2023-2024学年江苏省常州市重点中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市重点中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过A(−1,3)，B( 3,− 3)两点的直线的倾斜角是( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
2.“10)上两点，且|AB|=2 3.若存在a∈R，使得直线l1：ax−y=0与l2：x+ay+2a−4=0的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为( )
A. [ 5−2,2]B. [ 5−2, 5]C. [2,2+ 5]D. [ 5,2+ 5]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.直线l经过点(3,−2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A. 3x+2y=0B. 2x+3y=0C. x−y−5=0D. x+y−1=0
10.已知P是椭圆x225+y216=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，cs∠F1PF2=12，则下列结论正确的是( )
A. △F1PF2的周长为16B. S△F1PF2=16 33
C. 点P到x轴的距离为16 39D. PF1⋅PF2=83
11.已知实数x，y满足曲线C的方程x2+y2−2x−2=0，则下列选项正确的是( )
A. x2+y2的最大值是 3+1
B. y+1x+1的最大值是2+ 6
C. |x−y+3|的最小值是2 2− 3
D. 过点(0, 2)作曲线C的切线，则切线方程为x− 2y+2=0
12.设直线l：(a−2b)x+by−a=0，圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是( )
A. r的取值范围是[ 5,+∞)
B. 若r的值固定不变，则当2a−3b=0时∠ACB最小
C. 若r的值固定不变，则△ABC的面积的最大值为12r2
D. 若r=3，则当△ABC的面积最大时直线l的斜率为1或17
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.直线l1：mx+2y−3=0与直线l2：3x+(m−1)y+m−6=0平行，则m= ______ ．
14.若直线l：y=kx−1与曲线C： 1−(y−2)2=x−1有两个交点，则实数k的取值范围是______ ．
15.已知圆C：x2+y2−2x−2y=0，点P在直线x+y+2=0上运动，过P作C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，∠ACB= ______ ．
16.过点P(1, 3)作斜率为k的直线l交圆E：x2+y2=8于A，B两点，动点Q满足|PA||PB|=|QA||QB|，若对每一个确定的实数k，记|PQ|的最大值为dmax，则当k变化时，dmax的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知光线经过已知直线l1：3x−y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射．
(1)求与l1距离为 10的直线方程；
(2)求反射光线所在的直线方程．
18.(本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1, 32)，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2 3，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且PF1⋅PF2≤14，求点P的横坐标的取值范围．
19.(本小题12.0分)
已知圆C经过A(2,0)、B(0,4)两点，且圆心在直线2x−y−3=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点T(−1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，且CP⋅CQ=−5，求直线l的方程．
20.(本小题12.0分)
已知A(0,3)，直线l：y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y=x−1上，且过点A的直线m与圆C有公共点，求直线m的斜率k的取值范围；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的纵坐标的取值范围．
21.(本小题12.0分)
如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；
(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？
22.(本小题12.0分)
已知圆O：x2+y2=16，点A(6,0)，点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设T(2,0)，过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
(ii)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：经过A(−1,3)，B( 3,− 3)两点的直线的斜率为3+ 3−1− 3=− 3，
因为直线的倾斜角大于等于0°小于180°，
故经过A(−1,3)，B( 3,− 3)两点的直线的倾斜角是120°．
故选：D．
求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：方程x2k−1+y25−k=1表示椭圆⇔5−k>0k−1>05−k≠k−1，解得10，
所以 5−1≤m+1≤ 5+1，解得 5−2≤m≤ 5．
∴实数m的取值范围为[ 5−2, 5]．
故选：B．
根据直线与圆相交弦长可得AB的中点M的轨迹方程为圆(x−2)2+(y−m)2=1，又根据直线l1，l2的方程可确定l1⊥l2，交点P的轨迹(x−2)2+(y+1)2=5，若P恰为AB的中点，即圆M与圆P有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数m的取值范围．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：当直线l的截距为0时，此时直线l的方程为y=−23x，即2x+3y=0，
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为xa+yb=1，
则3a+−2b=1|a|=|b|，解得a=1b=1或a=5b=−5，
当a=1，b=1时，可得直线l的方程为x+y=1，即x+y−1=0，
若a=5，b=−5时，可得则直线l的方程为x5+y−5=1，即x−y−5=0．
故选：BCD．
根据题意，分直线l的截距为0和直线l的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解．
本题考查了直线方程问题，考查转化思想，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据题意得，a=5，b=4，c=3，
A选项，△F1PF2的周长为=2a+2c=16，A正确；
B选项，由cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=12，|PF1|+|PF2|=2a，可知|PF1||PF2|=643，∠F1PF2=60°，∴S△F1PF2=12×|PF1||PF2|×sin60°=16 33，B正确；
C选项，∴S△F1PF2=12×|F1F2|×h=16 33，h=16 39，C正确；
D选项，PF1⋅PF2=|PF1||PF2|cs60°=643×12=323，D错误．
故选：ABC．
根据椭圆的性质逐项求解即可．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为C的方程x2+y2−2x−2=0可化为(x−1)2+y2=3，它表示圆心(1,0)，半径为 3的圆，
对于A：x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方，
故它的最大值为[ (1−0)2+02+ 3]2=( 3+1)2=4+2 3：故A错误；
对于B：y+1x+1表示圆上的点与点P(−1,−1)的斜率k，
由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=|2k+1| k2+1≤ 3，可得2− 6≤k≤2+ 6，
即其最大值为2+ 6，故B正确；
对于C：|x−y+3|表示圆上任意一点到直线x−y+3=0的距离的 2倍，
圆心到直线的距离d=4 2=2 2，所以其最小值为 2(2 2− 3)=4− 6，故C错误；
对于D.设过点(0, 2)作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为y=mx+ 2，
由| 2+m| m2+1= 3，解得m= 22，故切线方程为x− 2y+2=0，故D正确．
故选：BD．
由A：x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方；对于B：|x−y+3|表示圆上任意一点到直线x−y3=0的距离的 2倍：C：y+1x+1表示圆上的点与点P(−1,−1)的斜率；D.由切线过点(0, 2)，可设切线方程为y=mx+ 2.由| 2+m| m2+1= 3可求．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：A选项：因为直线l：(a−2b)x+by−a=0，即a(x−1)−b(2x−y)=0，所以直线l过定点P(1,2)，连接PC，因为直线l与圆C恒有两个公共点，所以r>|PC|= 5，故A错误．
B选项：因为直线l过定点P(1,2)，所以当l⊥PC时，∠ACB最小，因为kPC=−2，所以此时直线l的斜率为12，即−a+2bb=12，即2a−3b=0，故B正确．
C选项：设圆心C到直线l的距离为d，则△ABC的面积S=12⋅d⋅|AB|=d r2−d2= −d4+r2d2= −(d2−r22)2+r44，因为0⩽d⩽ 5，所以0⩽d2⩽5，
①若r22⩽5，即 55，即r> 10，则函数S随着d的增大而增大，所以Smax= 5r2−25，故C错误．
D选项：由C选项知，当d2=r22=92时，△ABC的面积最大，
因为d=|a−4b| (a−2b)2+b2，所以(a−4b)2(a−2b)2+b2=92，整理得7a2−20ab+13b2=0，所以a=b或a=137b，
因为b≠0，所以直线l的斜率k=2−ab，所以k=1或k=17，故D正确．
故选：BD．
A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径r的范围；B选项，利用平面几何知识分析出当l⊥PC时，∠ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将△ABC的面积用半径r和圆心C到直线l的距离d表示，再利用二次函数的知识求最值即可；D选项，利用C选项得到半径r和圆心C到直线l的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得a，b之间的关系，即可得到结果．
本题主要考查(1)整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；(2)熟练掌握直线与圆的位置关系，并能利用平面几何知识分析出圆心角何时最小，属于中档题．
13.【答案】−2
【解析】解：由l1：mx+2y−3=0，得到l1：y=−m2x+32，
因为l1//l2，所以m−1≠0，由3x+(m−1)y+m−6=0，得到y=−3m−1x−m−6m−1
所以−m2=−3m−132≠−m−6m−1，即m2−m−6=0m≠3，解得m=−2．
故答案为：−2．
利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果．
本题主要考查直线的一般式方程，考查转化能力，属于中档题．
14.【答案】(34,1]
【解析】解：直线l：y=kx−1恒过定点(0,−1)，
由曲线C： 1−(y−2)2=x−1⇒(x−1)2+(y−1)2=1，(x≥1)．
所以曲线C表示以点(1,1)为圆心，半径为1，
且位于直线x=1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))，如图所示：
当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k=1；
当l与半圆相切时，由|k−2| 1+k2=1，得k=34，
分析可知当34