人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动1 圆周运动精品课时训练

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[学习目标] 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件.2.掌握圆周运动临界问题的分析方法．
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．
水平面内的圆周运动常见的临界问题：
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值．
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值．
(4)物体所受支持力为0或绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0.
例1 (2022·河北邯郸一中高二学业考试)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是( )
A．A的向心加速度最大
B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
答案 C
解析 A、B、C三物体角速度相同，an＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝eq \r(\f(kg,r))，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误．
针对训练 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g)
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为eq \r(\f(3μg,2r))，绳子对物体拉力的大小．
答案 (1)eq \r(\f(μg,r)) (2)eq \f(1,2)μmg
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，
根据牛顿第二定律有μmg＝mω02r，得ω0＝eq \r(\f(μg,r)).
(2)当ω＝eq \r(\f(3μg,2r))时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
解得F＝eq \f(1,2)μmg.
例2 (2022·南通市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r.一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方eq \f(4,3)r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值．
答案 (1)eq \r(\f(μg,r)) (2)eq \r(\f(3g,4r))
解析 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12，解得：ω1＝eq \r(\f(μg,r)).
(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mgtan θ＝mω22r
tan θ＝eq \f(3,4)
联立解得：ω2＝eq \r(\f(3g,4r)).
例3 (多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小球一定受a绳的拉力作用
B．小球所受a绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>eq \r(\f(g,ltan θ))时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案 AC
解析 对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝eq \f(mg,sin θ)，为定值，A正确，B错误．当FTacs θ＝mω2l，即ω＝eq \r(\f(g,ltan θ))时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误．
1.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上离转轴某一距离处放一小木块，该木块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不发生相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在改变下列哪种条件时，物体仍能与圆盘保持相对静止( )
A．增大圆盘转动的角速度
B．增大木块到转轴的距离
C．增大木块的质量
D．改变上述的任一条件都不能使木块与圆盘继续保持相对静止
答案 C
解析 木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，此时有：μmg＝mω2r，角速度ω增大，所需要的向心力Fn＝mω2r增大，mω2r将大于最大静摩擦力μmg而发生相对滑动，故A错误；木块到转轴的距离越大，需要的向心力Fn＝mω2r越大，则会发生滑动，故B错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝mω2r，由此可知与质量无关，所以增大木块的质量仍能保持相对静止，故C正确，D错误．
2．(2021·嘉兴市高一期中)如图所示，a为置于距圆桌转盘中心r1处的杯子，装满水的总质量为2m，另有一空杯子b质量为m，置于距圆盘中心r2处，已知r2＝2r1，圆盘从静止开始缓慢地加速转动，两杯子与桌面间的动摩擦因数均为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，且均未相对桌面滑动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法不正确的是( )
A．b比a先达到最大静摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始终相同
C．ω＝eq \r(\f(μg,2r1))是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝eq \r(\f(μg,2r1))时，a所受摩擦力的大小为μmg
答案 B
解析 杯子随着圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，a刚要开始滑动时有μ2mg＝2mωa2r1，解得ωa＝eq \r(\f(μg,r1))，b刚要开始滑动时有μmg＝mωb2r2，解得ωb＝eq \r(\f(μg,r2))＝eq \r(\f(μg,2r1))，因为b比a先达到最大静摩擦力，故b先开始滑动，故A、C正确；在杯子b的摩擦力没有达到最大前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知Ffa＝2mω2r1，Ffb＝mω2r2＝2mω2r1，所以a和b受到的摩擦力大小是相等的，方向不同，故B错误；当ω＝eq \r(\f(μg,2r1))时，a没有发生相对滑动，静摩擦力为Ff＝2mω2r1＝μmg，故D正确．
3.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
答案 C
解析 把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝meq \f(v2,R)，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误．
4.(2021·棠湖中学高一质检)如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
A．螺丝帽受重力、弹力、摩擦力以及向心力
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝eq \r(\f(g,μr))
D．若塑料管转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动
答案 C
解析 螺丝帽受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向心力，弹力的方向指向圆心，故A、B错误；螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和最大静摩擦力平衡，根据mg＝Ff＝μFN，FN＝mω2r，解得ω＝eq \r(\f(g,μr))，故C正确；若塑料管转动加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力仍然平衡，故D错误．
5．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为FT＝4μmg
B．此时圆盘的角速度为ω＝eq \r(\f(2μg,r))
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
D．若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
答案 B
解析 A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝eq \r(\f(2μg,r))，此时A所需的向心力大小为FnA＝mω2r＝2μmg，B所需的向心力大小为FnB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断细线，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故B正确，A、C、D错误．
6．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g.求转台转动的角速度．
答案 eq \r(\f(2g,R))
解析 对小物块受力分析，如图所示：设此时的角速度为ω0，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtan θ＝mRω02sin θ，
解得：ω0＝eq \r(\f(gtan θ,Rsin θ))＝eq \r(\f(g,Rcs θ))＝eq \r(\f(2g,R)).
7．(2021·宿迁市高一期中)“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边缘．如图所示，质量为m的人(视为质点)坐在转盘上，与转盘中心O相距r，转盘的半径为R，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.
(1)当转盘的角速度大小为ω0时，人未滑动，求此时人受到的摩擦力大小和方向；
(2)使转盘的转速缓慢增大，求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω；
(3)当人滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ωm，人就可以离开盘面，贴着侧壁一起转动，试求角速度ωm的大小．
答案 (1)mω02r 指向转盘中心O点 (2)eq \r(\f(μg,r)) (3)eq \r(\f(g,μR))
解析 (1)人做圆周运动，摩擦力提供向心力，有Ff＝mω02r，方向指向转盘中心O点
(2)静摩擦力提供人做圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度，则
μmg＝mω2r
解得ω＝eq \r(\f(μg,r))
(3)人离开盘面贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力，则有
FN＝mωm2R
μFN＝mg
解得ωm＝eq \r(\f(g,μR)).
8.如图所示，质量为m的木块，用一轻绳拴着，置于足够大的水平转盘上，轻绳穿过转盘中央的小孔，与质量也为m的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的0.2倍，当转盘以角速度ω＝4 rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？(g取10 m/s2)
答案 见解析
解析 由于转盘以角速度ω＝4 rad/s匀速转动，因此木块做匀速圆周运动所需向心力为F＝mrω2.由题可知轻绳的拉力FT＝mg.
当木块做匀速圆周运动的半径取最小值时，其所受最大静摩擦力与拉力方向相反，则有mg－μmg＝mrminω2，代入数据，解得rmin＝0.5 m；
当木块做匀速圆周运动的半径取最大值时，其所受最大静摩擦力与拉力方向相同，则有mg＋μmg＝mrmaxω2，代入数据，解得rmax＝0.75 m.
因此，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是0.5 m≤r≤0.75 m.
9．(2021·南京外国语学校高一期中)如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角θ＝60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．求：(重力加速度为g)
(1)当小球刚好离开水平桌面时，小球匀速转动的角速度ω0为多大；
(2)当小球以ω1＝eq \r(\f(g,L))做圆锥摆运动时，绳子张力F1为多大？桌面对小球的支持力FN1为多大；
(3)当小球以ω2＝eq \r(\f(3g,L))做圆锥摆运动时，绳子张力F2及桌面对小球的支持力FN2各为多大．
答案 (1)eq \r(\f(2g,L)) (2)mg eq \f(1,2)mg (3)3mg 0
解析 (1)当小球刚好离开水平桌面做匀速圆周运动时，由向心力公式可得
mgtan θ＝m·Lsin θ·ω02
解得小球的角速度为ω0＝eq \r(\f(2g,L))
(2)当小球以ω1＝eq \r(\f(g,L))做圆锥摆运动时，由于ω1ω0，小球离开桌面，故桌面对小球的支持力FN2＝0
设此时绳子与竖直方向夹角为α，由向心力公式可得F2sin α＝m·Lsin α·ω22
解得F2＝3mg.