高中物理人教版 (2019)必修 第二册5 实验：验证机械能守恒定律优秀课后复习题

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一、实验思路
机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此研究过程一定要满足这一条件．本节实验我们以只有重力做功的过程进行研究．
二、物理量的测量及数据分析
只有重力做功时，只发生重力势能和动能的转化．
(1)要验证的表达式：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1或eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12＝mgh1－mgh2.
(2)所需测量的物理量：物体所处两位置之间的高度差、物体的运动速度．
三、参考案例
案例1 研究自由下落物体的机械能
1．实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸(或墨粉纸盘)、导线、刻度尺、交流电源．
2．实验步骤
(1)安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好．
(2)打纸带：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近．先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落．重复几次，得到3～5条打好点的纸带．
(3)选纸带并测量：选择一条点迹清晰的纸带，确定要研究的开始和结束的位置，测量并计算出两位置之间的距离Δh及在两位置时纸带的速度，代入表达式进行验证．
3．数据处理
(1)计算各点对应的瞬时速度：如图乙所示，根据公式vn＝eq \f(hn＋1－hn－1,2T)，计算出某一点的瞬时速度vn.
(2)验证方法
方法一：利用起始点和第n点．
选择开始的两点间距接近2 mm的一条纸带，打的第一个点为起始点，如果在实验误差允许范围内mghn＝eq \f(1,2)mvn2，则机械能守恒定律得到验证．
方法二：任取两点A、B.
如果在实验误差允许范围内mghAB＝eq \f(1,2)mvB2－eq \f(1,2)mvA2，则机械能守恒定律得到验证．
方法三：图像法(如图所示)．
若在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则机械能守恒定律得到验证．
4．误差分析
本实验的误差主要是测量纸带产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差．
5．注意事项
(1)安装打点计时器时，要使两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力．
(2)应选用质量和密度较大的重物．
(3)实验时，应先接通电源，让打点计时器正常工作后再松开纸带让重物下落．
(4)本实验中的几种验证方法均不需要测重物的质量m.
(5)速度不能用v＝gt或v＝eq \r(2gh)计算，应根据纸带上测得的数据，利用vn＝eq \f(hn＋1－hn－1,2T)计算瞬时速度．
案例2 研究沿斜面下滑物体的机械能
1．实验器材
如图所示，气垫导轨、数字计时器、带有遮光条的滑块．
2．实验步骤
把气垫导轨调成倾斜状态，滑块沿倾斜的气垫导轨下滑时，忽略空气阻力，重力势能减小，动能增大．
测量两光电门之间高度差Δh和滑块通过两个光电门时的速度v1、v2，代入表达式验证．
3．物理量的测量及数据处理
(1)测量两光电门之间的高度差Δh；
(2)根据滑块经过两光电门时遮光条的遮光时间Δt1和Δt2，计算滑块经过两光电门时的瞬时速度．
若遮光条的宽度为ΔL，则滑块经过两光电门时的速度分别为v1＝eq \f(ΔL,Δt1)，v2＝eq \f(ΔL,Δt2)；
(3)若在实验误差允许范围内满足mgΔh＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，则验证了机械能守恒定律．
4．误差分析
两光电门之间的距离稍大一些，可以减小误差；遮光条的宽度越小，误差越小．
一、实验步骤和数据处理
例1 某实验小组“用落体法验证机械能守恒定律”，实验装置如图甲所示．实验中测出重物自由下落的高度h及对应的瞬时速度v，计算出重物减少的重力势能mgh和增加的动能
eq \f(1,2)mv2，然后进行比较，如果两者相等或近似相等，即可验证重物自由下落过程中机械能守恒．请根据实验原理和步骤完成下列问题：
(1)关于上述实验，下列说法中正确的是________．
A．重物最好选择密度较小的木块
B．重物的质量可以不测量
C．实验中应先接通电源，后释放纸带
D．可以利用公式v＝eq \r(2gh)来求解瞬时速度
(2)如图乙是该实验小组打出的一条点迹清晰的纸带，纸带上的O点是起始点，选取纸带上连续的点A、B、C、D、E、F作为计时点，并测出各计时点到O点的距离依次为27.94 cm、32.78 cm、38.02 cm、43.65 cm、49.66 cm、56.07 cm.已知打点计时器所用的电源是50 Hz的交流电，重物的质量为0.5 kg，则从计时器打下点O到打下点D的过程中，重物减少的重力势能ΔEp＝________ J；重物增加的动能ΔEk＝________ J，两者不完全相等的原因可能是________________．(重力加速度g取9.8 m/s2，计算结果保留三位有效数字)
(3)实验小组的同学又正确计算出图乙中打下计时点A、B、C、D、E、F各点的瞬时速度v，以各计时点到A点的距离h′为横轴，v2为纵轴作出图像，如图丙所示，根据作出的图像，能粗略验证自由下落的物体机械能守恒的依据是__________________．
答案 (1)BC (2)2.14 2.12 重物下落过程中受到阻力作用 (3)图像的斜率等于19.52，约为重力加速度g的两倍，故能验证
解析 (1)重物最好选择密度较大的铁块，选项A错误．本题是以自由落体运动为例来验证机械能守恒定律，需要验证的方程是mgh＝eq \f(1,2)mv2，因为我们是比较mgh、eq \f(1,2)mv2的大小关系，故m可约去，不需要测量重物的质量，选项B正确．实验中应先接通电源，后释放纸带，选项C正确．不能利用公式v＝eq \r(2gh)来求解瞬时速度，否则体现不了实验验证，而变成了理论推导，选项D错误．
(2)重力势能减少量ΔEp＝mgh＝0.5×9.8×0.436 5 J≈2.14 J．利用匀变速直线运动的推论：vD＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(0.496 6－0.380 2,0.04) m/s＝2.91 m/s，EkD＝eq \f(1,2)mvD2＝eq \f(1,2)×0.5×(2.91)2 J≈2.12 J，动能增加量ΔEk＝EkD－0＝2.12 J．由于存在阻力作用，所以重力势能的减少量大于动能的增加量．
(3)根据mgh′＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mvA2，则有v2＝2gh′＋vA2；当图像的斜率为重力加速度的2倍时，即可验证机械能守恒，而图像的斜率k＝eq \f(10.36－5.48,0.25)＝19.52，因此能粗略验证自由下落的物体机械能守恒．
例2 现利用如图所示装置“验证机械能守恒定律”．图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的数字计时器都没有画出．让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的数字计时器显示的挡光时间分别为5.00×10－2 s、2.00×10－2 s．已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0.54 m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度．(结果均保留三位有效数字)
(1)滑块通过光电门1时的速度v1＝______ m/s，通过光电门2时的速度v2＝________ m/s.
(2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为______ J，重力势能的减少量为________ J.
(3)实验可以得出的结论：_________________________.
答案 (1)1.00 2.50 (2)5.25 5.29 (3)在实验误差允许的范围内，滑块的机械能守恒
解析 (1)v1＝eq \f(L,t1)＝eq \f(5.00×10－2,5.00×10－2) m/s＝1.00 m/s
v2＝eq \f(L,t2)＝eq \f(5.00×10－2,2.00×10－2) m/s＝2.50 m/s
(2)动能增加量
ΔEk＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12＝5.25 J.
重力势能的减少量：
ΔEp＝mgssin 30°≈5.29 J.
(3)在实验误差允许的范围内，滑块的机械能守恒．
二、创新实验
例3 用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，物块2从高处由静止开始下落，物块1上拖着的纸带打出了一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律．图乙给出的是实验中获取的一条纸带，其中0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个计时点(图中未标出)，计数点间的距离如图乙所示．已知物块1、2的质量分别为m1＝50 g、m2＝150 g．(电源频率为50 Hz，结果均保留两位有效数字)
(1)在纸带上打下计数点5时的速度v5＝____ m/s.
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增加量ΔEk＝____ J，系统重力势能的减少量ΔEp＝____ J．
(g取10 m/s2)
(3)若某同学作出的eq \f(1,2)v2－h图像如图丙所示，则当地的实际重力加速度g＝________ m/s2.
答案 (1)2.4 (2)0.58 0.60 (3)9.7
解析 (1)物块做匀变速直线运动，中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度，可知在纸带上打下计数点5时的速度v5＝eq \f(h46,2T)＝eq \f(0.216 0＋0.264 0,2×0.1) m/s＝2.4 m/s.
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增量ΔEk＝eq \f(1,2)(m1＋m2)v52≈0.58 J，系统重力势能的减少量ΔEp＝(m2－m1)gh5＝0.60 J.
(3)根据机械能守恒定律得eq \f(1,2)(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh，则有eq \f(1,2)v2＝eq \f(m2－m1,m1＋m2)gh＝eq \f(1,2)gh，所以eq \f(1,2)v2－h图像的斜率k＝eq \f(1,2)g＝eq \f(5.82,1.20) m/s2＝4.85 m/s2，故g＝9.7 m/s2.
例4 如图所示装置可用来验证机械能守恒定律．长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一摆锤A，在A上放一个小铁片．现将摆锤拉起，使轻绳偏离竖直方向θ角，由静止开始释放摆锤，当其到达最低位置时，受到竖直挡板P阻挡而停止运动，这时铁片将做平抛运动而飞离摆锤，用刻度尺量出铁片的水平位移为x，下落高度为H.(不计A与铁片间的摩擦)
(1)要验证摆锤在运动中机械能守恒，必须求出摆锤初始位置离最低位置的高度，其高度应为________，同时还应求出摆锤在最低位置时的速度，其速度应为_______．(重力加速度为g)
(2)用实验中测量的物理量写出验证摆锤在运动中机械能守恒的关系式为______________．
答案 (1)L(1－cs θ) xeq \r(\f(g,2H)) (2)x2＝4HL(1－cs θ)
解析 (1)摆锤下降的高度h＝L(1－cs θ)．因摆锤与铁片一起运动到最低位置，所以摆锤在最低位置时的速度等于铁片的平抛初速度v，
由H＝eq \f(1,2)gt2，x＝vt得v＝eq \f(x,t)＝eq \f(x,\r(\f(2H,g)))＝xeq \r(\f(g,2H))；
(2)设摆锤质量为m，由eq \f(1,2)mv2＝mgh得
eq \f(1,2)m(xeq \r(\f(g,2H)))2＝mgL(1－cs θ)，
整理得x2＝4HL(1－cs θ)．
1．(多选)用落体法“验证机械能守恒定律”，就是看eq \f(1,2)mvn2是否等于mghn(n为计数点的编号0、1、2…n)．下列说法中正确的是( )
A．打点计时器打第一个点0时，重物的速度为零
B．hn是计数点n到起始点0的距离
C．必须测量重物的质量
D．可以用vn＝gtn计算vn，其中tn＝(n－1)T(T为打点周期)
答案 AB
解析 打点计时器打第一个点时，重物的速度应为零，A正确；hn与vn分别表示打第n个点时重物下落的高度和对应的瞬时速度，B正确；本实验中，不需要测量重物的质量，因为公式mgh＝eq \f(1,2)mv2的两边都有m，故只要gh＝eq \f(1,2)v2成立，mgh＝eq \f(1,2)mv2就成立，机械能守恒定律也就被验证了，C错误；实验中应用公式vn＝eq \f(hn＋1－hn－1,2T)来计算vn，D错误．
2．某同学用图(a)所示的实验装置“验证机械能守恒定律”，图(b)是用电源频率为50 Hz的打点计时器打出的一条纸带，O点为重锤下落的起点，选取的计数点A、B、C、D到O点的距离在图中已标出，重力加速度g取9.8 m/s2，重锤的质量为1 kg.(计算结果均保留两位有效数字)
(1)下列做法正确的有________．
A．必须称出重锤和夹子的质量
B．图中两限位孔必须在同一竖直线上
C．将连着重锤的纸带穿过限位孔，用手提住，且让手尽量靠近打点计时器
D．实验时，先放开纸带，再接通打点计时器的电源
E．处理数据时，应选择纸带上距离较近的两点作为初、末位置
(2)打点计时器打下B点时，重锤下落的速度vB＝________ m/s，重锤的动能EkB＝________J.
(3)从起点O到打下B点过程中，重锤的重力势能的减少量为________J.
(4)根据(1)、(2)计算，在误差允许范围内，从起点O到打下B点过程中，你得到的结论是_____________．
(5)如图是根据某次实验数据绘出的eq \f(v2,2)－h图像，图线不过坐标原点的原因是_____________．
答案 (1)B (2)1.2 0.72 (3)0.73 (4)重锤下落过程中机械能守恒 (5)开始打点时重锤有一定的速度
解析 (2)A、D间每两个计数点之间有一个计时点，则相邻两个计数点之间的时间间隔为t＝0.04 s，则
vB＝eq \f(xAC,2t)＝eq \f(0.125 4－0.032 0,2×0.04) m/s≈1.2 m/s，
EkB＝eq \f(1,2)mvB2＝0.72 J
(3)从起点O到打下B点过程中，重锤的重力势能减少量：
ΔEp＝mgh＝1×9.8×0.074 0 J≈0.73 J
(4)在实验误差允许范围内，由于重锤重力势能减少量近似等于重锤动能的增加量，重锤下落的过程中机械能守恒；
(5)由机械能守恒可知mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，则有eq \f(v2,2)＝gh＋eq \f(v02,2)，图线不过坐标原点的原因是开始打点时重锤有一定的速度．
3．小刚同学用如图所示的实验装置“验证机械能守恒定律”，他进行如下操作：
①用天平测出小球的质量为0.50 kg；
②测出小球的直径为10.0 mm；
③电磁铁先通电，将小球吸在其下端；
④用刻度尺测出小球球心到光电门的距离为82.05 cm；
⑤电磁铁断电时，小球自由下落；
⑥在小球通过光电门时，计时装置记下小球通过光电门所用的时间为2.50×10－3 s，由此可算出小球通过光电门的速度．
(1)由以上测量数据可计算出小球重力势能的减少量ΔEp＝________ J，小球动能的增加量ΔEk＝________ J．(g取9.8 m/s2，结果均保留三位有效数字)
(2)从实验结果中发现ΔEp______________(选填“稍大于”“稍小于”或“等于”)ΔEk，试分析可能的原因：______________.
答案 (1)4.02 4.00 (2)稍大于 小球受到空气阻力的影响
解析 (1)小球重力势能的减少量ΔEp＝mgh＝0.50×9.8×0.820 5 J≈4.02 J；小球通过光电门的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(d,t)＝eq \f(0.01,2.50×10－3) m/s＝4 m/s，小球动能的变化量ΔEk＝eq \f(1,2)meq \x\t(v)2＝4.00 J.
(2)从实验结果中发现ΔEp稍大于ΔEk，可能的原因是小球受到空气阻力的影响．
4．(2022·江苏阜宁中学高一期中改编)实验小组用自由落体法验证机械能守恒定律，实验装置如图．
(1)下列操作或分析中正确的有________；
A．实验中应选取密度大、体积小的重锤
B．可以用v＝gt或v＝eq \r(2gh)计算某点的速度
(2)实验中，小明同学选出一条清晰的纸带如图所示．在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC.
已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T.设重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，则打点计时器打下B点时重锤的重力势能比开始下落时减少了ΔEp＝________，重锤动能的增加量为ΔEk＝________；很多实验结果显示，重力势能的减少量略________(填“大于”或“小于”)动能的增加量，原因是________．
(3)小华同学利用他自己实验时打出的纸带，测量出了各计数点到打点计时器打下的第一个点的距离h，算出了各计数点对应的速度v以及v2，根据下表中数据在图中作出v2－h图像如图所示；
依据小华同学处理数据的方法，实验需要验证的机械能守恒的表达式为________，因此小华同学根据图像验证机械能守恒的依据是求出图像的斜率是否近似为________．
答案 (1)A (2)mghB eq \f(mhC－hA2,8T2) 大于 阻力的影响 (3)v2＝2gh 2g
解析 (2)从打O点到打B点的过程中，打点计时器打下B点时重锤的重力势能比开始下落时减少为ΔEp＝mghB，打B点时的速度为vB＝eq \f(hC－hA,2T)
重锤动能的增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)mvB2＝eq \f(mhC－hA2,8T2)
重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是阻力的影响，使得部分重力势能转化为内能．
(3)若机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2，整理可得实验需要验证的机械能守恒的表达式为v2＝2gh，根据机械能守恒的表达式可知图线的斜率为k＝2g.
5．利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”，实验装置示意图如图所示．
(1)实验步骤：
①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平．
②用游标卡尺测出挡光条的宽度l＝9.30 mm.
③由导轨标尺读出两光电门中心间的距离s＝________ cm.
④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2.
⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2.
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m.
(2)用表示直接测量量的字母写出下列物理量的表达式．
①滑块通过光电门1和光电门2时，瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________.
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________.
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统重力势能的减少量ΔEp＝________(重力加速度为g)．
(3)如果ΔEp＝________，则可认为验证了机械能守恒定律．
答案 (1)③60.00(答案在59.96～60.04之间的，也正确) (2)①eq \f(l,Δt1) eq \f(l,Δt2) ②eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt1))2
eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt2))2 ③mgs (3)eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt2))2－eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt1))2
解析 (1)③s＝80.30 cm－20.30 cm＝60.00 cm.
(2)①由于挡光条宽度很小，因此可以将挡光条通过光电门时的平均速度当成瞬时速度，滑块通过光电门1和光电门2时的瞬时速度分别为v1＝eq \f(l,Δt1)，v2＝eq \f(l,Δt2).
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统的总动能分别为Ek1＝eq \f(1,2)(M＋m)v12＝eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt1))2；
Ek2＝eq \f(1,2)(M＋m)v22＝eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt2))2.
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统重力势能的减少量ΔEp＝mgs.
(3)如果在实验误差允许的范围内ΔEp＝eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt2))2－eq \f(1,2)(M＋m)(eq \f(l,Δt1))2，则可认为验证了机械能守恒定律．
6.某同学利用如图所示装置“验证小球摆动过程中机械能守恒”，实验中小球摆到最低点时恰好与桌面接触但没有弹力，D处(箭头所指处)放一锋利的刀片，细线到达竖直位置时能被割断，小球做平抛运动落到地面，P是一刻度尺．该同学的方案优点是只需利用刻度尺测量A位置到桌面的高度H、桌面到地面的高度h及小球平抛运动的水平位移x即可．
(1)测量A位置到桌面的高度H应从________(填“球的上边沿”“球心”或“球的下边沿”)开始测．
(2)实验中多次改变H值并测量与之对应的x值，利用作图像的方法去验证．为了直观地表述H和x的关系(图线为直线)，若用横轴表示H，则纵轴应表示________．(填“x”“x2”或“eq \r(x)”)
(3)若小球下摆过程中机械能守恒，则h、H和x的关系为H＝________.
答案 (1)球的下边沿 (2)x2 (3)eq \f(x2,4h)
解析 (1)测量A位置到桌面的高度H，即球下降的高度，因为到达桌面时是球的下边沿与桌面接触，所以测量高度H时应从球的下边沿开始测．
(2)、(3)根据h＝eq \f(1,2)gt2得：t＝eq \r(\f(2h,g))
则平抛运动的初速度为v＝eq \f(x,t)＝xeq \r(\f(g,2h))，
若小球下摆过程中机械能守恒，有：mgH＝eq \f(1,2)mv2
解得：x2＝4hH，即H＝eq \f(x2,4h).
7.为了验证机械能守恒定律，同学们设计了如下的实验：
(1)不计挡光片的质量，所用钩码的质量相同，如图所示，由静止释放钩码A、B、C，实验测得，释放钩码时挡光片距光电门的距离为h，挡光片遮光的时间为t，挡光片宽度为d.若系统机械能守恒，则需要验证：h＝________(用物理量字母表示，已知当地的重力加速度为g)；
(2)下列建议中能对减小该实验误差有作用的是________．
A．绳子越长越好
B．使用质量小且结实的绳子
C．尽量保证钩码只沿竖直方向运动，不要摇晃
答案 (1)eq \f(3d2,2gt2) (2)BC
解析 (1)钩码通过光电门的速度为v＝eq \f(d,t)
若系统机械能守恒，则有(2m－m)gh＝eq \f(1,2)×3mv2
解得h＝eq \f(3v2,2g)＝eq \f(3d2,2gt2)
(2)由h＝eq \f(3d2,2gt2)知，与绳子长度无关，A错误；钩码在运动的过程中，细绳也在运动，也具有动能，故使用质量小且结实的绳子可使实验减小系统误差，B正确；尽量保证钩码只沿竖直方向运动，因为摇晃会使得钩码在水平方向上有速度分量，影响实验验证结果，C正确．v/(m·s－1)
0.98
1.17
1.37
1.56
1.82
1.95
v2/(m2·s－2)
0.96
1.37
1.88
2.43
3.31
3.80
h/(×10－2m)
4.92
7.02
9.63
12.50
15.68
19.48