届四川省雅安市2024高三零诊考试数学（理）试题

这是一份届四川省雅安市2024高三零诊考试数学（理）试题，共21页。试卷主要包含了已知函数，则函数的零点个数为，设，则的大小关系为，在等比数列中，若，则等于，已知函数的定义域为恒成立，已知函数，下列结论中，已知函数等内容，欢迎下载使用。
数学（理工类）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设表示有限集合中元素的个数．则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知复数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．2
3．的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
4．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．在等比数列中，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数的定义域为恒成立．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，下列结论中
①当时，的最小值为3 ②函数是奇函数
③函数的图象关于点对称 ④是图象的一条切线
正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数（且），设且对任意实数恒成立，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，当和从圆与轴正半轴的交点同时出发，且点的角速度是点的角速度大小的2倍．当点第一次运动到射线与圆的交点时，点运动到点处，此时等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，设，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校期末统考数学成绩服从正态分布．按15%，35%，35%，15%的比例将考试成绩划为四个等级，其中分数大于或等于83分的为等级，则等级的分数应为___________．（用区间表示）
14．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的的取值范围是___________．（用区间表示）
15．已知，若，则的最小值为___________．
16．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在圆的内接四边形中，．
（1）求的长和的大小；
（2）求四边形的面积和圆的面积．
18．（本小题满分12分）
已知函数在时有极小值．曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路．为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿人民币/天）得下表：
（1）估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”有关？
附：．
20．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列中，是等差数列，是等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：对恒成立．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设是的导函数，若在上有两个极值点．求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标系方程，并指出它的曲线类型．
23．（10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知，函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图象与轴围成的三角形面积等于6时，求的值．
雅安市高2021级高三“零诊”考试参考答案
数学（理工类）
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B
13． 14． 15．1 16．
17．（12分）
解：（1）在四边形中，四点共圆，则与互补，且为锐角． 1分
设，则，故，
在中，由余弦定理，得
即……① 3分
在中，由余弦定理，得，
即……② 5分
由①和②解之得，，
所以．（为锐角） 6分
（2）由，知， 7分
四边形的面积等于与面积之和，
故 8分
10分
在中，由正弦定理得，（设为的半径） 11分
故，所以圆的面积为． 12分
18．（12分）
解：（1）
1分
由已知即 4分
当时，在上单调递增．
当时，在上单调递减．
当时，在时有极小值．
故符合题意，即为所求． 6分
（2），即对任意实数恒成立， 7分
设，
则． 8分
当时，，则，故在上单调递增；
当时，，则，故在上单调递减； 10分
当时，，则，故时有极小值，也就是的最小值，
故即为所求． 12分
19．（12分）
解：（1）由题中表中的信息可知，在100天中，进口贸易与出口贸易均不超过100的天数为 2分
用频率估计概率，可得所求概率为 4分
（2）列出列联表如下：
8分
（3）由（2）得 10分
所以有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关． 12分
20．（12分）
解：（1）在等差数列中，首项为，公差为．
则，则……① 1分
在等比数列中，首项，公比为
则，则……② 2分
当和时，有 3分
解得：或（这与恒成立矛盾，舍去） 4分
故 5分
经检验，符合题设，即为所求． 6分
（2）……①
……② 7分
由得： 8分
9分
∵数列中，对任意正整数恒成立 10分
显然，即．（由，故是递增数列，） 11分
故． 12分
21．（12分）
解：（1）由知 1分
当即．
即时， 2分
当即
即时， 3分
故的单调整递增区间为
的单调递减区间为． 4分
（2）
5分
由题意得，在上有两个不相等的实根，且在每个实根两侧的符号不同．
即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同． 6分
设，则 7分
则且得 8分
当时，，故在上单调递增
当时，．故在上单调递减 9分
所以的最大值为． 10分
故时，在上有两个实根，且在每个实根两侧的符号不同．所以的取值范围为． 12分
22．（10分）
解：（1）消去参数，得，
所以是以为圆心，为半径的圆． 2分
将代入其中，则得
整理得．这就是的极坐标方程． 5分
（2）由曲线的极坐标方程，得
即 8分
这就是曲线的直角坐标系方程，它表示以为圆心，以2为半径的圆． 10分
23．（10分）
解：（1）当时，原不等式可化为，此时原不等式无解 1分
当时，原不等式可化为，解得 2分
当时，原不等式可化为，解得 3分
综上所述，的解集为． 5分
（2）由，得 6分
作出的大致图象，如图所示 7分
函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，
． 8分
故 9分
由已知且
解之得． 10分进口
出口
32
18
4
6
8
12
3
7
10
进口
出口
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
进口
出口
64
16
10
10