黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了“”是“”的条件，函数的最大值是等内容，欢迎下载使用。

高三数学试卷
出题人：刘文文、郭丹丹 审题人：谢宏霞
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题（60分）
单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有有一项符合题目要求）
1.“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3.函数的最大值是（ ）
A．B．1C．5D．
4．已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A．B．
C． D．
6．我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：）
A．2452年B．2750年C．3150年D．3856年
7．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的所有零点的乘积为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分，在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分）
9．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．
B．是图象的一个对称中心
C．当时，取得最大值
D．函数在区间上单调递增
10．在中，角所对的边为， 则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
11．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C．D．
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
三、填空题:（本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分）
13．若是奇函数，则 .
14．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
15．已知，满足，则的最大值为 ．
16．已知平面向量满足，则以为直径长的圆的面积的最大值为 .
四、解答题:（本题共 6 小题，第17题，10分，第18-22题，每小题 12 分,共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.）
17．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知向量,,实数为大于零的常数，函数,,且函数的最大值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若，,且,,求的值.
19．中，内角、、的对边分别为、、，．
(1)若，．求证：；
(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．
20．已知函数在处的切线与y轴垂直.（其中是自然对数的底数）
(1)求实数的值；
(2)设，，当时，求证：函数在的图象恒在函数的图象的上方.
21．从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，求的最大值.
22．已知函数，，为函数的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】可采用假设法证明，若能找出一个反例，则证明推导过程不成立
【详解】由可得，当“”时，即，一定能推出“”，所以 “”是“”的充分条件
反过来，若，比如推不出，所以“”是“”的充分不必要条件
答案选A
C
【分析】根据指数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由，可得，解得，所以，
又由，可得，解得，所以，
所以.
故选：C.
3．D
【分析】将函数等价变换为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】解：，，
则（当且仅当，即时，取等号），
即当时，取得最大值.
故选：D.
4．B
【分析】根据投影向量的公式可求投影向量.
【详解】由题意知，所以向量在向量上的投影向量为:
.
故选:B.
5．C
【分析】根据函数奇偶性和单调性，结合已知条件，即可容易求得结果.
【详解】为奇，内为增，，
则时为和异号，
当时，解得；当时，解得
解集为，
故选：C.
6．C
【分析】根据对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知，两边取对数得，
故选：C
7．C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.
【详解】设，
对任意，，
所以，
所以的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定义域为，
又，
所以函数为奇函数，排除BD选项，
当时，是减函数，
则，，
所以，排除A选项.
故选：C
8．C
【分析】将函数零点问题转化为两函数图象的交点问题.
【详解】由可得，设函数的图象交点的横坐标为，画出两函数图象如图，则，
因为函数在上递减，所以且，即，
所以，即，
故选：C.

9．BD
【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
则，A错；
对于B选项，，则是图象的一个对称中心，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，当时，，
所以，函数在区间上单调递增，D对.
故选：BD.
10．BCD
【分析】根据余弦定理可判断A；根据正弦定理可判断B、C；根据三角形中大角对大边可判断D.
【详解】对于A，在中，有成立，A错误；
对于B，由正弦定理知，(R为外接圆半径)，
故，B正确；
对于C，在中，，
由正弦定理得，故，C正确；
对于D，根据三角形中大角对大边可知若， 则，D正确，
故选：BCD
11．AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
12．BCD
【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.
【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】利用给定的分段函数，结合奇函数的定义求解作答.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
14．
【分析】不等式的解集为可以确定的正负以及的关系，从而可得的解.
【详解】不等式的解集为，故且，
故可化为即，
它的解为，填.
15．
【分析】根据两角和的正切公式得将其看成关于的一元二次方程，根据判别式即可求解.
【详解】，
又，∴方程①有两正根，．
的最大值是．
故答案为：
16．
【分析】作出相关向量后用解三角形的知识求解.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以与的夹角大小为，
如图，作，
连接，则，所以，
又，所以四点共圆，
故当为圆的直径时，最大.
此时，
在Rt中，.
在中，，
所以，即，
所以，
整理得，
所以.
所以，即的最大值为.
所以以为直径的圆的面积的最大值为.

故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意列出方程求得，即可求得等差数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合等差、等比数列的前和公式，即可求解.
（1）
解：设等差数列公差为，
因为，且成等比数列，可得，
解得或（舍去），
所以数列的通项公式为.
（2）
解：由，可得，
根据等差、等比数列的前和公式，可得：
.
18．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到，再利用二倍角公式及配角公式将化成的形式，再利用最值求值；（2）先求出角，再利用余弦定理求出的值，最后利用平面向量的数量积进行求解.
试题解析：（Ⅰ）由已知
5分
因为，所以的最大值为，则 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以
化简得
因为，所以
则，解得 8分
所以
化简得，则 10分
所以 12分
考点：1.平面向量的数量积运算；2.三角函数恒等变形；3.余弦定理.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可证得结论成立；
（2）由三角形的面积公式可求得的值，分析可知，利用平面向量的数量积运算可得出，利用基本不等式可求得长的最小值.
【详解】（1）证明：，，，
由余弦定理可得，．
.
（2）解：由可得．
为边的中点，则，
，
所以，
，即，
当且仅当时，等号成立，故长的最小值为.
20．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合题意，建立方程，可得答案；
（2）将问题转化为不等式恒成立问题，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.
【详解】（1）由，求导可得，
则在处切线斜率为，
由在处的切线与轴垂直，则，解得.
（2）要证：函数在的图象恒在函数的图象的上方，
只需证：在恒成立，
不等式，由，，则，化简为，
令，求导可得，
令，则，令，解得，
，由，则，
所以在单调递增，则，
故在恒成立.
21．(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到，由角的范围可求得；
若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得，由角的范围可求得；
（2）由，平方后可用表示出，结合基本不等式可求得最大值.
【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：，
，
，，，
即，，
又，，，解得：；
若选条件②：，
，，
，，，解得：.
（2）
，，
即，
（当且仅当时取等号），
的最大值为.
22．(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）由题意得，令，则，分类讨论，，即可得出答案；
（2）由（1）得，题意转化为方程在上有实根，令，则，分类讨论，，，即可得出答案．
【详解】（1），令，则
当时，，函数在上单调递增；
当时，，得，，得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根.
令，则
当时，，函数在上单调递增，，不合题意；
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，，不合题意；
当时，，得，，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，所以
综上所述，的取值范围为
最小值