2024辽宁省实验中学高三上学期高考适应性测试（一）数学试题含答案

这是一份2024辽宁省实验中学高三上学期高考适应性测试（一）数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．14．540 15．16．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．【详解】（1）取的中点，连接、，
根据中位线定理，，且，
又，所以，，则四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面；
（2）以为原点，、、过且垂直底面的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
设，则、、、，设，
由，，，
上面联立解方程组得，，，
故点，所以，得到，
平面的法向量为，由．
故直线与平面所成角的正弦值为．
18．【详解】(1)
解：由正弦定理得．
因为，所以．
由，可得，
所以．
因为，所以，
所以，
(2)
解：由于，，有正弦定理，
所以，，
由于，
因为，所以．
因此
19．【详解】解：（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，
由动点到两条渐近线，的距离之积为，
则，
又，即，
解得，，
则双曲线的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
直线与双曲线的右支相切，可得，可得，
设直线与轴交于，则，
，
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
则．
即有面积为定值2．
20．【详解】（1）解：在等腰梯形中，作于，
则，所以，
连接，则，
因为，所以，所以，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又由平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以就是二面角的平面角，
在直角中，，
所以二面角的余弦值为.
（2）解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，
所以，所以为等腰梯形的外心，
取的中点，连接，可得，
因为平面，所以平面，
又因为，所以为四棱锥外接球的球心，
所以球的半径为，所以.

21．【详解】（1）令，即，
解得或，所以的定义域为，
而
，
所以为奇函数.
（2）令，则，
又，
设，且，
则
因为，且，
所以，，
因此，即在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增.
22．【详解】（1）解：因为数列为等差数列，，，
所以数列的公差为，，
则，又，
，故数列为等差数列.
（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，
不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，
由数列的通项公式可得，
将此式展开可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化简整理得，，与假设矛盾，1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
B
C
D
B
B
9
10
11
12
AD
AC
ABD
BC