数的条件下,号球被取出的概率为_______________.
【答案】
【解析】记事件为“取出的两个球编号之和为偶数”,事件为“号球被取出”,
则,,,
即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下,号球被取出的概率为.
故答案为:.
15.在平面直角坐标系中,双曲线:的左右焦点分别为,,抛物线:的焦点恰为,点是双曲线和抛物线的一个交点,且,则双曲线的离心率为_______________.
【答案】
【解析】记,则,,抛物线方程为,,
所以轴(因为抛物线通径长为),
又在双曲线上,所以,
则由得,,
所以.
故答案为:
16.某单位科技活动纪念章的结构如图所示,O是半径分别为,的两个同心圆的圆心,等腰的顶点A在外圆上,底边的两个端点都在内圆上,点O,A在直线的同侧.若线段与劣弧所围成的弓形面积为,与的面积之和为,设.当时,______;经研究发现当的值最大时,纪念章最美观,当纪念章最美观时,______.
【答案】 ①. ②.
【解析】由题意可知,∠BOC=2θ∈(0,π),故,
S1==θ﹣sinθcsθ=,
S2=sin2θ=sin2θ=2sinθ,
当时,S1=,S2=,
故S2﹣S1=(cm2),
S2﹣S1=2sinθ+sin2θ﹣θ,,
令f(θ)=2sinθ+sin2θ﹣θ,,
则,
令=0可得,csθ=(舍负),
记csθ0=,,
当θ∈(0,θ0)时,>0,函数单调递增,当时,<0,函数单调递减,故当θ=θ0时,即csθ=时,f(θ)取得最大值,即S2﹣S1取得最大值.
故答案为:;.
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