辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分150分 命题人：魏春新 校对人：来洪臣
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，则“”是“或”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充分且必要条件 D．不充分也不必要条件
4．若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设集合均为非空集合．（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．数学里有一种证明方法叫做Prfswithutwrds，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
7．用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
10．设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个不相等的正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．已知，且，则的最小值为
C．已知，且，则的最小值为
D．若则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设．若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是____________．
14．已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最少时的集合为____________．
15．已知是一元二次方程的两个实数根，若满足，则实数____________．
16．若中有且仅有一个元素，则的最小值为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，其中．
（1）当时，求和；
（2）若____________，求实数的取值范围．
请从①；②；③“”是“”的必要条件；
这三个条件中选择其中一个填入（2）中横线处，并完成第（2）的解答．
18．（12分）已知函数．
（1）若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；
（2）求关于的不等式（为实数）的解集．
19．（12分）已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）设，求的最大值．
20．（12分）已知．
（1）求证：；
（2）判断等式能否成立，并说明理由．
21．（12分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
22．（12分）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数满足，求的最小值；
（2）若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由；
（3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值．
东北育才学校科学高中部高一年级上学期
第一次自我检测（答案））
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．B
二、选择题
9．BC 10．ACD 11．BCD 12．ABD
三、填空题
13．； 14．； 15．； 16．．
四、解答题
17．解：（1）当时，，
；
（2）若选①，则，
当时，，不符合题意，
当时，，不合题意；
当时，，则，
解得，
故的取值范围为；
若选②；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意；
当时，，则，
解得，
故的取值范围为；
若选③“”是“”的必要条件，则，
当时，，不符合题意，
当时，，不合题意；
当时，，则，
解得，
故的取值范围为.
18．（1）解：因为对任意的都成立，
当时，则有，合乎题意；
当时，即对任意的都成立，则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）解：由可得，
即，
当时，解得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式的解集为．
综上所述：当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为．
19．解：（1）证明：因为关于的方程有两个不相等的实数根，所以，则，所以；
（2）证明：由题意得，
因为，
所以，
因为，所以，所以；
（3）由题意，
则，
因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为．
20．（1）证明：由题意得，当且仅当时取等号；
解得，又；
；
（2）不能成立；
；
；
；
；
21．（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
22．解：（1），则，
所以，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当，即同号时等号成立．此时满足；
（3）令，构造，
所以，即，因此，
所以，
取等号时，即，结合，解得，
即．
所以时，取得最小值．