辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分 答题时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
5．已知三棱锥为正三棱锥，且，点M、N是线段AC、SB的中点，平面与平面SBC没有公共点，且平面，若l是平面与平面ABC的交线，则直线l与直线MN所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点满足，记d为点P到直线的距离．当a，b，m变化时，d的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥SO的两个轴截面，且，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间向量两两夹角均为，且．若向量满足，，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．在下列四个命题中，正确命题的是（ ）
A．若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
B．向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；
C．直线的一个方向向量为；
D．若存在不全为0的实数x，y，z使得，则共面
10．下列说法中，不正确的有（ ）
A．已知点，若直线PQ的倾斜角小于，则实数a的取值范围为
B．若集合满足，则
C．若两条平行直线和之间的距离小于1，则实数a的取值范围为
D．若直线与连接的线段相交，则实数a的取值范围为
11．直角中，D是斜边AC上的一动点，沿BD将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时（ ）
A． B．
C．直线与BC的夹角余弦值为 D．四面体的外接球的表面积为
12．如图，在三棱锥中，，O为AC的中点，点M是棱BC上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．若M为棱BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为
C．若PC与平面PAM所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D．的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点到直线的最大距离为__________．
14．已知平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________．
15．在三棱锥中，．记BC的中点为M，SA的中点为N，则异面直线AM与CN的距离为__________．
16．在棱长为6的正方体中，，点P在正方体的表面上移动，且满足，当P在上时，________；满足条件的所有点P构成的平面图形的周长为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）直线与直线平行，求实数m的值；
（2）求过直线与的交点P且垂直于直线直线方程．
18．在平面直角坐标系，已知的三个顶点，且的面积为4．
（1）求BC边所在直线的一般式方程：
（2）请写出n与m的关系式；（用m表示n）
（3）BC边上中线AD的方程为，求点A的坐标．
19．（1）已知直线，当时，直线与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值；
（2）已知直线过点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程．
20．如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，平面ABC，平面与棱交于点E，．
（1）求证：；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
21．图1是直角梯形ABCD，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2．
图1 图2
（1）求证：平面平面ABED；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．
22．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，D为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
高二年级第一次阶段测试数学试卷答案
1．A 2．C 3．A 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C
9．CD 10．BCD 11．ABD 12．ABD
13． 14． 15． 16．
17．【详解】（1）由于两条直线平行，故，解得或；
（2）由解得，直线，的斜率为，
故所求与之垂直的直线斜率为，由点斜式得，化简得．
故要求的直线方程为．
18．【详解】（1）由，可得直线BC的斜率．
故直线BC的方程为，
化为一般式方程为．
（2）由，由，可以得出BC边上的高为根据点A到直线BC距离公式得或8，即或．①
（3）由，可得BC的中点D的坐标为，
又由AD的方程，则有，解得，
故AD数方程为，
由，可得，②
由第（2）问知，联立①②可得或，
故点A的坐标为或．
19．【答案】解：（1）由于直线，
当时，，即直线和y轴交于点，
由于直线，
当时，，即与x轴交于点，
易知：和均经过定点，即两直线交于点，
如图所示：则四边形ABCO的面积．
，
即当时，，
所以四边形的面积最小时，．
（2）由题意设直线l的方程为，所以．
由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，
所以．
所以的面积，
即的面积的最小值为12，此时直线l的方程为，即．
所以面积的最小值为12，此时直线l的方程为．
20．【详解】（1）根据棱柱的性质可知，，
由于平面平面，所以平面．
由于平面，平面平面，所以．
（2）由于平面ABC，CD，平面ABC，所以，
由于，D是AC的中点，所以，
由此以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以，解得或，
当，即时，，
当，即时，．
21．

图1 图2
【详解】（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得，
且，
四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F，
，又在中，，
，
在图2中，，
由题意知，且，
平面ABED，又平面，
平面平面ABED；
（2）如图，以D为坐标原点，DA，DE分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由己知得各点坐标为
，
所以，
设平面的法向量为，则，
所以，即，
令，解得，
所以，记直线与平面所成角为，
则．
（3）假设存在，设，
所以，
平面，易得平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
由，可得，可取，
则，
解得此时．
22．【详解】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，
在等腰梯形中，D，M为，AC的中点，，
在正中，M为AC的中点，，
平面BDM，
平面BDM，又平面．
（2）解：平面BDM，
在平面BDM内作，以M为坐标原点，以，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
为二面角的平面角，即，
，
，
设平面的法向量为，
则有，即，
则可取，又，
设直线与平面所成角为，
．