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人教版 (2019)必修 第一册第一章 运动的描述3 位置变化快慢的描述——速度优秀练习题
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册第一章 运动的描述3 位置变化快慢的描述——速度优秀练习题，共9页。
[学习目标] 1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。2.会用v－t图像求位移并判定直线运动位移的大小(重点)。
一、平均速度公式
1．如图所示，一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为 SKIPIF 1 < 0 ，试推导eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝ SKIPIF 1 < 0 。
答案 方法一 解析法
中间时刻的瞬时速度 SKIPIF 1 < 0 ＝v0＋eq \f(1,2)at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq \f(1,2)at＝ SKIPIF 1 < 0 ，又eq \x\t(v)＝v0＋eq \f(1,2)at＝eq \f(2v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v,2)，即eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝ SKIPIF 1 < 0 。
方法二 图像法
0～t时间内的位移x＝eq \f(v0＋v,2)t
平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0＋v,2)
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标，故 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \x\t(v).
2.eq \x\t(v)＝eq \f(v＋v0,2)＝ SKIPIF 1 < 0 适合于所有的变速直线运动吗？
答案 不适用。推导中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋eq \f(1,2)at2均来自匀变速直线运动中的公式，故eq \x\t(v)＝eq \f(v＋v0,2)＝ SKIPIF 1 < 0 只适用于匀变速直线运动。
1．匀变速直线运动的平均速度公式：eq \x\t(v)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(v0＋v,2)
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(v0＋v,2)，eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)。
2．三个平均速度公式的比较
eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)适用于任何运动；
eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)及eq \x\t(v)＝ SKIPIF 1 < 0 仅适用于匀变速直线运动。
例1 测试中，我国国产大飞机C919的初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)飞机4 s内的平均速度大小；
(2)飞机4 s末的速度大小；
(3)飞机2 s末的速度大小。
答案 (1)5 m/s (2)8 m/s (3)5 m/s
解析 (1)利用平均速度公式
eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(20,4) m/s＝5 m/s
(2)因为eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)
v＝2eq \x\t(v)－v0＝8 m/s
(3)2 s末为0～4 s的中间时刻
SKIPIF 1 < 0 ＝eq \x\t(v)＝5 m/s。
例2 若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x，这段位移中间位置的瞬时速度为 SKIPIF 1 < 0 。试用不同方法比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小。
答案 SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0
解析 方法一 定性分析法
实际运动过程以匀加速直线运动为例，速度先慢后快，
前eq \f(t,2)时间内的位移x1方法二 公式法
如图， SKIPIF 1 < 0 2－v02＝2aeq \f(x,2)
v2－ SKIPIF 1 < 0 2＝2aeq \f(x,2)
得 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(\f(v02＋v2,2))
SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 >0
故 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0
方法三 图像法
由图知 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 。
中点位置的瞬时速度公式： SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(\f(v02＋v2,2))。
(1)推导：如图所示，前一段位移 SKIPIF 1 < 0 2－v02＝2a·eq \f(x,2)，后一段位移v2－ SKIPIF 1 < 0 2＝2a·eq \f(x,2)，所以有 SKIPIF 1 < 0 2＝eq \f(1,2)·(v02＋v2)，即有 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(\f(1,2)v02＋v2)。
(2)适用条件：匀变速直线运动。
(3)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 。
二、v－t图像看位移
某一做直线运动物体的v－t图像如图所示：
(1)物体在0～2t0时间内的位移为多少？
(2)物体在0～2t0时间内的路程为多少？
答案 (1)0 (2)v0t0
解析 (1)方法一 0～t0时间内的位移x1＝eq \f(1,2)v0t0
t0～2t0时间内的位移x2＝－eq \f(1,2)v0t0
x总＝x1＋x2＝0
方法二 x＝eq \f(v0＋－v0,2)·2t0＝0
(2)s＝|x1|＋|x2|＝v0t0。
1．对于任意形状的v－t图像，其与时间轴围成的“面积”表示物体的位移。
2．“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负(选填“正”或“负”)。
(1)v－t图像的斜率表示加速度。( √ )
(2)v－t图像的交点表示速度相等。( √ )
(3)v－t图像为曲线说明物体做曲线运动。( × )
(4)v－t图像与时间轴所围成的面积为位移。( √ )
例3 某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体通过的路程。
答案 (1)6 m (2)5 m (3)7 m
解析 (1)当物体运动了3 s时，物体距出发点的距离最远，xm＝eq \f(1,2)v1t1＝eq \f(1,2)×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s内物体的位移大小
x＝|x1|－|x2|＝|eq \f(1,2)v1t1|－|eq \f(1,2)v2t2|＝eq \f(1,2)×4×3 m－eq \f(1,2)×2×1 m＝5 m；
(3)前4 s内物体通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝eq \f(1,2)×4×3 m＋eq \f(1,2)×2×1 m＝7 m。
例4 有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示。以下根据图像做出的判断中正确的是( )
A．物体A和B均做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C．t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
答案 D
解析 由题图甲看出：物体A和B的位移—时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故选项A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移都大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故选项B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的v－t图线在t＝3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v－t图线与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t＝3 s时物体C、D的位移不相同，故选项C错误；由题图乙看出：在0～3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离逐渐增大，故选项D正确。
v－t图像与x－t图像的比较
专题强化练
1．如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战机起飞前的运动时间为( )
A.eq \f(2x,v) B.eq \f(x,v) C.eq \f(x,2v) D.eq \f(x,4v)
答案 A
解析 由平均速度公式eq \f(v,2)t＝x可知t＝eq \f(2x,v)，故A正确，B、C、D错误。
2．(2022·聊城市阳谷县高一学情检测)一辆沿笔直公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )
A．2.5 m/s B．5 m/s
C．7.5 m/s D．10 m/s
答案 B
解析 汽车经过两根电线杆的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)，由于汽车做匀加速直线运动，所以有eq \x\t(v)＝eq \f(v1＋v2,2)，联立方程，代入数据得v1＝5 m/s，即经过第一根电线杆时的速度为5 m/s，故选B。
3．(2023·呼和浩特市高一质量检测)小物块以一定初速度滑上光滑固定斜面，沿斜面向上依次有A、B、C三点，物块在AB间的平均速度为BC间平均速度的4倍，到达C点时速度为0，则AC∶BC为( )
A．3∶1 B．7∶1
C．5∶1 D．9∶1
答案 D
解析 设小物块在A点的速度为vA，B点的速度为vB，可得eq \f(vA＋vB,2)∶eq \f(vB,2)＝4∶1
解得vA∶vB＝3∶1
根据v2＝2ax
可得x＝eq \f(v2,2a)
则xAC∶xBC＝9∶1。故选D。
4．(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图像如图所示，那么0～t0和t0～3t0 两段时间内( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
答案 BD
解析 加速度a＝eq \f(Δv,Δt)，由题图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,1)，A项错误；位移大小之比等于v－t图线与t轴所围图形的面积之比，即eq \f(x1,x2)＝eq \f(1,2)，B项正确；平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)，eq \f(\x\t(v)1,\x\t(v)2)＝1，C项错误，D项正确。
5．一物体从固定斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案 C
解析 设物体到达斜面底端时的速度为v，则物体在斜面上的平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(v,2)，在斜面上的位移x1＝eq \x\t(v)1t1＝eq \f(v,2)t1；在水平地面上的平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(v,2)，在水平地面上的位移x2＝eq \x\t(v)2t2＝eq \f(v,2)t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选C。
6.(多选)(2022·涡阳第一中学高一阶段练习)某物体做直线运动的v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．物体在前2 s内的位移大小为4 m
B．物体在前3 s内通过的路程为5 m
C．物体在前3 s内的平均速度大小为eq \f(5,3) m/s
D．物体在前3 s内做非匀变速直线运动
答案 AB
解析 v－t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移，则前2 s内的位移大小x1＝eq \f(1,2)×4×2 m＝4 m，A正确；物体在第3 s内位移大小x2＝eq \f(1,2)×2×1 m＝1 m，物体在前3 s内通过的路程为s＝x1＋x2＝5 m，B正确；物体在前3 s内的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(4－2,2) m/s＝1 m/s，C错误；v－t图像的斜率表示物体的加速度，图像在前3 s内是一条倾斜直线，斜率不变，物体做匀变速直线运动，D错误。
7.(2022·镇江市丹徒高级中学月考)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，某时刻驾驶员发现正前方15 m处的斑马线上有行人，经过0.5 s反应时间后，刹车礼让行人，汽车恰好停在斑马线前。汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车刹车时的加速度大小为( )
A．20 m/s2 B．6 m/s2 C．5 m/s2 D．4 m/s2
答案 C
解析 刹车过程的位移x′＝(15－10×0.5) m＝10 m，刹车时间设为t′，x′＝eq \f(v0,2)t′，得t′＝2 s，a＝eq \f(v0,t′)＝5 m/s2，C正确。
8．(2022·西北大学附中高一期中)如图的平潭海峡公铁两用大桥是世界上最长的跨海公铁两用大桥，其中元洪航道桥的A、B、C三根桥墩间距分别为AB＝132 m、BC＝196 m。一列高速列车匀加速通过元洪航道桥，车头经过AB和BC的时间分别为3 s和4 s，则这列高速列车经过元洪航道桥的加速度大小约为( )
A．0.7 m/s2 B．1.4 m/s2
C．2.8 m/s2 D．6.3 m/s2
答案 B
解析 高速列车在AB段的平均速度为v1＝eq \f(AB,t1)＝44 m/s
BC段的平均速度v2＝eq \f(BC,t2)＝49 m/s，
根据匀变速直线运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可知
a＝eq \f(v2－v1,\f(t1,2)＋\f(t2,2))≈1.4 m/s2，B正确。
9．(2022·广州市第十三中学高一期中)如图是收费岛长度为40 m的ETC收费站。汽车以36 km/h的速度距收费岛中心线70 m处开始匀减速，行驶60 m后速度降至18 km/h，接着匀速行驶20 m，再匀加速行驶60 m，使汽车速度增至36 km/h。该过程汽车的v－t图像正确的是( )
答案 A
解析 设汽车匀减速时间为t1，可得x1＝eq \f(v0＋v1,2)t1，解得t1＝8 s，然后以5 m/s匀速运动20 m，历时t2＝eq \f(x2,v1)＝4 s，再从5 m/s恢复到10 m/s，运动60 m，可知所用时间与匀减速过程相同，为8 s，对比图像可知，A选项的图像符合题意，故选A。
10.我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v－t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．0～4 min和6～10 min两时间段平均速度大小相等
B．全过程中的最大加速度大小为0.025 m/s2
C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反
D．本次下潜的最大深度为6 m
答案 A
解析 根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则0～4 min内的位移大小为x＝eq \f(1,2)×(120＋240)×2.0 m＝360 m,6～10 min内位移大小为x′＝eq \f(1,2)×3.0×240 m＝360 m，可知0～4 min和6～10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；v－t图像的斜率表示加速度的大小，0～1 min和3～4 min加速度最大，大小为a＝eq \f(v,t)＝eq \f(2.0,60) m/s2 ≈0.033 m/s2，故B错误；v－t图像的斜率的正负反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t＝4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度为：x＝360 m，故D错误。
11．(多选)(2023·济宁市高一期中)如图所示是高层建筑配备的救生缓降器材，由调速器、安全带、安全钩、缓降绳索等组成。发生火灾时，使用者先将安全钩挂在室内窗户，管道等可以承重的物体上，然后将安全带系在人体腰部，使用缓降器材安全着陆。如图乙所示是某学校的信息楼，在火灾逃生演练现场，某同学从25 m高处，利用缓降器材由静止开始以2 m/s2匀加速下滑3 s，当速度达到最大值时先做匀速运动后做匀减速运动，到达地面时速度恰好为2 m/s。整个过程的运动时间为6 s，则该同学( )
A．匀速下降的距离为12 m
B．下滑过程中的最大速度为6 m/s
C．减速下滑过程中的加速度大小为3 m/s2
D．匀减速下降的位移大小为6 m
答案 AB
解析 下滑过程中，匀加速结束时的速度最大，则有vm＝at1＝2×3 m/s＝6 m/s，故B正确；匀加速阶段的位移为x1＝eq \f(1,2)at12＝eq \f(1,2)×2×32 m＝9 m
设匀速阶段的时间为t2，则有
x2＝vmt2
匀减速阶段的时间为t3，则匀减速阶段的位移x3＝eq \f(vm＋v地,2)t3
又x1＋x2＋x3＝25 m，t1＋t2＋t3＝6 s
联立解得
t2＝2 s，t3＝1 s，x2＝12 m，x3＝4 m
故A正确，D错误；
减速下滑过程中的加速度大小a＝eq \f(vm－v地,t3)＝eq \f(6－2,1) m/s2＝4 m/s2，故C错误。
12.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图像如图所示。在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于eq \f(v1＋v2,2)
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案 A
解析 因为v－t图线与t坐标轴所围的面积表示物体的位移，故在0～t1时间内，甲车的位移大于乙车，故根据eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)可知，甲车的平均速度大于乙车，
选项A正确，C错误；因为乙车做变减速运动，故平均速度不等于eq \f(v1＋v2,2)，选项B错误；因为v－t图线的切线斜率的绝对值等于物体的加速度大小，故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小，选项D错误。
13．(2023·扬州市高邮市期中)冰壶比赛是冬奥会的重要项目。比赛中冰壶在水平冰面上的运动可视为匀减速直线运动直至停止，已知一冰壶被运动员推出的初速度大小为3 m/s，其加速度大小为0.2 m/s2，求：
(1)冰壶整个过程平均速度的大小；
(2)冰壶10 s末的速度大小；
(3)冰壶在20 s内的位移大小。
答案 (1)1.5 m/s (2)1 m/s (3)22.5 m
解析 (1)冰壶整个过程平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(3＋0,2) m/s＝1.5 m/s。
(2)冰壶运动的总时间t2＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(0－3 m/s,－0.2 m/s2)＝15 s,10 s时冰壶未停止运动，10 s末的速度大小v1＝v0＋at1＝3 m/s＋(－0.2 m/s2)×10 s＝1 m/s。
(3)冰壶15 s时已停下，所以在20 s内的位移是前15 s内的位移x＝eq \f(v0,2)t2＝eq \f(3 m/s,2)×15 s＝22.5 m。种类
内容
v－t图像
x－t图像
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
两图线交点坐标
表示速度相同，不一定相遇
表示相遇
相同点
表示物体做直线运动
[学习目标] 1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。2.会用v－t图像求位移并判定直线运动位移的大小(重点)。
一、平均速度公式
1．如图所示，一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为 SKIPIF 1 < 0 ，试推导eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝ SKIPIF 1 < 0 。
答案 方法一 解析法
中间时刻的瞬时速度 SKIPIF 1 < 0 ＝v0＋eq \f(1,2)at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq \f(1,2)at＝ SKIPIF 1 < 0 ，又eq \x\t(v)＝v0＋eq \f(1,2)at＝eq \f(2v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v,2)，即eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝ SKIPIF 1 < 0 。
方法二 图像法
0～t时间内的位移x＝eq \f(v0＋v,2)t
平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0＋v,2)
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标，故 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \x\t(v).
2.eq \x\t(v)＝eq \f(v＋v0,2)＝ SKIPIF 1 < 0 适合于所有的变速直线运动吗？
答案 不适用。推导中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋eq \f(1,2)at2均来自匀变速直线运动中的公式，故eq \x\t(v)＝eq \f(v＋v0,2)＝ SKIPIF 1 < 0 只适用于匀变速直线运动。
1．匀变速直线运动的平均速度公式：eq \x\t(v)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(v0＋v,2)
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(v0＋v,2)，eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)。
2．三个平均速度公式的比较
eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)适用于任何运动；
eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)及eq \x\t(v)＝ SKIPIF 1 < 0 仅适用于匀变速直线运动。
例1 测试中，我国国产大飞机C919的初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)飞机4 s内的平均速度大小；
(2)飞机4 s末的速度大小；
(3)飞机2 s末的速度大小。
答案 (1)5 m/s (2)8 m/s (3)5 m/s
解析 (1)利用平均速度公式
eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(20,4) m/s＝5 m/s
(2)因为eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)
v＝2eq \x\t(v)－v0＝8 m/s
(3)2 s末为0～4 s的中间时刻
SKIPIF 1 < 0 ＝eq \x\t(v)＝5 m/s。
例2 若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x，这段位移中间位置的瞬时速度为 SKIPIF 1 < 0 。试用不同方法比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小。
答案 SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0
解析 方法一 定性分析法
实际运动过程以匀加速直线运动为例，速度先慢后快，
前eq \f(t,2)时间内的位移x1
如图， SKIPIF 1 < 0 2－v02＝2aeq \f(x,2)
v2－ SKIPIF 1 < 0 2＝2aeq \f(x,2)
得 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(\f(v02＋v2,2))
SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 >0
故 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0
方法三 图像法
由图知 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 。
中点位置的瞬时速度公式： SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(\f(v02＋v2,2))。
(1)推导：如图所示，前一段位移 SKIPIF 1 < 0 2－v02＝2a·eq \f(x,2)，后一段位移v2－ SKIPIF 1 < 0 2＝2a·eq \f(x,2)，所以有 SKIPIF 1 < 0 2＝eq \f(1,2)·(v02＋v2)，即有 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(\f(1,2)v02＋v2)。
(2)适用条件：匀变速直线运动。
(3)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 。
二、v－t图像看位移
某一做直线运动物体的v－t图像如图所示：
(1)物体在0～2t0时间内的位移为多少？
(2)物体在0～2t0时间内的路程为多少？
答案 (1)0 (2)v0t0
解析 (1)方法一 0～t0时间内的位移x1＝eq \f(1,2)v0t0
t0～2t0时间内的位移x2＝－eq \f(1,2)v0t0
x总＝x1＋x2＝0
方法二 x＝eq \f(v0＋－v0,2)·2t0＝0
(2)s＝|x1|＋|x2|＝v0t0。
1．对于任意形状的v－t图像，其与时间轴围成的“面积”表示物体的位移。
2．“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负(选填“正”或“负”)。
(1)v－t图像的斜率表示加速度。( √ )
(2)v－t图像的交点表示速度相等。( √ )
(3)v－t图像为曲线说明物体做曲线运动。( × )
(4)v－t图像与时间轴所围成的面积为位移。( √ )
例3 某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体通过的路程。
答案 (1)6 m (2)5 m (3)7 m
解析 (1)当物体运动了3 s时，物体距出发点的距离最远，xm＝eq \f(1,2)v1t1＝eq \f(1,2)×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s内物体的位移大小
x＝|x1|－|x2|＝|eq \f(1,2)v1t1|－|eq \f(1,2)v2t2|＝eq \f(1,2)×4×3 m－eq \f(1,2)×2×1 m＝5 m；
(3)前4 s内物体通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝eq \f(1,2)×4×3 m＋eq \f(1,2)×2×1 m＝7 m。
例4 有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示。以下根据图像做出的判断中正确的是( )
A．物体A和B均做匀变速直线运动
B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C．t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
答案 D
解析 由题图甲看出：物体A和B的位移—时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故选项A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移都大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故选项B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的v－t图线在t＝3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v－t图线与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t＝3 s时物体C、D的位移不相同，故选项C错误；由题图乙看出：在0～3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离逐渐增大，故选项D正确。
v－t图像与x－t图像的比较
专题强化练
1．如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战机起飞前的运动时间为( )
A.eq \f(2x,v) B.eq \f(x,v) C.eq \f(x,2v) D.eq \f(x,4v)
答案 A
解析 由平均速度公式eq \f(v,2)t＝x可知t＝eq \f(2x,v)，故A正确，B、C、D错误。
2．(2022·聊城市阳谷县高一学情检测)一辆沿笔直公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )
A．2.5 m/s B．5 m/s
C．7.5 m/s D．10 m/s
答案 B
解析 汽车经过两根电线杆的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)，由于汽车做匀加速直线运动，所以有eq \x\t(v)＝eq \f(v1＋v2,2)，联立方程，代入数据得v1＝5 m/s，即经过第一根电线杆时的速度为5 m/s，故选B。
3．(2023·呼和浩特市高一质量检测)小物块以一定初速度滑上光滑固定斜面，沿斜面向上依次有A、B、C三点，物块在AB间的平均速度为BC间平均速度的4倍，到达C点时速度为0，则AC∶BC为( )
A．3∶1 B．7∶1
C．5∶1 D．9∶1
答案 D
解析 设小物块在A点的速度为vA，B点的速度为vB，可得eq \f(vA＋vB,2)∶eq \f(vB,2)＝4∶1
解得vA∶vB＝3∶1
根据v2＝2ax
可得x＝eq \f(v2,2a)
则xAC∶xBC＝9∶1。故选D。
4．(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图像如图所示，那么0～t0和t0～3t0 两段时间内( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
答案 BD
解析 加速度a＝eq \f(Δv,Δt)，由题图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,1)，A项错误；位移大小之比等于v－t图线与t轴所围图形的面积之比，即eq \f(x1,x2)＝eq \f(1,2)，B项正确；平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)，eq \f(\x\t(v)1,\x\t(v)2)＝1，C项错误，D项正确。
5．一物体从固定斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案 C
解析 设物体到达斜面底端时的速度为v，则物体在斜面上的平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(v,2)，在斜面上的位移x1＝eq \x\t(v)1t1＝eq \f(v,2)t1；在水平地面上的平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(v,2)，在水平地面上的位移x2＝eq \x\t(v)2t2＝eq \f(v,2)t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选C。
6.(多选)(2022·涡阳第一中学高一阶段练习)某物体做直线运动的v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．物体在前2 s内的位移大小为4 m
B．物体在前3 s内通过的路程为5 m
C．物体在前3 s内的平均速度大小为eq \f(5,3) m/s
D．物体在前3 s内做非匀变速直线运动
答案 AB
解析 v－t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移，则前2 s内的位移大小x1＝eq \f(1,2)×4×2 m＝4 m，A正确；物体在第3 s内位移大小x2＝eq \f(1,2)×2×1 m＝1 m，物体在前3 s内通过的路程为s＝x1＋x2＝5 m，B正确；物体在前3 s内的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(4－2,2) m/s＝1 m/s，C错误；v－t图像的斜率表示物体的加速度，图像在前3 s内是一条倾斜直线，斜率不变，物体做匀变速直线运动，D错误。
7.(2022·镇江市丹徒高级中学月考)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，某时刻驾驶员发现正前方15 m处的斑马线上有行人，经过0.5 s反应时间后，刹车礼让行人，汽车恰好停在斑马线前。汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车刹车时的加速度大小为( )
A．20 m/s2 B．6 m/s2 C．5 m/s2 D．4 m/s2
答案 C
解析 刹车过程的位移x′＝(15－10×0.5) m＝10 m，刹车时间设为t′，x′＝eq \f(v0,2)t′，得t′＝2 s，a＝eq \f(v0,t′)＝5 m/s2，C正确。
8．(2022·西北大学附中高一期中)如图的平潭海峡公铁两用大桥是世界上最长的跨海公铁两用大桥，其中元洪航道桥的A、B、C三根桥墩间距分别为AB＝132 m、BC＝196 m。一列高速列车匀加速通过元洪航道桥，车头经过AB和BC的时间分别为3 s和4 s，则这列高速列车经过元洪航道桥的加速度大小约为( )
A．0.7 m/s2 B．1.4 m/s2
C．2.8 m/s2 D．6.3 m/s2
答案 B
解析 高速列车在AB段的平均速度为v1＝eq \f(AB,t1)＝44 m/s
BC段的平均速度v2＝eq \f(BC,t2)＝49 m/s，
根据匀变速直线运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可知
a＝eq \f(v2－v1,\f(t1,2)＋\f(t2,2))≈1.4 m/s2，B正确。
9．(2022·广州市第十三中学高一期中)如图是收费岛长度为40 m的ETC收费站。汽车以36 km/h的速度距收费岛中心线70 m处开始匀减速，行驶60 m后速度降至18 km/h，接着匀速行驶20 m，再匀加速行驶60 m，使汽车速度增至36 km/h。该过程汽车的v－t图像正确的是( )
答案 A
解析 设汽车匀减速时间为t1，可得x1＝eq \f(v0＋v1,2)t1，解得t1＝8 s，然后以5 m/s匀速运动20 m，历时t2＝eq \f(x2,v1)＝4 s，再从5 m/s恢复到10 m/s，运动60 m，可知所用时间与匀减速过程相同，为8 s，对比图像可知，A选项的图像符合题意，故选A。
10.我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v－t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．0～4 min和6～10 min两时间段平均速度大小相等
B．全过程中的最大加速度大小为0.025 m/s2
C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反
D．本次下潜的最大深度为6 m
答案 A
解析 根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则0～4 min内的位移大小为x＝eq \f(1,2)×(120＋240)×2.0 m＝360 m,6～10 min内位移大小为x′＝eq \f(1,2)×3.0×240 m＝360 m，可知0～4 min和6～10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；v－t图像的斜率表示加速度的大小，0～1 min和3～4 min加速度最大，大小为a＝eq \f(v,t)＝eq \f(2.0,60) m/s2 ≈0.033 m/s2，故B错误；v－t图像的斜率的正负反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t＝4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度为：x＝360 m，故D错误。
11．(多选)(2023·济宁市高一期中)如图所示是高层建筑配备的救生缓降器材，由调速器、安全带、安全钩、缓降绳索等组成。发生火灾时，使用者先将安全钩挂在室内窗户，管道等可以承重的物体上，然后将安全带系在人体腰部，使用缓降器材安全着陆。如图乙所示是某学校的信息楼，在火灾逃生演练现场，某同学从25 m高处，利用缓降器材由静止开始以2 m/s2匀加速下滑3 s，当速度达到最大值时先做匀速运动后做匀减速运动，到达地面时速度恰好为2 m/s。整个过程的运动时间为6 s，则该同学( )
A．匀速下降的距离为12 m
B．下滑过程中的最大速度为6 m/s
C．减速下滑过程中的加速度大小为3 m/s2
D．匀减速下降的位移大小为6 m
答案 AB
解析 下滑过程中，匀加速结束时的速度最大，则有vm＝at1＝2×3 m/s＝6 m/s，故B正确；匀加速阶段的位移为x1＝eq \f(1,2)at12＝eq \f(1,2)×2×32 m＝9 m
设匀速阶段的时间为t2，则有
x2＝vmt2
匀减速阶段的时间为t3，则匀减速阶段的位移x3＝eq \f(vm＋v地,2)t3
又x1＋x2＋x3＝25 m，t1＋t2＋t3＝6 s
联立解得
t2＝2 s，t3＝1 s，x2＝12 m，x3＝4 m
故A正确，D错误；
减速下滑过程中的加速度大小a＝eq \f(vm－v地,t3)＝eq \f(6－2,1) m/s2＝4 m/s2，故C错误。
12.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图像如图所示。在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于eq \f(v1＋v2,2)
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案 A
解析 因为v－t图线与t坐标轴所围的面积表示物体的位移，故在0～t1时间内，甲车的位移大于乙车，故根据eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)可知，甲车的平均速度大于乙车，
选项A正确，C错误；因为乙车做变减速运动，故平均速度不等于eq \f(v1＋v2,2)，选项B错误；因为v－t图线的切线斜率的绝对值等于物体的加速度大小，故甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小，选项D错误。
13．(2023·扬州市高邮市期中)冰壶比赛是冬奥会的重要项目。比赛中冰壶在水平冰面上的运动可视为匀减速直线运动直至停止，已知一冰壶被运动员推出的初速度大小为3 m/s，其加速度大小为0.2 m/s2，求：
(1)冰壶整个过程平均速度的大小；
(2)冰壶10 s末的速度大小；
(3)冰壶在20 s内的位移大小。
答案 (1)1.5 m/s (2)1 m/s (3)22.5 m
解析 (1)冰壶整个过程平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(3＋0,2) m/s＝1.5 m/s。
(2)冰壶运动的总时间t2＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(0－3 m/s,－0.2 m/s2)＝15 s,10 s时冰壶未停止运动，10 s末的速度大小v1＝v0＋at1＝3 m/s＋(－0.2 m/s2)×10 s＝1 m/s。
(3)冰壶15 s时已停下，所以在20 s内的位移是前15 s内的位移x＝eq \f(v0,2)t2＝eq \f(3 m/s,2)×15 s＝22.5 m。种类
内容
v－t图像
x－t图像
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
两图线交点坐标
表示速度相同，不一定相遇
表示相遇
相同点
表示物体做直线运动
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