2021-2022年山东省潍坊市高一数学上学期期中试卷及答案

这是一份2021-2022年山东省潍坊市高一数学上学期期中试卷及答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（ ）
A．1∈AB．∅⊆AC．∁RA＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A
2．已知a＞b＞0，则（ ）
A．a2＜abB．a+b＜2bC．＞1D．
3．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A．y＝x2与y＝xB．y＝与y＝（）2
C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x
4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*
C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*
5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）
C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0
7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（ ）
A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r
8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称
B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称
C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数
D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2B．C．≥4D．≥4
10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0
B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1
C．方程无实数根的充要条件是m＞1
D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）
C．f（x）的值域为R
D．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值
12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（ ）
A．B．0C．1D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝ ．
14．已知f（x）＝，则f（3）的值为 ．
15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为 .（注：写出一个满足条件的即可）
16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）已知x+x＝3，求的值；
（2）已知，求的值．
18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．
（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁RA；
（2）若____，求实数a的取值范围．
（注：从①A∪B＝A；②B∩∁RA＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）
19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．
（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；
（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）
20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．
（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．
22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．
（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（ ）
A．1∈AB．∅⊆AC．∁RA＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A
选：B．
2．已知a＞b＞0，则（ ）
A．a2＜abB．a+b＜2bC．＞1D．
选：D．
3．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A．y＝x2与y＝xB．y＝与y＝（）2
C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x
选：D．
4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*
C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，
故选：C．
5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
选：B．
6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）
C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0
【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．
解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，
则f（x）在（0，+∞）是减函数，
所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），
故选：C．
7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（ ）
A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r
选：B．
8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称
B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称
C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数
D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数
选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2B．C．≥4D．≥4
选：ACD．
10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0
B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1
C．方程无实数根的充要条件是m＞1
D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
选：AB．
11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）
C．f（x）的值域为R
D．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值
选：AD．
12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（ ）
A．B．0C．1D．
选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝ 1 ．
答案为：1．
14．已知f（x）＝，则f（3）的值为 2 ．
答案为 2．
15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为 b≤3 .（注：写出一个满足条件的即可）
答案为：b≤3，（答案不唯一）
16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为 [2，4] ．
答案为：[2，4]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）已知x+x＝3，求的值；
（2）已知，求的值．
解：（1）∵x+x＝3，
∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，
∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，
∴x2+x﹣2＝47，
又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，
∴x﹣x﹣1＝，
∴＝＝＝＝．
（2）由，得，
∴＝＝．
18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．
（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁RA；
（2）若____，求实数a的取值范围．
（注：从①A∪B＝A；②B∩∁RA＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）
解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}
A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁RA＝{x|﹣1≤x＜1}；
（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，
所以，解得3≤a≤5，
所以a的范围[3，5]；
若选②B∩∁RA＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁RA＝{x|x＜1或x＞7}，
所以，解得3≤a≤5，
所以a的范围[3，5]；
③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，
所以，解得3≤a≤5，
所以a的范围[3，5]；
19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．
（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；
（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）
解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，
则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，
所以定义域为x∈（4，50），
故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，
整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；
（2）因为x+＝20，
当且仅当，即x＝时取等号，
所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，
故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．
20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．
【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，
则f（x）为奇函数，
又f（1）＝，
所以，解得b＝0，a＝9，
所以，
经检验，f（x）为奇函数，
所以；
（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，
即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，
用定义证明如下：
设﹣3≤x1＜x2≤3，
则＝＝，
因为﹣3≤x1＜x2≤3，
所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，
故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，
故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．
（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，
又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，
所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；
（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，
对称轴为x＝，
当≤，即a≤时，
f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；
当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．
综上可得a＝﹣．
22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．
（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．
解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，
又f（x）的最小值为0，则a≠0，
且b2﹣4a＝0②，
由①②解得，a＝1，b＝2，
所以f（x）＝x2+2x+1，
则；
（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，
当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，
故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；
（3）因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＝ax2+1，
则，
因为mn＜0，由于m，n的对称性，
不妨设m＞n，则n＜0，
又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，
所以|m|＞|﹣n|，
所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，
所以F（m）+F（n）能大于零．