人教版九年级上册数学第二十四章《圆》导学案（有答案）

这是一份人教版九年级上册数学第二十四章《圆》导学案（有答案），共55页。试卷主要包含了1　圆的有关性质，理解圆的两种定义形式，理解与圆有关的一些概念，从画圆的过程可以看出，等弧等内容，欢迎下载使用。
第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.1　圆
学习目标
1.理解圆的两种定义形式.
2.理解与圆有关的一些概念.
重点：圆的有关概念.
难点：定义圆应该具备的两个条件．
学习过程
一、创设问题情境
活动1:观察图形,从中找到共同特点.
二、揭示问题规律
(一)圆
活动2:
1.画圆
2.圆的定义:
归纳:圆心是确定圆在平面内的___________的,半径是确定圆的___________的,所以,圆是由___________和___________两个要素确定的. 
圆有___________个圆心, ___________条半径,同一个圆中所有的___________都相等.
活动3:结合定义,师生共同讨论以下几个问题:
(1)篮球是圆吗?为什么?(2)以3厘米为半径的圆,能画出几个?为什么?(3)以点O为圆心画圆,能画几个?为什么?
(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?
(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?
3.从画圆的过程可以看出:
(1)圆上各点到___________的距离都等于___________.(2)到定点的距离等于定长的点都___________.
因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是______________________的点的集合. 
活动4:讨论圆中相关元素的定义:
(二)与圆有关的概念:(画图,结合图形说明)
1.弦: ______________________.直径: ______________________.思考:直径是不是弦?弦是不是直径?答: ______________________.
2.弧: ______________________.半圆: ______________________.
由此可知:弧可分为三类,大于半圆的弧叫___________,小于半圆的弧叫___________,还有半圆. 
3.等圆:能够重合的圆.等圆的半径　. 
4.同心圆:圆心相同,半径不同的圆.请你画出来:
5.等弧: ______________________.思考:长度相等的两条弧是否是等弧?为什么?答: ______________________;等弧只能出现在___________或___________中.
三、解决问题
活动5:
1.在现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或其他形状可以吗?
2.判断
(1)直径是弦,弦也是直径.(　　)(2)半圆是弧,弧也是半圆.(　　)(3)同圆的直径是半径的2倍.(　　)
(4)长度相等的弧是等弧.(　　)(5)等弧的长度相等.(　　)(6)过圆心的直线是直径.(　　)(7)直径是圆中最长的弦.(　　)
四、变式训练
活动6:
1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆?说出你的理由.
2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄.如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?
五、反思小结
六、达标测试
一、选择题
1.下列说法中，（1）长度相等的两条弧一定是等弧；（2）半径相等的两个半圆是等弧；（3）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（4）直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线．其中正确说法的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（　　）
A．（0，1） B．（0，-1）C．（ 1，0） D．（-1，0）
2题图 3题图 4题图 6题图
3.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（　　）
A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定
4.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不能确定
二、填空题
5. 在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有______个．
6.将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=_____度．
7.如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为________.
三、解答题
8.若Rt△ABC的三个顶点A、B、C在⊙O上，求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心．
9. 如图，已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且CD= R，试求AC的长．
24.1　圆的有关性质
24.1.2　垂直于弦的直径
学习目标
1.掌握垂径定理及相关结论.
2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.
重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题.
难点：垂径定理及其推论.
学习过程
一、创设问题情境
问题:你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
二、揭示问题规律
活动1:用你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
图1
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?
相等的线段:
相等的弧:
由此可得垂径定理:　. 
请结合图形,写出它的推理形式.∵____________________；∴____________________.
若将问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,
你又能得到结论: 
(图中弦AB是否可为直径?)
请结合图形,写出它的推理形式. ∵____________________；∴____________________.
三、解决问题
活动3:
1.在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.
2.填空
(1)如 图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那么圆心O到弦AB的距离是______________.
(2)如图(2),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长是____________.
(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是_______________.
3.解决求赵州桥拱半径的问题.
四、变式训练
活动4:
1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?
五、反思小结
2.通过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?
六、达标测试
一、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）
A．OE=BE B．弧BC=弧BD C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
1题图 2题图 3题图
2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
3.坐标网格中一段圆弧经过点A、B、C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　）
A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1） D．（2，1）
二、填空题
4.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．BC=8，ED=2，则⊙O的半径为________.
4题图 5题图
5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则△OCE的面积为_______.
6.已知⊙O的半径为5，P为圆内的一点，OP=4，则过点P弦长的最小值是______.
三、解答题
7.如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两点，垂足为H，连接BC、BD．
（1）求证：BC=BD；
（2）已知CD=6，求圆O的半径长．
8.如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
24.1　圆的有关性质
24.1.3　弧、弦、圆心角
学习目标
理解弧、弦、圆心角之间的关系,并运用这些关系解决有关的证明、计算问题.
重点：圆心角、弦、弧、弦心距的关系定理：
难点：正确识别圆心角，圆心角所对的弧，圆心角所对的弦，圆心角所对的弦的弦心距，探索定理和推论及其应用．
学习过程
一、创设问题情境
1.圆是轴对称图形,其对称轴是______________________.圆还是____________对称图形,其对称中心是____________.
2.圆绕____________旋转____________度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性. 
二、揭示问题规律
1.圆心角:顶点在____________的角,叫圆心角.
2.探究:
(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则A________A'B',AB _______A'B'.
(2)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB_______∠A'OB',AB_______A'B'. 
(3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB_______∠A'OB',AB ________A'B'. 
文字语言叙述:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧____________,所对的弦也____________.
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弦____________.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角____________,所对的弧____________.
符号语言:如上图
(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴____________,____________.(2)∵AB=A'B',∴____________,____________; 
(3)∵AB=A'B',∴____________,____________. 
3.反例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗?AB和A'B'相等吗?
三、解决问题
【例1】 如图:在☉O中,弧AB=AC,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
【例2】 如图,AB是☉O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度数.
【例3】 如图,在☉O中,AD=BC,比较AB与CD的大小.,并证明你的结论.
四、变式训练
为建设我们美丽的校园,学校准备把圆形花坛的外沿分成相等的三部分,每部分用不同颜色的花砖砌成,请你用所学知识帮助设计一种施工方案.
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=（　　）
A．150°B．75°C．60°D．15°
1题图 2题图
2.如图：AB是弧AB所对的弦，AB的中垂线CD分别交弧AB于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交弧AB于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交弧AB于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（　　）
A．弧AC=弧CB B．弧EC=弧CG
C．弧AE=弧EC D．EF=GH
3.如图所示，在⊙O中，弧AB＝2弧CD，那么（　　）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD
C．AB=2CD D．无法比较
3题图 4题图 5题图 6题图
4.如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）
A．4 cm B．3 cm C．5 cm D．4cm
二、填空题
5.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于______度．
6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=_______．
三、解答题
7.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
8.已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是弧AB的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．
求证：CD=AE=BF．
9.如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1．请问：P在MN上什么位置时，AP+BP的值最小？并给出AP+BP的最小值．
24.1　圆的有关性质
24.1.4　圆周角
学习目标
1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.
2.初步运用圆周角定理解决相关问题.
3.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.
重点：圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；圆内接四边形的概念及其性质.
难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.
一、创设问题情境
什么叫圆心角?在图1中画出AB所对的圆心角,能画几个?
二、揭示问题规律
(一)圆周角定义：1.定义:________________________________________叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是_____________.
2.在图1中画出弧AB所对的圆周角.能画几个?
(二)探究1:
1.根据圆周角与圆心的位置关系可将圆周角分为几类?
在下图中画出AB所对的圆周角.
2.量出AB所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .
3.尝试证明你的发现.
归纳:圆周角定理: .在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .
思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
(三)探究2:
在图中画出直径AB所对的圆周角,你有什么发现?
归纳:圆周角定理的推论:
（四）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做 ,这个圆叫做这个 . 
问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆,
猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为 . 由此得出圆内接四边形的性质:　 . 
三、解决问题
1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?
2.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C=　　　　,∠D=　　　　. 
3.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D=　　　　. 
五、反思小结
六、达标训练
一、选择题
1.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（　　）
A．30°B．45°C．60°D．70°
1题图 2题图 3题图
2.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．3
3.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（　　）
A．35°B．40°C．50°D．80°
二、填空题
4.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
4题图 5题图
5.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=________度．
三、解答题
6.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
7.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）请你写出四个不同类型的正确结论；
（2）若BE=4，AC=6，求DE．
8.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标
1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.
2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.
重点：点和圆的三种位置关系；
难点：点和圆的三种位置关系及数量间的关系.
学习过程
一、创设问题情境
问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
二、揭示问题规律
1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.
2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.
当点P在圆______________时,d______________r;当点P在圆______________时,d______________r;
当点P在圆______________时,d______________r. 
3.结合画图说明:
设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,
若d>r,则点P在圆______________;若d=r,则点P在圆______________;若d