2020-2021学年山西省大同市浑源县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年山西省大同市浑源县八年级下学期期中数学试题及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，请选出符合要求的一项）
化简 eq \r(\f(1,3)) 为最简二次根式是（ ）
A． eq \r(3) B．3 eq \r(3) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(1,3)
下列图形中，正方形面积标注验证勾股定理正确的是（ ）
A．B．C．D．
要画一个面积为6cm2的矩形，使它的长宽之比为2：1，则这个长方形的宽为（ ）cm
A．2eq \r(3) B．eq \r(3) C．2eq \r(2) D．eq \r(2)
在中国，勾股定理的叙述最早见于《周髀算经》，该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理，其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。我国古代数学家运用弦图，巧妙地证明了勾股定理，他详细解释了《周髀算经》中勾股定理，这位数学家是（ ）
A．赵爽B．开普勒C．欧几里德D．毕达哥拉斯
下列运算不正确的是（ ）
A． eq \r(3) ×2 eq \r(3) =6B．eq \r(6) ÷eq \r(\f(1,2)) =2 eq \r(3) C．eq \r(8) + eq \r(32) =2 eq \r(10) D． eq \r(54) －eq \r(6) =2eq \r(6)
估计 eq \r(20) －1的值的范围（ ）
A．3.3和3.4之间B．3.4和3.5之间C．3.5和3.6之间D．3.6和3.7之间
如图，已知□ABCD的周长为16，点E为边BC的中点，对角线AC与BD相交于点O ,且AC=3，连接OE，则△OEC的周长为（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
（7题图） （9题图） （10题图）
电流通过导线时会产生热量，满足Q=I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，则电流的值是多少？（ ）
A．2AB．2.5AC．3AD．3.5A
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°点D、E分别是边AB和AC的两点，连接DC和BE，分别取DE，BE，BC，DC的中点F，G，H，I，并依次连接四点所得四边形FGHI是正方形，需满足的条件是（ ）
A．DC=BEB．DC⊥BEC．BD=CED．AB=AC
如图，直线a∥b∥c，且直线a与直线b之间的距离为2，直线b与直线c之间的距离为4，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且顶点A、D、C分别在直线a、b、c，上，则△AOD的面积为（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
若代数式 eq \f(1,\r(x+2)) 在实数范围内有意义，则x的取值范围是.
命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题
，它是命题（填写“真”“假”）.
在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为.
（13题图） （14题图）
如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8，取对角线AC的中点O，过点O作EF⊥AC，交AD、BC于点E和F，点G为CF的中点，连接OG，则OG的长为（ ）
（教材68页）如图，□ABCD中∠BAD=60°，AB=4cm，BC=10cm，点E从B点出发以2cm/秒速度向点C运动，点F从点D出发以3cm/秒的速度向点A运动，连接EF，作线段EF的垂直平分线，交边AD和BC于G、H两点，设点E的运动时间为t（单位：秒，0三、解答题（本大题共8小题，共75分）
计算：（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）（ eq \r(72) － eq \r(12) ）－（ eq \r(8) + eq \r(27) ）
（2） eq \f(\r(3),4) ×2 eq \r(12) ÷ eq \r(2)
（本小题6分）数学综合实践活动课上，要测量旗杆的高度，如图（1），某小组设计方案为：同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，测量绳子多出的部分为2m，然后同学们将绳子拉直如图（2）所示，测量绳子末端离旗杆底部的距离为8m，请你用所学知识帮他们算一算，旗杆的高度是多少米？
图(1) 图（2）
（本小题8分）如图，平行四边形ABCD纸片，一边AD=2cm，将纸片沿对角线BD对折，AB边与CD边相交于点E，此时△BCE恰好为等边三角形，求：
（1）平行四边形另一边AB的长
（2）求重叠部分的面积
（本小题8分）如图，为正方形网格，每个小正方形的边长为1，
（1）请判断图（1）中格点∠BCD是否为直角？并求四边形ABCD的面积
（2）请在图（2）中画出两个不全等的，且以AB为边，三边均为无理数线段的直角三角形.
（图1）（图2）
（本小题7分）阅读材料，并完成下列任务
“共轭二次根式”，定义：形如： eq \r(a) + eq \r(b) 与 eq \r(a) － eq \r(b) （a、b为正有理数）两个根式的积为有理式，称这两个二次根式互为共轭二次根式.
性质：
互为共轭二次根式的两个根式的积为有理式
如：（ eq \r(a) + eq \r(b) ）·（ eq \r(a) － eq \r(b) ）=（ eq \r(a) ）2－（ eq \r(b) ）2=a－b
互为共扼二次根式的两个根式的平方也互为共轭二次根式
如：S=（ eq \r(a) + eq \r(b) ）2=a+b+2 eq \r(ab) ，M=（ eq \r(a) － eq \r(b) ）2=a+b－2 eq \r(ab) 则：S与M互共轭二次根式
互为共扼二次根式的两个根式的平方和为有理式
如：（ eq \r(a) + eq \r(b) ）2+（ eq \r(a) － eq \r(b) ）2=a+b+2 eq \r(ab) +a+b－2 eq \r(ab) =2a+2b
任务一：阅读材料，并补全下列过程
已知：S= eq \r(2) + eq \r(3) + eq \r(5) ，求S的共轭二次根式M，并验证：S·M的结果是否为有理数？
解：令M1= eq \r(2) + eq \r(3) － eq \r(5) 则：
S·M1=（ eq \r(2) + eq \r(3) + eq \r(5) ）×（ eq \r(2) + eq \r(3) － eq \r(5) ）=（ eq \r(2) + eq \r(3) ）2－（ eq \r(5) ）2
=5+2 eq \r(6) －5=2 eq \r(6)
取M2=－2 eq \r(6) ，则M=M1·M2=( eq \r(2) + eq \r(3) － eq \r(5) )×（－2 eq \r(6) ）
……
任务二：已知：x= eq \r(2) +eq \r(3) ，y是x的共轭二次根式，求代数式的值
（本小题10分）如图，点A、F、B、D四个点在同一直线上，AC∥DE，分别过点F和B作BC⊥AC，FE⊥DE，垂足分别为C和E，AF=BD，连接CF，BE
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形
（2）若AC=4，BC=3，当AF=时，四边形BCFE是菱形，请填空并证明
（本小题12分）综合与实践：
问题提出：
如图（1）所示，直线MN始终经过矩形ABCD的顶点B，分别过顶点A和C作AE⊥MN，CF⊥MN，垂足分别为E和F，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，连接OE、OF，
（1）当直线MN经过点D时，求证OE=OF
深入思考：
如图（2）所示，点P为对角线AC上一动点（不与点A和C重合），直线MN经过动点P，点P在运动过程中，
（2）当直线MN与边CD相交时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（图1） （图2） （图3）
操作探究：
（3）如图（3），将矩形ABCD换成边长为5的正方形ABCD，其它条件都不变，画出图形，操作探究当点P在直线AC上运动的过程中，若BE=2EF时，则BE的长为.
（本小题14分）综合与探究：
已知：如图（1）□OABC的顶点O在坐标原点，边CO在x轴上，点C坐标为（4，0），点B的坐标为（－2，2 eq \r(3) ），
（1）求线段BC的长，且判断四边形OABC是什么特殊平行四边形，并说明理由
（2）如图（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，点E与点D关于y轴对称，连接OB、DE，DE与OB交于点F，然后连接CE交OB于点M，请直接写出点D和点E的坐标，并求出OM的长.
（3）在x轴上是否存在一点P，使得以点P、C、D、E四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.x>－212.如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真命题
13.2－eq \r(13) 【答案】：t= eq \f(2,5) 或t= eq \f(14,5)
【解析】：分两种情况讨论：
情况一：GH∥AB
10－（3t+4）=2t+4
解得：t= eq \f(2,5)
情况二：FH∥AB
10－3t=2t－4
解得：t= eq \f(14,5)
综述：t= eq \f(2,5) 或t= eq \f(14,5) 时，GH=AB
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
计算：（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）解：原式=6 eq \r(2) －2 eq \r(3) －2 eq \r(2) －3 eq \r(3) 3分
=4 eq \r(2) －5 eq \r(3) 5分
（2）解：原式= eq \f(\r(12×3),2) × eq \f(1,\r(2)) 3分
=3× eq \f(\r(2),2) 4分
= eq \f(3\r(2),2) 5分
（本小题6分）
解：设，旗杆的高度为AC=x米，则AB=（x+2）m1分
在Rt△ABC中，BC=8m，AB=（x+2）m，由勾股定理，得：
AC2+BC2=AB2
∴4分
解得： x=155分
答：旗杆的高度为15米6分
（本小题8分）
解：（1）∵△BCE是等边三角形
∴BC=CE=BE1分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，BC=AD，AB=CD2分
∴∠ABD=∠EDB
由折叠可知：∠ABD=∠EBD3分
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB，∴ED=EC4分
∴CD=2BC=4cm
∴AB=4cm5分
如图，过点B作BF⊥CD，则EF=FC= eq \f(1,2) EC=16分
在Rt△BCF中，BC=2，FC=1，根据勾股定理，得：
FB= EQ \r(BC2－CF2) = eq \r(3) 7分
由（1）可知：DE=2
∴S△DEB= eq \f(1,2) DE·BF= eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) = eq \r(3) 8分
（本小题8分）
解：（1）方法一： 方法二： 方法三：
方法三：连接BD
根据勾股定理，得：
CD= EQ \r(12+32) = eq \r(10) ，BC= EQ \r(22+62) =2 eq \r(10) ，BD= EQ \r(52+52) =5 eq \r(2) 3分
∵CD2+BC2=( eq \r(10) )2+(2 eq \r(10) )2=50，BD2=(5 eq \r(2) )2=50
∴CD2+BC2=BD24分
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°5分
∴四边形ABCD面积= eq \f(1,2) ×6×5+ eq \f(1,2) × eq \r(10) ×2 eq \r(10) =15+10=256分
如图所示，即为所求三角形（说明：后三个与前三个是全等的直角三角形）
8分
（本小题7分）阅读材料，并完成下列任务
解析：
任务一：M=M1·M2=( eq \r(2) + eq \r(3) － eq \r(5) )×（－2 eq \r(6) ）
= eq \r(2) ×（－2 eq \r(6) ）+ eq \r(3) ×（－2 eq \r(6) ）－ eq \r(5) ×（－2 eq \r(6) ）
=－4 eq \r(3) －6 eq \r(2) +2 eq \r(30) 2分
∴S·M=( eq \r(2) + eq \r(3) + eq \r(5) )×（－4 eq \r(3) －6 eq \r(2) +2 eq \r(30) ）
= eq \r(2) ×（－4 eq \r(3) ）－ eq \r(2) ×6 eq \r(2) + eq \r(2) ×2 eq \r(30) + eq \r(3) ×（－4 eq \r(3) ）－ eq \r(3) ×6 eq \r(2) + eq \r(3) ×2 eq \r(30) + eq \r(5) ×（－4 eq \r(3) ）－ eq \r(5) ×6 eq \r(2) + eq \r(5) ×2 eq \r(30)
=－4eq \r(6) －12+4 eq \r(15) －12－6eq \r(6) +6 eq \r(10) －4 eq \r(15) －6 eq \r(10) +10eq \r(6)
=－244分
任务二：∵x= eq \r(2) +eq \r(3) ，y是x的共轭二次根式，
∴y= eq \r(2) －eq \r(3) 5分
方法一：∴原式
7分
方法二：
原式=
7分
=12+2－3=11
方法三：
原式=
=8－6+9=117分
（本小题10分）
解析：（1）∵AC∥DE，∴∠A=∠D1分
∵BC⊥AC，FE⊥DE
∴∠ACB=∠DEF2分
∵AF=BD
∴AF+BF=BD+BF，即AB=DF3分
∴△ABC≌△DFE（AAS）4分
∴EF=BC，∠BFE=∠ABC
∴EF∥BC
∴四边形BCFE是平行四边形5分
（2）AF= eq \f(7,5) 时，四边形BCFE是菱形，理由如下：6分
过点C作CG⊥AB，7分
由（1）知：四边形BCFE是平行四边形
当BC=CF时，四边形BCFE是菱形
∵BC=CF，CG⊥AB
∴BG=FG
在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
AB= EQ \R(AC2+BC2) = EQ \R(32+42) =58分
∵S△ABC= EQ \f(1,2) AC·BC= EQ \f(1,2) AB·CG
∴CG= eq \f(12,5) 9分
在Rt△BCG中，CG= eq \f(12,5) ，BC=3，由勾股定理得：
AB= EQ \R(BC2－GC2) = EQ \R(32－（ eq \f(12,5) ）2) = eq \f(9,5)
∴AF=AB－2BG=5－2× eq \f(9,5) = eq \f(7,5) 10分
（本小题12分）综合与实践：
解析：
∵O是AC的中点
∴OA=OC1分
∵AE⊥MN，CF⊥MN，
∴∠AEO=∠CFO=90°2分
又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等）
∴△AOE≌△COF（AAS）3分
∴OE=OF4分
延长FO交AE于点G5分
由（1）知：∠AEF=∠CFE=90°，
∴AE∥CF
∴∠OAG=∠OCF6分
又∵∠AOG=∠FOC，OA=OC
∴△AGO≌△CFO（ASA）7分
∴OG=OF8分
∴OE是Rt△EFG斜边GF上的中线
∴OE= eq \f(1,2) GF9分
∴OE=OF10分
（3）如图所示：BE=2 eq \r(5) 或 eq \F(10\r(13),13) 12分
（图1） （图2）
（本小题14分）综合与探究：
解：（1）过点B作BH⊥OC
∵点C坐标为（－4，0），点B的坐标为（－2，2 eq \r(3) ）
∴BH=2 eq \r(3) ，OH=2，OC=41分
∴CH= OC－OH=22分
在Rt△BCH中，BH=2 eq \r(3) ，CH=2，根据勾股定理，得：
BC=eq \r(CH2+BH2) =eq \r(（2 eq \r(3) ）2+22) =43分
∴OC=BC
又∵四边形OABC是平行四边形
∴四边形OABC是菱形4分
（2）点D的坐标为（－3， eq \r(3) ），点E的坐标为（3， eq \r(3) ）
∵点D与点E关于y轴对称
∴DE∥x轴
∴∠E=∠OCE，∠EFM=∠COM6分
过点F作FN⊥OC，点F的纵坐标为 eq \r(3) ，即FN= eq \r(3)
在Rt△BOH中，BH=2 eq \r(3) ，OH=2，根据勾股定理，得：
BO=eq \r(OH2+BH2) =eq \r(（2 eq \r(3) ）2+22) =4
∴OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形
∴∠BOC=60°，∴∠OFN=30°
∴点F的坐标为（1， eq \r(3) ）
∴OF= eq \r(12+(\r(3))2) =2
∴EF=1－（－3）=47分
∴EF=OC
∴△EFM≌△COM8分
∴OM=MF9分
∴OM=eq \f(1,2) OF=110分
（3）点P的坐标为（－10，0）或（2，0）14分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
B
B
A
C
A