满分之路（备战2024高考）高考数学二轮复习之必刷大题18　统计与统计分析

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必刷大题18 统计与统计分析
1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．
一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数．
解 (1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为3 000×0.28＝840.
(2)由样本的频率分布直方图可知，总体成绩的众数为eq \f(70＋80,2)＝75，
平均数为
0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护．某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩(满分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；(同一组数据用该组数据的中点值代替)
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率．
解 (1)由图可知，10×(2×0.005＋a＋0.02＋0.025＋0.03)＝1，
解得a＝0.015.
设中位数为x，
则0.05＋0.15＋0.2＋0.03×(x－70)＝0.5，
所以x＝eq \f(220,3).
这100人问答成绩的平均数为
45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，
则问答成绩在[60,70)内的有eq \f(2,2＋3)×5＝2(人)，分别记为A，B；
问答成绩在[70,80)内的有eq \f(3,2＋3)×5＝3(人)，分别记为a，b，c.
从中任意抽取2人，则试验的样本空间
Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有10个样本点．
设事件A为2人的问答成绩均在[70,80)内，
则A＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有3个样本点，
所以这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率P(A)＝eq \f(3,10).
3．为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动．某班统计了本班同学1～7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y关于月份x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋4，y与x的原始数据如表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝452.
(1)求m，n的值；
(2)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差)．
参考公式：在经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)·\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2) ，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
解 (1)由表知，eq \x\t(x)＝eq \f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq \x\t(y)＝eq \f(1,7)×(8＋9＋m＋12＋n＋19＋22)＝eq \f(70＋m＋n,7)，
所以eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)－7eq \x\t(x)2＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72－7×42＝28，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\t(x)·\x\t(y),\i\su(i＝1,7,x)\\al(2,i)－7\x\t(x)2)＝eq \f(452－7×4×\f(70＋m＋n,7),28)，
即m＋n＝43－7eq \(b,\s\up6(^))，①
因为经验回归直线恒过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
所以eq \f(70＋m＋n,7)＝4eq \(b,\s\up6(^))＋4，
即m＋n＝28eq \(b,\s\up6(^))－42，②
由①②，得eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(17,7)，m＋n＝26，③
因为eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝8＋18＋3m＋48＋5n＋114＋154＝452，
所以3m＋5n＝110，④
由③④，得m＝10，n＝16.
(2)由(1)知，经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(17,7)x＋4，
所以当x＝6时，预测值eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(17,7)×6＋4＝eq \f(130,7)，
此时残差为19－eq \f(130,7)＝eq \f(3,7).
4．为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位：岁)分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；
(2)把年龄在[15,45) 内的居民称为中青年，年龄在[45,65]内的居民称为中老年，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.025的独立性检验，分析阅读方式是否与年龄有关．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，
解得a＝0.035，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为
20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．
(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×eq \f(3,3＋1)＝150，
通过纸质阅读的人数为200－150＝50.
因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，
所以通过电子阅读的中青年的人数为150×eq \f(3,3＋2)＝90，
中老年的人数为150－90＝60.
2×2列联表为
零假设为H0：阅读方式与年龄无关．
由表中数据，得χ2＝eq \f(200×90×30－20×602,110×90×150×50)≈6.061>5.024＝x0.025，
所以依据小概率值α＝0.025的独立性检验，推断H0不成立，即认为阅读方式与年龄有关．
5．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省某年1～7月份煤改气、煤改电的用户数量．
图1
图2
(1)在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和样本相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
(2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)，预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(β,\s\up6(^))u＋eq \(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ui－\x\t(u)vi－\x\t(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\t(u)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\t(u)·\x\t(v),\i\su(i＝1,n,u)\\al(2,i)－n\x\t(u)2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \x\t(v)－eq \(β,\s\up6(^))eq \x\t(u).
参考数据：eq \i\su(i＝1,7,y)i＝9.24，eq \i\su(i＝1,7,t)iyi＝39.75，eq \r(\i\su(i＝1,7, )yi－\x\t(y)2)≈0.53，eq \r(7)≈2.646.
样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2)).
解 (1)作出散点图如图所示．
由条形图数据和参考数据得，
eq \x\t(t)＝4，eq \i\su(i＝1,7, )(ti－eq \x\t(t))2＝28，eq \r(\i\su(i＝1,7, )yi－\x\t(y)2)≈0.53，
eq \i\su(i＝1,7, )(ti－eq \x\t(t))(yi－eq \x\t(y))＝eq \i\su(i＝1,7,t)iyi－eq \x\t(t)eq \i\su(i＝1,7,y)i＝39.75－4×9.24＝2.79，
所以r≈eq \f(2.79,0.53×2×2.646)≈0.99.
y与t的样本相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由eq \x\t(y)＝eq \f(9.24,7)＝1.32，
又由(1)得eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7, )ti－\x\t(t)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,7, )ti－\x\t(t)2)＝eq \f(2.79,28)≈0.10，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(t)≈1.32－0.10×4＝0.92，
所以y关于t的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.
将t＝11代入经验回归方程得eq \(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×11＝2.02.
所以预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．
6．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某地区2015年年底到2022年年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：
(1)根据统计表中的数据画出散点图(如图)，请判断y＝bx＋a与y＝ecx＋d哪一个更适合作为y关于x的经验回归模型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程；
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同．若2022年年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2027年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(β,\s\up6(^))u＋eq \(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ui－\x\t(u)vi－\x\t(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\t(u)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\t(u)·\x\t(v),\i\su(i＝1,n,u)\\al(2,i)－n\x\t(u)2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \x\t(v)－eq \(β,\s\up6(^))eq \x\t(u).
参考数据：eq \x\t(y)＝12.1，eq \x\t(t)＝2.1，eq \i\su(i＝1,8,x)eq \\al(2,i)＝204，eq \i\su(i＝1,8,x)iyi＝613.7，eq \i\su(i＝1,8,x)iti＝92.4，其中ti＝ln yi，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg e≈0.43.
解 (1)根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝ecx＋d，因为t＝ln y，则eq \(t,\s\up6(^))＝eq \(c,\s\up6(^))x＋eq \(d,\s\up6(^))，
因为eq \x\t(x)＝eq \f(1,8)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝4.5，eq \i\su(i＝1,8,x)eq \\al(2,i)＝204，eq \i\su(i＝1,8,x)iti＝92.4，eq \x\t(t)＝2.1，
所以eq \(c,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iti－8\x\t(x)·\x\t(t),\i\su(i＝1,8,x)\\al(2,i)－8\x\t(x)2)＝eq \f(92.4－8×4.5×2.1,204－8×4.52)＝eq \f(16.8,42)＝0.4，
eq \(d,\s\up6(^))＝eq \x\t(t)－eq \(c,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝2.1－0.4×4.5＝0.3，
所以eq \(t,\s\up6(^))＝0.4x＋0.3，
即eq \(y,\s\up6(^))＝e0.4x＋0.3.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，500(1－r)5＝500(1－10%)，解得1－r＝，
设从2022年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，
则有y＝500(1－r)x＝，
设从2022年底起经过x年后新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量，
则有e0.4(x＋8)＋0.3>，
所以(0.4x＋3.5)lg e>3－lg 2＋0.2x(2lg 3－1)，
解得x>eq \f(3－lg 2－3.5lg e,0.2＋0.4lg e－0.4lg 3)≈6.64，
故从2022年年底起经过7年后，即2029年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量．
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y
8
9
m
12
n
19
22
电子阅读
纸质阅读
合计
中青年
中老年
合计
α
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
电子阅读
纸质阅读
合计
中青年
90
20
110
中老年
60
30
90
合计
150
50
200
年份(年)
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
保有量y/千辆
1.95
2.92
4.38
6.58
9.87
15.00
22.50
33.70