2023-2024学年江苏省四校联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省四校联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过两点A(3,y)，B(2,0)的直线的倾斜角为120°，则y=( )
A. 33B. 3C. − 33D. − 3
2.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=1，则a的值为( )
A. 14B. −14C. 4D. −4
3.已知直线l：kx−y−k+3=0，且无论k取何值，直线l与圆(x−5)2+(y−6)2=r2(r>0)恒有公共点，则r的取值范围是( )
A. [3,5]B. (3,+∞)C. [4,6)D. [5,+∞)
4.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N.若过点F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A. 3−1
B. 2− 3
C. 22
D. 32
5.已知抛物线x2=4y的焦点为F，点B(1,3)，若点A为抛物线任意一点，当|AB|+|AF|取最小值时，点A的坐标为( )
A. (14,1)B. (1,14)C. (1,4)D. (4,1)
6.定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以F1F2为直径的圆的位置关系是( )
A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定
7.若直线y=12x+3的倾斜角为α，直线y=kx−5的倾斜角为3α，则k=( )
A. 43B. 5C. 92D. 112
8.如图，F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1(− 7,0)的直线l与双曲线分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的方程为( )
A. 5x27−5y228=1B. x26−y2=1C. x2−y26=1D. 5x228−5y27=1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知点A(0, 3),B(2,1)，若过点(1,0)的直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角可以是( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°
10.已知实数x，y满足x2+y2=1，则下列选项成立的是( )
A. x+y的最大值为 2B. yx+2的最小值为− 33
C. |x− 3y+4|的最大值为2D. (x−2)2+y2的最小值为4
11.已知曲线C：x2m2+2+y2m=1(m∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 若m<0，则曲线C表示双曲线
B. 曲线C可能表示一个圆
C. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为2 m
D. 若m=1，则曲线C中过焦点的最短弦长为2 33
12.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”)，若黄金双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左右两顶点分别为A1，A2，虚轴上下两端点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点.设双曲线C的离心率为e，则下列说法正确的有( )
A. e= 5+12B. kEF⋅kOM=−e
C. 直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直D. |A1A2|⋅|F1F2|=|B1B2|2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n=6，3a+4b=1，则 (m−a)2+(n−b)2的最小值为______ ．
14.圆x2+y+ax+2ay+2a2+a−1=0的半径的最大值为______．
15.已知椭圆方程为x22+y2=1，且椭圆内有一条以点P(1,12)为中点的弦AB，则弦AB所在的直线l的方程是 ．
16.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=−512，AB⊥BD，则双曲线E的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知直线l1：(2a+1)x+(a+2)y+3=0，l2：(a−1)x−2y+2=0．
(1)若l1//l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
18.(本小题12.0分)
求解下列各题：
(1)如图，反比例函数y=1x的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，求它的实半轴长和半焦距；
(2)求与y=1x具有相同的焦距，焦点在x轴上且过点(2, 2)的椭圆的标准方程．
19.(本小题12.0分)
已知圆M：x2+y2−2mx−6y+2m+9=0．
(1)求m的取值范围；
(2)已知点A(2,1)在圆M上，若圆N过点P(1,− 2)，且与圆M相切于点A，求圆N的标准方程．
20.(本小题12.0分)
如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部AB宽8米，顶点O距离地面6米．
(1)以拱门顶点O为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程；
(2)节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值.(灯笼看作点P)
21.(本小题12.0分)
已知点A(4,4)，B(0,3)，圆C的半径为1．
(1)若圆C的圆心坐标为C(3,2)，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；
(2)若圆C的圆心C在直线l：y=x−1上，且圆C上存在点M，使|MB|=2|MO|，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围．
22.(本小题12.0分)
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2 3，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N.设l的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当S|k|>169时，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设直线斜率为k，则k=tan120°=y−03−2=y=− 3．
故选：D．
由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求．
本题主要考查了直线的斜率公式及斜率与倾斜角关系的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．
将抛物线方程化成标准形式，写出其准线方程，根据准线方程为y=1建立等式关系，即可求解．
【解答】
解：由y=ax2(a≠0)，变形得：x2=1ay，故准线方程为y=−14a，
∴又抛物线的准线方程是y=1，
∴−14a=1，解得a=−14．
故答案选B．
3.【答案】D
【解析】解：由于直线l：kx−y−k+3=0，即k(x−1)+(−y+3)=0，过定点A(1,3)，
故当点A在圆内或点A在圆上时，直线l与圆(x−5)2+(y−6)2=r2(r>0)恒有公共点，
故有(1−5)2+(3−6)2≤r2(r>0)，求得r≥5，
故选：D．
由于直线l：kx−y−k+3=0 过定点A(1,3)，由题意可得点A在圆内或点A在圆上，故有(1−5)2+(3−6)2≤r2，
求得r的取值范围．
本题考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，求出直线l过定点A(1,3)，是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：如图所示，由题意可得：MF1⊥MF2，
|MF2|=c，|MF1|=2a−c，|F1F2|=2c，
∴c2+(2a−c)2=4c2，
化为c2+2ac−2a2=0，即e2+2e−2=0，e∈(0,1)．
解得e= 3−1．
故选：A．
如图所示，由题意可得：MF1⊥MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a−c，|F1F2|=2c，利用勾股定理可得c2+(2a−c)2=4c2，即可得出．
本题考查了椭圆与圆的定义及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知，|AF|=|AD|，
求|AB|+|AF|的最小值，即求|AB|+|AD|的最小值，
显然当D，B，A三点共线时|AB|+|AD|最小，
此时A点的横坐标为1，代入抛物线方程可知A(1,14)．
故选：B．
设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求|AB|+|AD|取得最小值，数形结合求解即可．
本题考查了抛物线的性质，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，
设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，
则e1⋅e2=ca1⋅ca2，所以c2=a1a2，
以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，
设|PF1|=x，|PF2|=y，x>y>0，
则有x+y=2a1x−y=2a2，所以x=a1+a2y=a1−a2，
设P(m,n)，m>0，n>0，F1(−c,0)，F2(c,0)，
所以|PF1|2=(m+c)2+n2=(a1+a2)2①
|PF2|2=(m−c)2+n2=(a1−a2)2，②
①−②得，m2+2mc+c2−(m2−2mc+c2)=a12+2a1a2+a22−(a12−2a1a2+a22)，
所以4mc−4a1a2=4c2，所以m=c，
将m=c代入②得n2=(a1−a2)2，
所以n=|a1−a2|，P(c,|a1−a2|)，
则点P到圆心O的距离为 c2+(a1−a2)2>c，
所以点P在以F1F2为直径的圆外，
故选：A．
设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，根据题意可得c2=a1a2，设|PF।|=x，|PF2|=y，x>y>0，根据椭圆与双曲线的定义将x，y分别用a1，a2表示，设P(m,n)，m>0，n>0，再根据两点的距离公式将P点的坐标用a1，a2，c表示，从而可判断出点与圆的位置关系．
本题考查圆锥曲线的综合，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：依题意可得tanα=12，则tan2α=2tanα1−tan2α=43，
tan3α=tan(α+2α)=12+431−12×43=112，故k=tan3α=112．
故选：D．
通过三角恒等变换的知识求得tan3α，从而求得正确答案．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的定义和余弦定理的运用，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键，属于中档题．
根据双曲线的定义算出△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1BF2=120°，利用余弦定理算出c2=7a2，结合双曲线焦点坐标，转化求解双曲线方程即可．
【解答】
解：根据双曲线的定义，可得|AF1|−|AF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，
∴|BF1|=2a，
又∵|BF2|−|BF1|=2a，
∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，
∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，
∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cs120°，
即4c2=4a2+16a2−2×2a×4a×(−12)=28a2，
解得c2=7a2，∵F1(− 7,0)，所以c= 7，则a=1，b= 6，
∴双曲线的标准方程为：x2−y26=1．
故选C．
9.【答案】BC
【解析】解：设P(1,0)，由题意计算PB的斜率kPB=1−02−1=1，所以直线PB的倾斜角为45°．
计算PA的斜率为kPA= 3−00−1=− 3，所以直线PA的倾斜角为120°．
如图所示：
由图可知直线l与线段AB相交，须满足直线l的倾斜角α∈[45°,120°]．
故选：BC．
根据题意画出图形，设P(1,0)，求出直线PB、PA的倾斜角即可得解．
本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A，∵2(x2+y2)−(x+y)2=2x2+2y2−x2−2xy−y2=x2+y2−2xy=(x−y)2≥0，
∴2(x2+y2)≥(x+y)2，
∴(x+y)2≤2(x2+y2)=2，
∴− 2≤x+y≤ 2，
∴当且仅当x=y= 22时，x+y的最大值为 2，故A正确；
对于B，设yx+2=k，则y=k(x+2)，(x≠−2)，
设P(x,y)，则P为直线y=k(x+2)(除点(−2,0)外)与圆x2+y2=1的公共点，
∴直线y=k(x+2)(除点(−2,0)外)与圆x2+y2=1相切或相交，
∴设圆心O(0,0)到直线y=k(x+2)即kx−y+2k=0的距离为d，
则d=|2k| k2+1≤1，解得− 33≤k≤ 33，∴yx+2的最小值为− 33，故B正确；
对于C，设圆x2+y2=1上一点P(x,y)，
则P到直线x− 3y+4=0的距离d的最大值为圆心到直线的距离与半径之和，
∴d=|x− 3y+4| 12+(− 3)2≤|4| 12+(− 3)2+1，
∴|x− 3y+4|2≤3，
∴|x− 3y+4|≤6，
∴|x− 3y+4|的最大值为6，故C错误；
对于D，设圆x2+y2=1上一点P(x,y)，
则P(x,y)到圆外一点A(2,0)距离的最小值为圆心到点A的距离与半径之差，
∴|PA|= (x−2)2+y2≥ (0−2)2+(0−0)2−1=1，
∴(x−2)2+y2≥1，∴(x−2)2+y2的最小值为1，故D错误．
故选：AB．
对于A，根据不等式(a+b2)2≤a2+b22，可通过证明2(x2+y2)≥(x+y)2进行求解判断；
对于B，设yx+2=k，化为直线y=k(x+2)，再通过直线与圆的位置关系进行求解判断；
对于C，转化为点到直线距离问题解决；
对于D，转化为两点间距离问题解决．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：曲线C：x2m2+2+y2m=1(m∈R)，m<0，则曲线C表示双曲线，所以A正确；
∵m2+2=m，方程无解，所以曲线C不可能表示一个圆，所以B不正确；
若曲线C是椭圆，则其长轴长为2 m2+2，所以C不正确；
若m=1，则曲线Cx23+y2=1中，过焦点的最短弦长为2×b2a=2 33，所以D正确；
故选：AD．
通过m的取值，判断曲线的形状，推出结果即可．
本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：选项A，因为“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线，
所以e=1 5−12= 5+12，即A正确；
选项B，设E(x1,y1)，F(x2,y2)，则x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，
两式相减得，y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=b2a2，即kEF⋅kOM=b2a2=c2−a2a2=e2−1≠−e，即B错误；
选项C，由e=ca= 5+12，可设c=( 5+1)m，a=2m，所以b2=c2−a2=2( 5+1)m2=ac，
因为F1(−c,0)，B2(0,−b)，所以kF1B2=−bc，
而双曲线C的渐近线方程为y=±ba，
所以−bc⋅ba=−b2ac=−1，所以直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直，即C正确．
选项D，因为|A1A2|⋅|F1F2|=2a⋅2c=4ac，|B1B2|2=(2b)2=4b2=4ac，
所以|A1A2|⋅|F1F2|=|B1B2|2，即D正确．
故选：ACD．
选项A，由e=1 5−12，化简即可；
选项B，利用点差法，求得kEF⋅kOM=e2−1≠−e，得解；
选项C，不妨设c=( 5+1)m，a=2m，由b2=c2−a2，可得b2=ac，再结合双曲线的几何性质与两条直线垂直的条件，得解；
选项D，计算可得|A1A2|⋅|F1F2|=4ac，|B1B2|2=4b2=4ac，得解．
本题考查双曲线的方程与几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质，点差法，直线斜率的表示方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：因为3m+4n=6，3a+4b=1，
设A(m,n)，B(a,b)，则A，B分别可看作直线3x+4y=6与3x+4y=1上的点，
则 (m−a)2+(n−b)2的最小值即为3x+4y=6与3x+4y=1距离，d=6−1 32+42=1．
故答案为：1．
先设A(m,n)，B(a,b)，则A，B分别可看作直线3x+4y=6与3x+4y=1上的点，然后结合两直线间距离公式可求．
本题主要考查了两直线间距离的求解，属于基础题．
14.【答案】2 33
【解析】解：圆x2+y+ax+2ay+2a2+a−1=0，转换为标准式为：(x+a2)2+(y+a)2=−34a2−a+1．
故r2=−34a2−a+1=−34(a+23)2+23；
当a=−23时，r2取得最大值为23，即r的最大值为2 33．
故答案为：2 33．
首先把圆的一般式转换为标准式，进一步利用二次函数的性质求出r的最大值．
本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
15.【答案】2x+2y−3=0
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由题意得x122+y12=1,x222+y22=1，
两式相减化简得y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−12，而P是AB中点，得x1+x2=2，y1+y2=1，
代入得k=y1−y2x1−x2=−1，故直线AB方程为y−12=−(x−1)，即2x+2y−3=0，
点P在椭圆内，故直线与椭圆相交．
故答案为：2x+2y−3=0．
由点差法得AB斜率后求解直线方程．
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
16.【答案】 293
【解析】解：如图，由BD⊥AB，tan∠CAB=−512，可得tan∠F1AB=512，
在Rt△ABF1中，由tan∠F1AB=512，不妨设|BF1|=5m(m>0)，则|AB|=12m，
由勾股定理得|AF1|=13m，
又由双曲线的定义可得|AF2|=13m−2a，|BF2|=5m−2a，
根据|AF2|+|BF2|=|AB|可得(13m−2a)+(5m−2a)=12m，解得2a=3m，
所以|BF2|=5m−3m=2m，|BF1|=|BF2|+2a=2m+3m=5m，
故在Rt△F1BF2中，|BF2|2+|BF1|2=|F2F1|2，即4c2=4m2+25m2=29m2，
故c= 292m，
故双曲线E的离心率为e=ca= 29m2×23m= 293．
故答案为： 293．
设|BF1|=5m(m>0)，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出2a=3m，从而利用勾股定理求出c= 292m，从而得到离心率．
本题主要考查双曲线的离心率的求解，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为l1//l2，所以(2a+1)×(−2)−(a+2)(a−1)=0，
整理得a2+5a=a(a+5)=0，
解得a=0或a=−5．
当a=0时，l1：x+2y+3=0，l2：−x−2y+2=0，符合题意，
当a=−5时，l1：−9x−3y+3=0，l2：−6x−2y+2=0，l1与l2重合，不满足题意．
综上，a=0．
(2)因为l1⊥l2，所以(2a+1)(a−1)−2(a+2)=0，
整理得2a2−3a−5=(a+1)(2a−5)=0，
解得a=−1或a=52．
【解析】(1)根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；
(2)利用斜率存在的两条直线垂直，则它们的一般式方程中，对应一次项系数乘积的和等于零，列方程，求出实数a的值．
本题考查两直线垂直和平行的性质，考查了方程思想，属基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可得：反比例函数y=1x的图象关于直线y=x对称，
联立y=1xy=x，
则x=1y=1和x=−1y=−1，
则双曲线的两顶点坐标为A1(1,1)，A2(1,1)，
又|A1A2|= 2|1−(−1)|=2 2，
则它的实半轴长为 2，
又两条坐标轴是它的渐近线，
则其渐近线与实轴的夹角为π4，
即ba=1，
则a=b= 2，
即c= a2+b2=2，
即双曲线的半焦距为2；
(2)由已知可设椭圆方程为x2m2+y2n2=1，(m>n>0)，
由题意可得m2−n2=44m2+2n2=1，
解得m2=8n2=4，
即所求椭圆方程为：x28+y24=1．
【解析】(1)由双曲线的性质求解即可；
(2)由椭圆的性质求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了椭圆方程的求法，属中档题．
19.【答案】解：(1)将x2+y2−2mx−6y+2m+9=0变形为(x−m)2+(y−3)2=m2−2m，
由m2−2m>0，得m<0或m>2，
所以m的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞)；
(2)将点A(2,1)代入圆M：x2+y2−2mx−6y+2m+9=0，可得m=4，
所以圆M的方程为x2+y2−8x−6y+17=0，
化为标准方程可得(x−4)2+(y−3)2=8，
设圆N的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心为N(a,b)，
直线AM的方程为y−13−1=x−24−2，即y=x−1，
把N(a,b)代入得b=a−1，
又(a−2)2+(b−1)2=(a−1)2+(b+ 2)2，解得a=1，b=0，
所以r= (1−2)2+(0−1)2= 2，
故圆N的标准方程为(x−1)2+y2=2．
【解析】(1)利用圆的标准方程，列出关于m的不等式，求解即可；
(2)利用点A在圆M上，求出圆M的方程，设圆N的方程，求出直线AM的方程，列出方程组，求解即可．
本题考查了直线与圆位置关系的应用，圆的一般方程与标准方程的理解与应用，直线方程的求解与应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)以抛物线的顶点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系如图，
则A(−4,−6)，B(4,−6)，
设抛物线的标准方程为x2=−2py(p>0)，
∵B在抛物线上，∴42=−2p×(−6)，解得p=43．
∴抛物线方程为x2=−83y；
(2)设P(0,−2)为灯笼所在点，Q(x,y)为抛物线上设置牵引绳的点，
则|PQ|= x2+(y+2)2，则|PQ|= y2+43y+4(−6≤y≤0)．
当y=−23时，|PQ|的最小值为4 23，
即一根牵引绳长度的最小值为4 23．
【解析】(1)建立适当的平面直角坐标系，求得B的坐标，设出抛物线方程，把B的坐标代入求得待定系数，则抛物线方程可求；
(2)由(1)可得P的坐标，设Q(x,y)为抛物线上设置牵引绳的点，写出两点间的距离公式，转化为关于y的函数，利用二次函数求最值．
本题考查抛物线方程的求法，训练了利用二次函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得圆C的标准方程为(x−3)2+(y−2)2=1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−4)，
由d=|2−k| k2+1=1，解得k=34，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=4，满足题意；
所以切线的方程为x=4或3x−4y+4=0．
(2)由圆心C在直线l：y=x−1上，
设C(a,a−1)，
设点M(x,y)，由|MB|=2|MO|，
得 x2+(y−3)2=2 x2+y2，
化简得x2+(y+1)2=4，
所以点M在以D(0,−1)为圆心，2为半径的圆上．
又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，
则1≤|CD|≤3，即1≤ a2+a2≤3，
解得 22≤a≤3 22或−3 22≤a≤− 22．
【解析】(1)根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；
(2)由条件求出M所在圆，利用两圆相交求出a的取值范围．
本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)如图，以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系，

设M(x,y)为椭圆上一点，由题意可知，|MF|+|ME|=|AE|=4>|EF|=2 3，
所以M点轨迹是以F，E为焦点，长轴长2a=4的椭圆，
因为2c=2 3,2a=4，所以c= 3,a=2，
则b2=a2−c2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)由(1)知，椭圆C的方程为x24+y2=1,D(0,−1)，
所以直线l1：y=kx−1(k≠0),l2：y=−1kx−1，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x24+y2=1,y=kx−1,消去y并整理得(1+4k2)x2−8kx=0，
所以x1=8k1+4k2，所以y1=8k21+4k2−1，
所以|DM|= x12+(y1+1)2= 64k2(1+4k2)2+64k1(1+4k2)2=8|k|1+4k2 1+k2，
联立x24+y2=1,y=−1kx−1,消去y并整理得(4+k2)x2+8kx=0，
所以x2=−8kk2+4，所以y2=8k2+4−1，
所以|DN|= x22+(y2+1)2= 64k2(4+k2)2+64(4+k2)2=84+k2 1+k2，
所以S=12|DM|⋅|DN|=12×8|k|1+4k2 1+k2⋅84+k2 1+k2=32|k|(1+k2)(1+4k2)(4+k2)，
由S|k|>169，得32(1+k2)(1+4k2)(4+k2)>169，
整理得4k4−k2−14<0，得−74又k2>0，所以0所以− 2则k的取值范围为(− 2,0)∪(0, 2).
【解析】(1)以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系，设M(x,y)为椭圆上一点，由题意可知，|MF|+|ME|=|AE|=4>|EF|=2 3，由此得到M点的轨迹是以F，E为焦点，长轴长2a=4的椭圆，即可求解；
(2)根据题意得直线l1：y=kx−1(k≠0),l2：y=−1kx−1，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线与椭圆联立，利用两点间的距离公式和三角形的面积公式即可求解．
本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．