2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.点A(3,−2,4)关于点(0,1,−3)的对称点的坐标是
( )
A. (−3,4,−10)B. (−3,2,−4)C. (32,−12,12)D. (6,−5,11)
2.直线a，b，c的斜率分别为2，1，−2，倾斜角分别为α，β，γ，则( )
A. α>β>γB. γ>α>βC. γ>β>αD. α>γ>β
3.不论k为何实数，直线(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是( )
A. ( 5，2 )B. ( 2，3 )C. ( 5，9 )D. (−12,3 )
4.直线ax+y+1=0与连接A(2,3)，B(−3,2)的线段相交，则a的取值范围是( )
A. [−1,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)
C. [−2,1]D. (−∞,−2]∪[1,+∞)
5.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，BB1的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为( )
A. 515
B. 4 515
C. −2 515
D. 2 515
6.已知A，B是曲线|x|−1= −y2+2y+3上两个不同的点，C(0,1)，则|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是( )
A. 53B. 3 55C. 2D. 3
7.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD= 2，且∠A1AD=∠A1AB=45°，∠DAB=60°，则|BD1|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
8.已知点P(t,t−1)，t∈R，点E是圆x2+y2=14上的动点，点F是圆(x−3)2+(y+1)2=94上的动点，则|PF|−|PE|的最大值为( )
A. 2B. 52C. 3D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.直线l1：ax−y−b=0，l2：bx−y+a=0(ab≠0,a≠b)，下列图象中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.两条平行直线l1，l2分别过点P(−1,3)，Q(2,−1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的可能取值为( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
11.下列结论正确的是( )
A. 若向量a，b，c是空间一组基底，则a−b，a+c，2c−3b也是空间的一组基底
B. 直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量是u=(0,−5,0)，则l/​/α
C. 若AB=(2,−1,−4)，AC=(4,2,0)，AP=(0,−4,−8)，则点P在平面ABC内
D. 若向量m垂直于向量a和b，向量n=λa+μb,(λ,μ∈R且λ，μ≠0)，则m//n
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 不存在点Q，使得C1Q//A1C
B. 存在点Q，使得C1Q⊥A1C
C. 对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为[ 22, 63]
D. 对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若x2+y2−2ax+2ay+3a2−3a+2=0表示圆的一般方程，则实数a的取值范围是______ ．
14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，则点B1到平面A1BC1的距离为______ ．
15.在空间直角坐标系O−xyz中，A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，点H在平面ABC内，则当|OH|取最小时，点H的坐标是______ ．
16.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点P(m,n)在圆O：x2+y2=1上，若点A(−12,0)，点C(1,1)，则2|PA|+|PC|的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知点A(−2,1)，B(2,3)，C(−1,−3)：
(1)若BC中点为D，求过点A与D的直线方程；
(2)求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程．
18.(本小题12.0分)
已知△ABC的顶点A(4,1)，AB边上的高所在直线平行于直线3x+5y−1=0，角B的平分线所在直线方程为x−y−5=0
(1)求点B坐标;
(2)求BC边所在直线方程．
19.(本小题12.0分)
已知圆C经过(−2,3)，(4,3)，(1,0)三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点B(7,6)，且点M满足AM=2MB，记点M的轨迹为Γ，求Γ的方程．
20.(本小题12.0分)
如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P−ABCDE中，PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
(1)求直线BC与平面ABF所成角的大小；
(2)求线段PH的长．
21.(本小题12.0分)
直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
(1)若直线l与直线2x+3y−2=0垂直，求直线l的方程；
(2)如图，若AP=2PB，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．
22.(本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，D为A1B1的中点，G为AA1的中点，E为C1D的中点，BF=3AF，点P为线段BC1上的动点(不包括线段BC1的端点)．
(1)若EP//平面CFG，请确定点P的位置；
(2)求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了中点坐标公式，属于基础题．
根据点A关于点(0,1,−3)的对称点为A′，得出(0,1,−3)为线段AA′的中点，利用中点坐标公式求出点A′的坐标．
【解答】
解：设点A关于点(0,1,−3)的对称点为A′(x,y,z)，
则(0,1,−3)为线段AA′的中点，
即x+32=0，y−22=1，4+z2=−3，
解得x=−3，y=4，z=−10；
∴A′(−3,4,−10)．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：k=tanx,x∈[0,π),x≠π2,
由正切函数的性质可知，当x∈(0,π2)时，k为增函数，且k>0，
由2>1，可知π2>α>β>0；
又当x∈(π2,π)时，k为增函数，且kα>β，故选项B正确．
故选：B．
由于k=tanx，x∈[0,π)，结合正切函数的性质可得倾斜角α，β，γ的大小关系．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查正切函数的单调性，是基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查直线过定点的问题，属于基础题．
整理方程可知该直线恒过2x−y−1=0和−x−3y+11=0的交点，联立并解方程组即可．
【解答】
解：直线方程可整理为k(2x−y−1)+(−x−3y+11)=0，
∴该直线恒过直线2x−y−1=0和直线−x−3y+11=0的交点，
联立方程可得2x−y−1=0−x−3y+11=0，解得x=2y=3,
∴直线恒过定点(2,3)，
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P(0,−1)，求出KPA与KPB，判断过P点的竖直直线与AB两点的关系，求出满足条件的直线斜率的取值范围．
【解答】
解：由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P(0,−1)，
∵kPA=2，kPB=−1，
则实数a的取值范围是：a≤−2或a≥1．
故答案为：a≤−2或a≥1．
5.【答案】D
【解析】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为2，则A(2,0,0)，E(0,1,2)，F(2,2,1)，C(0,2,0)，
AE=(−2,1,2)，FC=(−2,0,−1)，
设异面直线AE与FC所成角为θ，
则csθ=|AE⋅FC||AE|⋅|FC|=23⋅ 5=2 515，
∴异面直线AE与FC所成角的余弦值为2 515．
故选：D．
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与FC所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：已知|x|−1= −y2+2y+3，
整理得|x|−1= 4−(y−1)2，
即(|x|−1)2+(y−1)2=4．
因为|x|−1= 4−(y−1)2≥0，
所以x≤−1或x≥1，
当x≤−1时，(x+1)2+(y−1)2=4；
当x≥1时，(x−1)2+(y−1)2=4．
所以方程|x|−1= 4−(y−1)2表示的曲线为圆P：(x+1)2+(y−1)2=4的左半部分和圆Q：(x−1)2+(y−1)2=4的右半部分，
由圆的性质可知当A，B分别与图中的M，N重合时，|CA|+|CB|取得最大值，且最大值为6，
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，
|CA|+|CB|取得最小值，且最小值为2 5，
故|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是62 5=3 55．
故选：B．
由题意，方程|x|−1= −y2+2y+3表示的曲线为圆P：(x+1)2+(y−1)2=4的左半部分和圆Q：(x−1)2+(y−1)2=4的右半部分，数形结合求出|CA|+|CB|的最大值和最小值，进而求出比值．
本题考查曲线与方程的相关应用，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
7.【答案】C
【解析】解：以{AB,AD,AA1}为基底向量，
可得BD1=BA+AD+DD1=−AB+AD+AA1，
则BD12=(−AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12−2AB⋅AD−2AB⋅AA1+2AD⋅AA1
=1+2+2−2× 2× 2×cs60°−2× 2×1×cs45°+2× 2×1×cs45°
=5−4×12−2 2× 22+2 2× 22=3，
∴|BD1|= 3．
故选：C．
根据图形，利用向量的加法法则得到BD1=−AB+AD+AA1，再利用空间向量的数量积及运算律求模长．
本题考查了向量的运算，考查向量求模问题，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意，P在直线y=x−1上运动，
O(0,0)关于直线y=x−1的对称点的坐标为A(1,−1)，
令圆A：(x−1)2+(y+1)2=14，
圆A与圆(x−3)2+(y+1)2=94外切，且两圆圆心均在y=−1上，
∴|PF|−|PE|的最大值为两圆的直径相加3+1=4，此时P为(0,−1)．
故选：D．
由题意，P在直线y=x−1上运动，O(0,0)关于直线的对称点的坐标为A(1,−1)，由此可得|PF|−|PE|的最大值．
本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查点关于直线对称点的求法，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：直线l1：y=ax−b，l2：y=bx+a(ab≠0,a≠b)，
A选项，l1：a0⇒a0，错误．
B选项，l1：a>0−b0b>0,l2：a>0b>0，正确．
C选项，l1：a>0−b>0⇒a>0b0b