高中数学必修第二册第七章《本章综合与测试》章末复习导学案2-统编人教A版

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1．待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的关系式，然后求解问题．

2．解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，有时会导致计算量过大．运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程．

3．复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据．

4．复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考察的对象之一．求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用几何法求解．

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复数的基本概念

复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0，若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0，若复数a＋bi为零，则a＝0，且b＝0，若复数a＋bi是虚数，则b≠0.

[典例1]　(1)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)

A．若z2≥0，则z是实数

B．若z2<0，则z是虚数

C．若z是虚数，则z2≥0

D．若z是纯虚数，则z2<0

(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

(3)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．

解析　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则即b＝0，故z是实数，A正确．若z2<0，则即故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则z2＝－b2<0，故D正确．

(2)a－＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯虚数得a＝3.

(3)复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.

答案　(1)C　(2)D　(3)21

复数的四则运算

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．

[典例2]　计算：(1)；(2).

解　(1)原式＝＝＝i.

(2)原式＝

＝

＝＝

＝＝－1＋i.

复数及其运算的几何意义

1．任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即

2．设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，其对应的复平面内的点分别为Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|Z2－Z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝ .

[典例3]　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，

因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，

所以y＝－2.

因为＝＝(x－2i)(2＋i)

＝(2x＋2)＋(x－4)i，且为实数，

所以x＝4，所以z＝4－2i，

所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，

根据条件，可知解得2<a<6，

所以实数a的取值范围是(2,6)．

[典例4]　已知复数z1＝i(1－i)3.

(1)求|z1|；

(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

解　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，

∴|z1|＝＝2.

(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1，

∵|z|＝1，∴点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，

∵z1＝2－2i，∴Z1(2，－2)，∴|z－z1|为点Z1到圆上一点的距离，∴|z－z1|max＝|ZZ1|max＝＋1＝2＋1.

解法二：∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，

∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|

＝

＝

＝ .

∴当sin＝1时，|z－z1|取得最大值，最大值为＝2＋1.

复数方程问题

[典例5]　设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，

(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；

(2)证明对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．

解　(1)设实数根是a，

则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，

即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0.

∵a，tanθ∈R，∴

∴a＝－1，且tanθ＝1.

又0<θ<，∴θ＝.

(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，

即此方程组无实数解．

所以对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．