湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

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1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．6 B． C． D．18
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的构成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
8．已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．将函数图象上点的横坐标缩短为原来的，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的单调递增区间为 D．为图象的一条对称轴
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．的图像关于原点对称
C．有三个零点 D．是的一个零点
11．设数列前项和为，满足且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C．当时，有最大值
D．设，则当或时，数列的前项和取最大值
12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．为奇函数 C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为________．
14．已知圆台的上下底面半径分别为2，4，母线长为6，则该圆台的表面积是________．
15．已知函数，且，则的最小值是________．
16．已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则________．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．为了解学生对“暑期研学旅行”的满意度，某教育部门对180名初一至高三的中学生进行了问卷调查．参与问卷调查的男女比例为，女生初、高中比例为3：1．
（1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，判断“暑期研学旅行”的满意度与性别是否有关联；
（2）该教育部门采用分层随机抽样的方法从参与问卷调查的女生中抽取了8名学生．现从这8名学生中随机抽取4人进行座谈，设抽取的女生是初中生的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
18．等比数列的第二、三、四项分别是等差数列的第二、五、十四项，且等差数列的首项，公差．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列对任意均有成立，求的值．
19．在中，角所对的边分别为，且有．
（1）求角；
（2）若的平分线与的平分线交于点，求周长的最大值．
20．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
21．已知函数．
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为．
（1）求的方程；
（2）D，E是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
数学参考答案
1-8 BACD DACA
9-12 ABD ACD ABD ACD
13． 14． 15．2 16．
17．解：（1）男生人数为，女生人数为，
则列联表如下表所示：
零假设为：“暑期研学旅行”的满意度与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），
则的可能取值为2，3，4，
，
，
，
所以的分布列为
故．
18．解：（1）由题意，，
，
又，所以，
，
，
等比数列的公比，
．
（2）由题意，，①
，②
②-①得，
当时，，所以不满足上式，所以，
．
19．解：（1）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以，即，
所以，又，故．
（2）由（1）知，，有，
而与的平分线交于点，即有，于是，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周长为，由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为．
20．（1）证明：由题知，
因为，所以，又，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，为中点，于是，
又平面，
所以平面，
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知平面，且平面，所以，
又，所以平面，所以平面
于是两两垂直如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
所以
设平面的法向量为，则，即
令，则于是
设，则
由于直线与平面所成角的正弦值为
于是，即，
整理得，
由于，所以，于是
设点到平面的距离为则，
所以点到平面的距离为．
21．解：（1）．令
①当即时，单调递增，无极值点；
②当即时，函数有两个零点，
（ⅰ）当时，当时单调递减，
当时单调递增，有一个极小值点；
（ⅱ）当时，当与时递增，
当时单调递减，有两个极值点．
综上：当时无极值点；当时有两个极值点；当时有一个极小值点．
（2）不等式恒成立，即．
．令．
令，
当时，，单调递增，又，
时，不合题意，
．
当单调递减，当时，单调递增，，而，
．
令，当时，单调递增，
当时，单调递减，
，即
．
．
22．解：（1）因为的离心率为，
所以，
所以，渐近线方程，
因为点到一条渐近线距离为，
所以，解得，
所以的方程为；
（2）直线与圆相交，理由如下：
设，则，
因为点在以为直径的圆上，
所以，
所以，
即，
由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立，
消去得，，
因为直线，与都有除以外的公共点，
所以，
所以，即，
同理当时，，
，
所以直线方程为：，
令得，，
即直线经过定点，
因为，
所以点在圆内，性别
满意度
合计
满意
不满意
男生
80
女生
50
合计
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性别
满意度
合计
满意
不满意
男生
80
20
100
女生
50
30
80
合计
130
50
180
2
3
4