初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀同步训练题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀同步训练题，共26页。试卷主要包含了下列结论中，错误的有，有下列各组数等内容，欢迎下载使用。


1．下列结论中，错误的有（ ）
①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则∠A＝90°；②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形．
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
3．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互补
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
4．如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（ ）．
A．12米B．13米C．14米D．15米
5．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4B．3C．4.5D．5
8．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．3.0米B．2.9米C．2.8米D．2.7米
9．如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）．
A．B．C．D．
10．如图所示，在距离铁轨的B处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上，后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）
A．B．
C． D．
11．在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= ．
12．有两根木棒，分别长，，要再在的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 ．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是3、5、2、3，则正方形的边长是 ．
14．关于，有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是 ．
15．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为 ．
16．将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是 ．
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转到△ACP′的位置．如果AP=3，那么PP′的长等于 ．

18．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ．
19．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
(1)线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
(2)若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
20．如图，△ABC中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，点C落在边上的D点处，求的长．
21．如图所示，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC，∠B＝60°，求CD的长．
22．如图，四边形中，为对角线，于点，已知，．
(1)请判断的形状并说明理由．
(2)求线段的长．
23．如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，， 于点E，求BE的长．
24．已知，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝15，AD＝12，AC＝13，求△ABC面积．
25．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．
26．如图，在等腰直角三角形中，，D为边上中点，过D点作，交于E，交于F，若，，
(1)求证；
(2)求长．
27．如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E、F同时分别从A、B出发．
（1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？
（2）填空：出发 秒后，△BEF为直角三角形？
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．C
【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2=a2，则∠A=90°，是真命题；
②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10或2，原命题是假命题；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形，是真命题；
④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形，是真命题；
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答．
2．A
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：①32+42=52，三边是整数，同时能构成直角三角形，故为勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不能构成直角三角形，故不为勾股数；
③0.5，1.2，1.3三边不是正整数，故不为勾股数；
④1，，，三边不是正整数，故不为勾股数；
故其中勾股数有1组．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
3．D
【分析】根据勾股定理逆定理解题．
【详解】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、，
∵
∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．B
【分析】设，则，再利用在中 ，列出方程解答即可.
【详解】设，则，
依题意知,
在中，
即 ,
解得,
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是能利用勾股定理正确列出方程．
5．C
【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可．
【详解】解：如图，连接．
在中，∵，
∴，
又∵，
∴是直角三角形，
∴这块地的面积 ．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键．
6．B
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
【详解】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB=m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′=m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
7．A
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
8．B
【分析】根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米，在 中，由勾股定理可得CD=0.6米，从而得到CH=2.9米，即可求解．
【详解】解：如图，根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米，
在 中，由勾股定理得：
米，
∴ 米，
∴卡车的外形高必须低于2.9米．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．B
【分析】先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
，
∴是直角三角形，且，
∴点C到BD的距离为．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的计算是解题的关键．
10．A
【分析】过点B作于点M，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，可得到的长；再利用勾股定理求出的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速．
【详解】解：过点B作于点M，
∴，
∵当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上，后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这列动车的平均车速为．
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
11． 6 8
【分析】由勾股定理可得a和b的关系式，再由a：b=3：4，则a和b的值可求出．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2．
∵a：b=3：4，c=10，
∴a2+（a）2=100，
∴a=6，b=8．
故答案为6，8．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理求a和b的值是解题的关键．
12．13或
【分析】分两种情况：第三根木棒为斜边和第三根木棒为直角边，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：当第三根木棒为斜边时，长度是，符合题意；
当第三根木棒为直角边时，长度是，符合题意；
故答案为：13或．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确分两种情况讨论是解题关键．
13．
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此即可解决问题．
【详解】解：如图记图中两个正方形分别为P、Q．
根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是E的面积，
即A、B、C、D的面积之和为E的面积，
∴正方形E的面积＝3＋5＋2＋3＝13，
∴正方形E的边长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
14．①②③
【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：①
是直角三角形；
②设，则，，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
③
∴是直角三角形；
④时，，
∴是锐角三角形；
故能确定是直角三角形的有①②③．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
15．
【分析】根据勾股定理求出AB，求出BE，根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，根据勾股定理求出BD，再求出答案即可．
【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，
设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝，
即BD＝，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及垂直平分线的性质，熟练运用勾股定理以及熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
16．2cm≤h≤3cm
【详解】解：∵将一根长为15cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时为12cm，
最长时等于杯子斜边长度，即：=13（cm），
∴h的取值范围是：（15-13）≤h≤（15-12），
即2cm≤h≤3cm．
故答案为：2cm≤h≤3cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
17．3
【分析】因为△ACP′是由△ABP旋转得到的，则这两个三角形全等，根据∠BAP+∠PAC=90°所以∠CAP′+∠PAC=90°，可得△PAP′为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．
【详解】由旋转得AP=AP′=3，
∠BAC=∠PAP′，
∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，
即△PAP′为等腰直角三角形，
由勾股定理得PP′=3．
故答案为：3
【点睛】此题主要考查学生对旋转的性质及等腰三角形的性质的掌握情况．
18．10cm
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：如图1所示：
（cm），
如图2所示：
（cm）．
∵10<，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为：10cm．
【点睛】此题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
19．(1)，2
(2)以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AB和CD的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形．
【详解】（1）解：由图可得，
AB==，CD==2，
故答案为：，2；
（2）解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB=，CD=2，EF=，
∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
20．的长是3．
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用折叠的性质得到角、边的大小，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理可知：
∴
由折叠的性质得：，，
设，则，，
∴在中，
∴
解得
∴的长是3．
【点睛】此题考查了勾股定理，翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
21．1
【分析】根据旋转的性质得，由，于是可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，然后利用进行计算．
【详解】解：，∠BAC=90°，
，，
∴BC=2AB，
，
∴，
、，
由旋转的性质知，，
是等边三角形，
，
则．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质．
22．(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判定的形状；
（2）根据的面积不变即可求出线段的长．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
在直角中，，
，
，，
是直角三角形；
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
23．
【分析】连接AD，根据中垂线的性质得DA=，进而得∠ADE=45°，设BE=x，则AB=2x，结合勾股定理，即可求解．
【详解】连接AD，
∵AC的垂直平分线交BC于点D，
∴DA=，
∴∠DAC=，
∴∠ADE=45°，
∵ 于点E，
∴∆ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DA÷=÷=3，
在直角∆ABE中，，
∴∠BAE=30°，
∴设BE=x，则AB=2x，
∴AE==，
∴=3，解得：x=，
∴BE=．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
24．84或24
【详解】试题分析：利用勾股定理列式求出BD、CD，然后分点D在BC上和点D不在BC上两种情况求出BC，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
试题解析：∵AD⊥BC，
∴由勾股定理得，BD==9，
CD==5，
点D在BC上时，BC=BD+CD=9+5=14，
△ABC的面积=×14×12=84，
点D不在BC上时，BC=BD-CD=9-5=4，
△ABC的面积=×4×12=24．
所以，△ABC的面积为24或84．
25．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）判定△ABE≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质可得答案；
（2）先由已知条件求得AB＝BC＝，∠C＝45°，再过点B作BF⊥AC于点F，从而可得△BCF为等腰直角三角形，在Rt△BFD中，由勾股定理求得BD即可．
【详解】解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，
∴∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠C，
∴∠EAB＝∠BAC，
∴AB平分∠EAC；
（2）∵AD＝1，CD＝3，
∴AC＝4．
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝，∠C＝45°，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：
则△BCF为等腰直角三角形，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD＝，
＝，
＝．
∴BD的长等于．
【点睛】本题考查了三角形中的线段、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
26．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据的等腰直角三角形的性质证明就可以得出；
（2）由，就可以求得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵D是中点，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
27．（1）出发5秒后，△BEF为等边三角形；（2）3或7.5
【分析】（1）设时间为x，表示出AE＝2x、BF＝4x、BE＝30﹣2x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BEF＝90°时，即可知∠BFE＝30°，依据BE＝BF列方程求解可得；②∠BFE＝90°时，知∠BEF＝30°，依据BF＝BE列方程求解可得．
【详解】解：（1）出发x秒后，△BEF为等边三角形，则AE＝2x、BF＝4x、BE＝30﹣2x，
∵∠B＝60°，
∴当BE＝BF时，△BEF为等边三角形，
∴30﹣2x＝4x，
解得x＝5，
即出发5秒后，△BEF为等边三角形；
（2）设经过x秒，△BEF是直角三角形，
①当∠BEF＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BFE＝30°，
∴BE＝BF，即30﹣2x＝×4x，
解得：x＝7.5；
②当∠BFE＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝BE，即4x＝×（30﹣2x），
解得：x＝3，
综上所述，经过3秒或7.5秒，△BEF是直角三角形．
故答案为：3或7.5．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键．