2022-2023学年江苏省南通市如东县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市如东县九年级上学期数学期中试题及答案，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 5，4，1B. 5，4，C. 5，，D. 5，，1
【答案】C
【解析】
【分析】对照一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项，找二次项系数，一次项，常数项即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、、．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式的认识，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理成一般形式，识别各项及项的系数，易错点：系数的符号．
2. 下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是中心对称图形，则此项符合题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、不中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
4. 将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
5. 如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A. 55°B. 65°C. 75°D. 130°
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解： ∠BOC＝130°，点A在上，

故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
6. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
7. 已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=2（x-1）2满足条件．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
8. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．
9. 已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，交轴的正半轴，
∴，
∴，故选项A错误，不合题意；
∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，故选项B错误，不合题意；
∵时，，
∴，故选项C错误，不合题意；
∵，
∴，
∵函数的最大值为，
∴，
∴，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，中，P为优弧上一个动点（不与A，B两点重合），，垂足为Q，D是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是（ ）
A. 4B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线，得出，当为直径时，最大，解答即可．
【详解】解：∵，垂足为Q，D是的中点，
∴，
当为直径时，最大，
∵的半径为4，
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若x＝1是方程x2﹣3x+a＝0的解，则a的值为_________________ ．
【答案】a＝2
【解析】
【分析】将x=1代入题目中的方程，即可求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：∵x=1是方程x2﹣3x+a＝0的解，
∴12-3×1+a=0，
解得，a=2，
故答案为2．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值.
12. 如图，P为外一点，与相切于点T，，则的半径为 ___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到的值即可．
【详解】解：如图，∵与相切于点T，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
13. 如图，E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转至的位置．若，则___________．
【答案】8
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，从而可知C，B，共线，即可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵把顺时针旋转至的位置，
∴，
∵，
∴B，C，三点共线，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查正方形中的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．
14. 写出一个开口向上，且对称轴在轴左侧的抛物线的表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由开口向上可知 ，由对称轴在y轴右侧可知a，b同号，据此写出抛物线的解析式即可．
【详解】解：写出一个开口向上，并且对称轴在y轴左侧的抛物线的解析式，例如：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，掌握二次函数中，时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向下是解题的关键．
15. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
【答案】30%
【解析】
【分析】由题意：2019年新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，
故答案为：30%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为9cm，底面圆的半径为3cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角是 ___________度．
【答案】120
【解析】
【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是，
，
解得，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长扇形的弧长．
17. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）=S十二边形-S八边形，由此计算即可．
【详解】解：如图，由题意，△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）
=S十二边形-S八边形
=12××1×1×sin30°-8××1×1×sin45°
=3-2．
故答案为：3-2．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18. 已知点，点都在关于的函数的图象上，且，则的取值范围是 ___________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性得到 ，解得，从而得到，代入解析式得到，利用二次函数的性质即可求得，然后根据，得到，从而求得的取值范围是且．
【详解】解：∵点，点都在关于的函数的图象上，
∴，
整理得，，
∴，
∴，代入得，
，
∵时，有最大值3，
∵，所以，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，二次函数的性质，求得的值从而得到的坐标为是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）解方程；
（2）求抛物线与x轴公共点的个数．
【答案】（1）；（2）抛物线与x轴有两个交点
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点个数与系数的关系，求出的值，即可判断．
【详解】解：（1），
，
，
∴或，
∴；
（2）∵抛物线解析式为：，
∴，
∴，
∴抛物线与x轴有两个交点．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．
20. 如图7，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，连接BE，以BE为一边作等边三角形BEF.请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并说明这两个三角形经过什么样的旋转可重合.
【答案】见解析，将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
【解析】
【分析】根据△BEF是等边三角形，可得∠EBF=60°=∠CBA，EB=FB，进而得出∠CBE=∠ABF，再根据AB=BC，即可得到△BCE≌△BAF，进而得出将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
【详解】如图，连接AF．
将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
理由：
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF=60°=∠CBA，EB=FB，
∴∠CBE=∠ABF，
又∵AB=BC，
∴△BCE≌△BAF，
∴将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质的运用，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象也经过A，B两点，结合图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）把A、B的坐标代入，根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由图象可知，不等式的解集为．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
22. 圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为的中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
【答案】15分米
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理求得，设圆的半径为分米，则，根据勾股定理即可求得．
【详解】解：连接，
∵过圆心，为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
设圆的半径为x分米，则分米，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（分米），
即拱门所在圆的半径是15分米．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
23. 嘉嘉进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，嘉嘉某次试投时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．如图，B是该函数图象上的一点．
（1）画出该函数的大致图象；
（2）若铅球推出的距离不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断嘉嘉此次试投的成绩是否能达到优秀．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，达到优秀
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）根据题意解方程即可得到结论．
【小问1详解】
解：函数图象如图所示；
【小问2详解】
解：令，得，
解得（C在x轴正半轴，故舍去），
∴抛物线与x轴的坐标为．
∴铅球推出的距离为，
∵若铅球推出的距离不小于，成绩为优秀，
∴嘉嘉此次试投的成绩达到优秀．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
24. 某汽车店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：
（注：厂家要求店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）
根据以上信息解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示y；
（2）今年第三季度该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值；
（3）求该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．
【答案】（1）
（2）90 （3）675万元
【解析】
【分析】（1）根据店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍列出等量关系，化简即可；
（2）根据该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同列出方程，解方程求出的解满足利润不为0；
（3）设该店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，根据总利润等于销售A，B两种车的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
小问1详解】
解：根据题意得：，
整理得：；
小问2详解】
解：根据题意得：，
由（1）知，，
∴，
整理得：，
解得，
∵时利润为0，
∴x的值为90；
【小问3详解】
解：设该店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，
则
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为675，
答：该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或一元二次方程．
25. 定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
（1）如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；
（2）如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦；
（3）已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；
（2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论；
（3）分两种情况讨论，过点O作，作，可证矩形为正方形，利用勾股定理可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的等垂弦，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵是的等垂弦，
∴，
∵，
∴，
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
证明：设交于点E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴是的等垂弦；
【小问3详解】
解：若点P在内，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
∵是的等垂弦，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∵，且，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴；
若点P在外，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
同理，，则；
∴或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
26. 已知二次函数为常数，且．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若，当时，的最大值是2，且当时，该函数图象的最高点为，最低点为，求的面积为原点）；
（3）若，，三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）10 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由可得抛物线开口向下，根据函数最大值为2可得的值，从而可得点，坐标，进而求解．
（3）由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解．
【小问1详解】
解：，为常数，且，
该二次函数图象的顶点坐标；
【小问2详解】
解：，
该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，
当时，取到在上的最大值为2．
．
，
，
当时，取到在上的最小值．
，，
设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
令，
解得，
直线与轴交点坐标为，
如图，
．
【小问3详解】
解：如图，当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
抛物线开口向下，即时，满足题意．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．每辆进价（万元）
每辆售价（万元）
每季度销量（辆）
A
60
x
B
50
y