湖北省武汉市武昌实验中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

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命题教师：李苏红考试时间：2023年10月12日下午15:00—17:00
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|lg₂x<4}，N={x|2x≥1}，则M∩N=（ ）
A．{x|0≤x<8} B．{x|12≤x<8}
C．{x|2≤x<16}D．{x|12≤x<16}
2．若复数．z=1-i+i2-i3+⋯+i2022-i2023，则|z|=﹙ ﹚
A．0 B．2 C．1 D．2
3．记等差数列{an}的前n项和为sn．若a₆=16，s₅=35，则{an}的公差为（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
4．对于变量Y和变量X的成对样本观测数据，用一元线性回归模型Y=bx+a+eEe=0，De=σ2得到经验回归模型y=bx+â，对应的残差如下图所示，模型误差（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的E（e）=0的假设
C．不满足一元线性回归模型的D（e）=σ²，假设
D．不满足一元线性回归模型的E（e）=0和D（e）=σ²的假设
5．已知椭圆C：x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的动点，m=|PF1|，n=|PF2|，则4m+nmn的最小值为 （ ）
A．98 B．C．20-379 D．20+379
6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC的三个内角A，B，G所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=14a2c2-a2+c2-b222．若b=2，a+b+csinA+sinB+sinC=c2sinA，则△ABC面积S的最大值为（ ）
A．2 B．1 C．23D．23
7．某人在n次射击中击中目标的次数为X，X~B（n，p），其中n∈N*，0A．若n=10，p=0．8，则P（X=k）取最大值时k=9
B．当p=12时，D（X）取得最小值
C．当0D．当128．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD、棱长为26，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A．6π B．9π C．31π4 D．2lπ
二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若sin2α=23，则cs2α+π4=16
B．函数fx=2sin2x+π3的图象向右平移个单位长度得到函数gx=2sin2x+π6的图象
C．函数fx=2sinxcsx+cs2x-π6的单调递增区间为-π3+kππ6+kπk∈Z
D．fx=2tanx1-tan2x的最小正周期为
10．如图所示，该几何体由一个直三棱柱ABC-A1B1C1和一个四棱锥D-ACC1A1组成，AB=BC=AC=AA1=2，则下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥AC，则AD⊥A1C
B．若平面A1C1D与平面ACD的交线为则AC∥
C．三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为14π2
D．当该几何体有外接球时，点D到平面ACC1A₁的最大距离为21-33
11．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，若函数y=f1+2x，y=12x-fx+2都为偶函数，令gx=f'x，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于x=1对称 B．g（x）的图象关于点212对称
C．g（1）=1 D．
12．|已知数列aₙ满足a₁=1，a₂=2，a₃=3，且对任意的正整数m，n，都有a₂ₘ+a₂ₙ=2aₘ₊ₙ+|m-n|，·则下列说法正确的有（ ）
A．a₄=5 B．数列a₂ₙ₊₂-a₂ₙ是等差数列
C．a₂ₙ=3n-1D．当n为奇数时，an=n2+34
三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．
13．已知a=-2λ，b=31，若a+b⊥b，则|a|=______．
14．已知a>0，且a≠1．若函数fx=ax2-2x+3有最大值，则关于x的不等式lgₐx²-5x+7>0的解集为______．
15．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0 出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动６次．下列事件．
（１）质点回到原点的概率为______； （2）质点位于4的位置的概率为______．
16．已知θ∈π4π2，则当tan2θ－tanθ取得最大值时，tan2θtanθ=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA＝CB＝2，AB=22，AA1=3，M为AB的中点．
（1）证明：AC₁//平面B₁CM；
（2）求点A到平面B₁CM的距离．
18．已知向量a=2csx+π3-θ-2，b=-2csx-π6-θ1（-π2<θ<0），设fx=a⋅b+2，且f（x）的图象关于点π120对称．
（1）若tanx=32，求f（x）的值；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线．x=π8对称，且g（x）在区间-5π12t上的值域为[-1，2]，求实数t的取值范围．
19．已知函数fx=lnx-1x-axa∈R．
（1）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a<-1，求函数f（x）的单调区间
20．已知数列中，a1=0，an+1=2an+nn∈N*．
（1）令bₙ=aₙ₊₁-aₙ+1，求证：数列{bₙ}是等比数列；
（2）令cn=an3n，当cn取得最大值时，求n的值．
21．在△PF₁F₂中，已知点F1-30，F230，PF1边上的中线长与PF₂边上的中线长之和为6，记ΔPF₁F₂的重心G的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若圆O：x²+y²=1，E（0，-1），过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线与圆O相交于点A，B，直线EA，EB与曲线C的另一个交点分别是点M，N，求△EMN面积的最大值．
22．人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：
对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩X人，在Ⅱ时期生孩Y人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．X服从0-1分布且PX=0=15．Y分布列如下图：
现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生２个孩子概率为124；若在Ⅰ时期生了１个女孩，则在= 2 \* ROMANII时期生２个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了１个男孩，则在Ⅱ时期生２个孩子概率为112，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为2：5（针对普遍家庭）．
（1）求Y的期望与方差；
（2）由数据zi（i=1，2，…，n）组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为a：b，分别为．xi（i=1，2，…，k）与．yi（i=1，2，…，m），k+m=n，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为S02，S12，S22，证明：S02=aa+bS12+x-z2+ba+bS22+y-z2，并利用该公式估算题设样本总体的方差（注：该方差只需要用数字表达式表示出来）．
十月月考数学试卷答案
1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C
8．B【详解】如图，取BC的中点E，连接DE，AE，则，，
过点A作底面BCD，垂足在DE上，且，所以，，故，点O为最大球的球心，连接DO并延长，交AE于点M，则，设最大球的半径为R，则，因为，所以，即，解得，即，则，故
设最小球的球心为J，中间球的球心为K，则两球均与直线AE相切，设切点分别为H，G，连接HJ，KG，则HJ，KG分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a，b，则，，则，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九个球的表面积和为．
9．ACD 10．BD 11．ABD
12．ABD【详解】由题意知，，令，，得，解得，故A正确．此时，令，得，从而，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故B正确．所以，所以，所以，故C错误．令，得，所以，令，则k为奇数，则，又适合上式，所以当n为奇数时，故D正确．
13． 14． 15．（1）；（2） 16．
17．（1）连接交于点N，连接MN，则有N为的中点，M为AB的中点，所以，且平面，平面，所以平面．
（2）连接，因为，所以，又因为平面ABC，平面ABC，所以，，所以平面，又因为平面，所以，又，所以是等腰直角三角形，，，所以，，设点A到平面的距离为d，因为，所以，所以．
18．（1），若的图象关于点对称，则，∴，．∴，
∴．若，则，
同理可得．∴．
（2）若函数的图象与的图象关于直线对称，则
．
因为，所以，而在上的值域为，
则，即，
因为，所以，∴，
故t的取值范围为
19．（1）当时，，所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题意可知，函数的定义域为，所以．
设，则．令，则，解得或（舍）．
当时，；当时，；
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，所以，所以，即，
所以函数的单调递增区间为．
20．（1）在数列中，，，则，∵，则，
则，
所以，数列为等比数列，且首项为2，所以，；
（2）由（1）可知，即，累加得
，∴．
∴，，∴，
令，则，所以．
∴，∵，，所以，当时，．
所以，，．所以，数列中，最大，故．
21．（1）设的中点为S，的中点为T，所以，，所以，所以，所以G点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．所以，所以，，所以曲线C的方程为．
（2）设直线EM为（不妨设），设，，
所以，，，
解得（舍去），则，
由于AB是单位圆的直径，所以，所以直线EN的斜率为，直线EN的方程为，
同理可求得，则，
由上述分析可知，，而，
所以
，
所以，令，当且仅当，时等号成立，则，函数在，上单调递增，
所以当时，取得最小值为．
22．（1）由分布列知：，即，
事件分别表示Ⅰ时期没生孩子、生了1个女孩、生了1个男孩，
事件B表示Ⅱ时期生2个孩子，则，，，
又，，
所以，
即，则，综上，Y分布列如下：
．．
（2）由题意，，则，，

而，
上式
，
又，且，上式．
综上，得证．
由题设知：，，，，则总体均值，Y
0
1
2
P
P
p+q
p-q
Y
0
1
2
P