湖北省部分高中2023-2024学年高二上学期9月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省部分高中2023-2024学年高二上学期9月联考数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知直线,,,若且,则的值为( )
A.-10B.10C.-2D.2
2、“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某市居民,他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10,则这组数据的第80百分位数是( )
A. 7.5B. 8C. 8.5D.9
3、已知三棱锥中,点M为棱OA的中点,点G为的重心,设,,,则向量( )
A.B.C.D.
4、从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球,事件“至少有1个红球”,事件“至多有1个白球”,则( )
A.B.
C.D.
5、数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为,,,则的欧拉线方程为( )
A.B.
C.D.
6、一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体容器,则水面在容器中形成的所有可能的形状是( )
①三角形
②非正方形的菱形
③五边形
④正方形
⑤正六边形
A. ②④B. ③④⑤C. ②④⑤D. ①②③④⑤
7、定义空间两个向量的一种运算,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A.
B.
C.
D.若,,则
8、八卦文化是中华文化的精髓,襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1）,其轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆O（图2）,其中正八边形的中心是点O,鱼眼（黑白两点）P,Q是圆O半径的中点,且关于点O对称,若,圆O的半径为6,当太极图转动（即圆面O及其内部点绕点O转动）时,的最小值为( )
A.-39B.-48C.-57D.-60
二、多项选择题
9、下列说法正确的有( )
A.若直线经过第一、二、四象限,则在第二象限.
B.直线不过定点.
C.过点,且斜率为的直线的点斜式方程为.
D.斜率为-2,且在y轴上的截距为3的直线方程为.
10、在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则( )
A.B.
C.周长的最大值为3D.的最大值为
11、一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4,连续抛掷这个正四面体木块两次,记事件A为“第一次向下的数字为2或3”,事件B为“两次向下的数字之和为奇数”,事件C为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”,则下列结论正确的是( )
A.事件A与事件B相互独立
B.事件A与事件B互斥
C.
D.
12、如图,在正方体中,,点M在正方体内部及表面上运动,下列说法正确的是( )
A.若M为棱的中点,则直线平面BDM
B.若M在线段上运动,则的最小值为
C.当M与重合时,以M为球心,为半径的球与侧面的交线长为
D.若M在线段上运动,则M到直线的最短距离为
三、填空题
13、已知直线l的一方向向量为.则直线l的倾斜角为___________.
14、已知,,若,,三向量共面,则实数=__________.
15、某校高二年级有男生400人和女生600人,为分析期末物理调研测试成绩,按照男女比例通过分层随机抽样方法取到一个样本,样本中男生的平均成绩为80分,方差为10,女生的平均成绩为60分,方差为20,由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为_____________.
16、《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥”,现有阳马（如图）,平面ABCD,,,点E,F分别在AB,BC上,当空间四边形PEFD的周长最小时,三棱锥外接球的表面积为____________.

四、解答题
17、回答下列问题
（1）求经过点,且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
（2）己知的顶点,AB边上的中线CM所在的直线方程为,AC边上的高BH所在直线方程为,求直线BC的方程；
18、在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边, ．
（1）求A；
（2）若D是线段BC的中点,且,,求的面积．
19、已知函数,集合,若分别从集合P,Q中随机抽取一个数a和b,构成数对．
（1）记事件A为“函数的单调递增区间为”,求事件A的概率；
（2）记事件B为“方程有4个根”,求事件B的概率．
20、如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD为等腰直角三角形,且,点F为棱PC上的点,平面ADF与棱PB交于点E．
（1）求证：；
（2）若,,求证：平面平面ABCD．
21、“难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小,“难度系数”的计算公式为,其中L为难度系数,Y为样本平均失分,W为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分）,用于对该校高二年级480名学生进行每周测试,测试前根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示：
测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下：
（1）根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；
（2）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差,设为第i套试卷的实测难度系数,并定义统计量, 若,则认为试卷的难度系数预估合理,否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分,试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．
（3）聪聪与明明是学习上的好伙伴,两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”,规则如下：双方轮换选题,每人每次只选1道题,先正确解答者记1分,否则计0分,先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中,聪聪选题时聪聪得分的概率为,明明选题时聪聪得分的概率为,各题的结果相互独立,二人约定从0:0计分并由聪聪先选题,求聪聪3:1获胜的概率 .
22、如图,菱形ABCD的边长为2,,E为AB的中点．将沿DE折起,使A到达,连接,,得到四棱锥．
（1）证明：；
（2）当二面角的平面角在内变化时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
1、答案：C
解析：由题意,,,,
所以．
故选：C．
2、答案：C
解析：由题意,这10个人的幸福指数已经从小到大排列,
因,
所以这10个人的分位数为.
故选：C.
3、答案：A
解析：由题意知,,
则,
故选：A.
4、答案：B
解析：记2个红球分别为a,b,4个白球分别为A,B,C,D,
则从袋子中任意摸出2个球的所有情况为：ab,aA,aB,aC,aD,
bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15种,
其中事件“至少有1个红球”包括：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共9种,
事件“至多有1个白球”包括：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共9种,
故,
,
故选：B.
5、答案：A
解析：由题可知,的重心为,
可得直线AB的斜率为,则AB边上高所在的直线斜率为-1,
则方程为,即,
直线AC的斜率为,则AC边上高所在的直线斜率为,
则方程为,即,
联立方程,解得,即的垂心为,
则直线GH斜率为,则可得直线GH方程为,
故的欧拉线方程为.
故选：A.
6、答案：C
解析：因为正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心,
过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面,其截面形状为菱形,且不为正方形,所以②是正确的；
过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面,得截面形状为正方形,所以④是正确的；
过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面,得截面形状为正六边形,所以⑤是正确的；
过正方体的中心的平面截正方体得到的截面,且该截面将正方体的体积平分,显然截面不能是三角形和五边形；
故选：C.
7、答案：D
解析：A．,
时,,,
时,,成立,
时,,,
综上,A不恒成立；
B．是一个实数,无意义,B不成立；
C．若,,,则,
,,
,
,
,C错误；
D．若,,则,,
,
,
所以,成立．
故选：D．
8、答案：C
解析：由题意,点P,Q是圆O半径的中点,且关于点O对称,设P,Q的位置,如图所示,
在八卦图中,知,
又由,,
则由
,
当八卦图转动（即圆面O及其内部点绕O转动）时,,
当时,取得最小值,最小值为.
故选：C.
9、答案：AC
解析：对于A项,若直线经过第一、二、四象限,则,即在第二象限正确；
对于B项,直线方程可化为,易知时,故该直线过定点,B错误；
对于C项,由点斜式方程的定义可知其正确；
对于D项,由斜截式方程的定义可知斜率为-2,且在y轴上的截距为3的直线方程为,即D错误.
故选：AC.
10、答案：BCD
解析：对于A,因为,所以由正弦定理得,所以,所以A错误.
对于B,因为,所以由正弦定理得,所以,所以B正确.
对于C,根据余弦定理得,所以,即,所以,所以,当且仅当时,等号成立,所以,所以C正确.
对于D,由选项C可知,所以,则,当且仅当时,等号成立. ,所以D正确.
故选：BCD.
11、答案：ACD
解析：由题意可知：第一次向下的数字为1,2,3,4,共4个基本事件,则,
设为连续抛掷这个正四面体木块两次向下的数字组合,其中a为第一次向下的数字,b为第二次向下的数字,
则有,,,,,,,,,,,,,,,
共16个基本事件,
可知事件B包含,共8个基本事件,则,
事件AB包含,,,共4个基本事件,则,
可知,
所以事件A与事件B相互独立,且事件A与事件B不互斥,故A正确,B错误；
因为,故C正确；
事件C等价于为“两次向下的数字之和小于等于5”,
包含,,,,,,,,,共10个基本事件,
则,故D正确；
故选：ACD.
12、答案：AC
解析：对于选项A：作AC,BD交点O,连接OM,
因为O为AC中点,M为棱的中点,则,
且平面BDM,平面BDM,所以平面BDM,故A正确；

对于选项B：展开与到同一平面上如图：

可知,故B错误；
对于选项C：M与重合时,在侧面上的射影为,
故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆）,且圆半径,
故圆弧长,故C正确；
对于选项D：取BD的中点O,则,
因为平面ABCD,平面ABCD,则,
且,BD,平面,所以平面,
由平面,则,
又因为,则,所以直线与直线的距离为OC,
当M为中点,E为中点时,
则,且,且,且,
可得,且,可知OCEM为平行四边形,
则,且,
所以ME为M到直线最短距离,选项D错误.

故选：AC.
13、答案：
解析：因为直线l的一方向向量为,
所以直线l的斜率为,,
设直线l的倾斜角,则,
所以,即.
故答案为：.
14、答案：-1
解析：由题意可知,存在实数m,n满足：,
据此可得方程组：,求解方程组可得：.
故答案为-1．
15、答案：112
解析：由,不妨设样本由男生2人和女生3人组成.由题设：
,,解得,；
,
解得,；
所以样本的平均分,样本的方差.
故答案为：112.
16、答案：
解析：如图所示,把AP,AB剪开,使得与矩形ABCD在同一个平面内.
延长DC到M,使得,则四点,E,F,M在同一条直线上时,取得最小值,即空间四边形PEFD的周长取得最小值.
在中,C是MD的中点,又,得,.
设的外心为,外接圆的半径为r,由得,
,则,即.

设三棱锥外接球的半径为R,球心为O,连接,则,
则.
所以三棱锥外接球的表面积等于.
故答案为：.
17、答案：（1）；
（2）
解析：（1）设直线在x,y轴上的截距分别为a,b,
当时,直线经过原点,则直线斜率,
直线方程为,即；
当时,可设直线方程为,则,
直线方程为；
（2）由题意知：点B在直线上,则可设,
AB中点为,
,解得：,
,
,
直线AC方程为：,即,
由得：,即；
直线BC的方程为：,即；
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
根据正弦定理边角互化得,
整理得,即,
因为,则,
可得,且,所以.
（2）如图,取AC中点E,连接DE,
因为D是线段BC的中点,所以,
又因为,,,
在中,,,
由余弦定理,即,
整理得,解得或（舍去）,
可得,
所以的面积为；
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题知,所以,数对的可能取值为：
,,,,,,,
,,,,,,,共16对．
若函数的单调递增区间为,则函数的对称轴为,即
所以,满足条件的基本事件有：,,,共4对,
所以,事件A的概率为
（2）因为,二次函数开口向上,
所以,方程有4个根,即和各有2个根,
所以,二次函数的最小值小于-2．
所以,即,
满足条件的基本事件有：,,,,,,,,,,共11对,
所以,事件B的概率．
20、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为底面ABCD是正方形,所以,
平面PBC,平面PBC,所以平面PBC,
又因为平面ADF与交于点E,平面ADFE,
平面平面, 所以．
（2）侧面PAD为等腰直角三角形,且,即,,
因为,,且两直线在平面PAB内,可得平面PAB,
因为平面PAB,则．
又因为,,且两直线在平面ADFE内,
则平面ADFE,
因为平面ADFE,则,
因为,所以为等腰三角形,所以点E为PB的中点.
又因为,所以为等腰直角三角形,
因为,,,AD,平面ABCD,
所以平面ABCD,因为平面APD,所以面平面ABCD.
21、答案：（1）96分；
（2）预估合理
（3）
解析：（1）由题意,
由试卷2的难度系数,
解得平均失分：,
∴这480名学生第2套试卷的平均分为分；
（2）由题意及（1）得,
,,,
,,
则
,
这5套试卷难度系数的预估合理
（3）由题意及（1）（2）得,
聪聪先答对第一题：
聪聪没先答对第一题：
聪聪获胜的概率聪聪获胜的概率：
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意证明如下,
在菱形ABCD中,E为AB的中点,,
,
在翻折过程中,恒有,,
又,,平面,
平面,
而平面,
（2）由题意及（1）得,
为二面角的平面角,记其为,则,
以的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,

则,,,,
, ,
设平面的法向量,则,得
令,得,,
则,
令,,得
,
当且仅当时,等号成立,
设直线与平面所成角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为,
当时,,
当时,
,直线与平面所成角的正弦值的范围为.
试卷序号i
1
2
3
4
5
考前预估难度系数
0.7
0.64
0.6
0.6
0.55
试卷序号i
1
2
3
4
5
平均分/分
102
99
93
93
87