珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、在正方体中,( )
A.B.C.D.
2、已知向量,,且,则实数( )
A.-2B.2C.3D.-3
3、某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动,已知该校高一年级有学生1100人,高二年级有学生1000人,高三年级有学生900人．现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查,则抽取的高二年级学生人数为( )
A.18B.20C.22D.30
4、已知,,则等于( )
A.B.C.D.
5、新高考按照“3+1+2”模式设置,其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目,“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目,“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目,则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是( )
A.B.C.D.
6、已知三棱锥,点M,N分别为AB,OC的中点,且,,,用,,表示,则等于( )
A.B.
C.D.
7、一个公司有8名员工,其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600,另两位员工的月工资数据不清楚,那么8位员工月工资的中位数不可能是( )
A.6800B.7000C.7200D.7400
8、正方体的棱长为2,若动点P在线段上运动,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知空间向量,则下列说法正确的是( )
A.
B.向量与向量共线
C.向量关于x轴对称的向量为
D.向量关于yOz平面对称的向量为
10、给出下列命题,其中正确的命题是( )
A.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则直线
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线
D.已知向量,则在上的投影向量为
11、从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛,记事件A为“三名学生都是女生”,事件B为“三名学生都是男生”,事件C为“三名学生至少有一名是男生”,事件D为“三名学生不都是女生”,则以下正确的是( )
A.B.事件A与事件B互斥
C.D.事件A与事件C对立
12、为了养成良好的运动习惯,某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）,分别为53,57,45,61,79,49,x,若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3,则x的值可能为( )
A.58B.59C.62D.64
三、填空题
13、已知,,若,则___________．
14、在已知四面体OABC中,已知OA,OB,OC两两垂直,且,,,若G是的重心,则___________．
15、社会实践课上,老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务,已知两人能完成该项任务的概率分别为,则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为_________．
16、已知,,是空间单位向量,,若空间向量满足,,则最大值是_______.
四、解答题
17、从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.
（1）请写出该试验的样本空间;
（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;
（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.
18、已知四棱锥中,底面ABCD为矩形,且,,若平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点．
（1）证明：；
（2）在线段PA上是否存在点G,使得平面PFD？若存在,确定点G的位置：若不存在,说明理由；
19、现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
购买基金：
（1）当时,求q的值；
（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围．
20、俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题,某网站为此进行了调查,现从参与者中随机选出100人作为样本,并将这100人按年龄分组：第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求样本中数据落在的频率；
（2）求样本数据的第50百分位数；
（3）若将频率视为概率,现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行座谈,求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.
参考答案
1、答案：C
解析：,
,
故选：C．
2、答案：B
解析：由向量,,
因为,可得,解得.
故选：B.
3、答案：B
解析：由分层抽样的定义可知,从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查,
则抽取高二年级的学生人数为.
故选：B.
4、答案：A
解析：,.
故选：A.
5、答案：B
解析：根据题意,从物理、历史中选择1门,从化学、生物、政治、地理选择2门,
所有的可能有如下12种；
物理,化学,生物；物理,化学,政治；物理,化学,地理；物理,生物,政治；
物理,生物,地理；物理,政治,地理；
历史,化学,生物；历史,化学,政治；历史,化学,地理；历史,生物,政治；
历史,生物,地理；历史,政治,地理；
学生甲选择科目中包含物理和生物,则有如下3种；
物理,化学,生物；物理,生物,政治；物理,生物,地理.
故满足题意的概率.
故选：B.
6、答案：D
解析：因为,,,
所以.
故选：D.
7、答案：D
解析：一个公司有8名员工,其中6名员工的月工资分别为6200,6300,6500,7100,7500,7600,
当另外两名员工的工资都小于6300时,中位数为,
当另外两名员工的工资都大于7500时,中位数为,
8位员工月工资的中位数的取值区间为,
8位员工月工资的中位数不可能是7400.
故选：D.
8、答案：A
解析：以D为原点,以,,所在的直线为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,则,,,,,
可得,,,
因为点P在线段上运动,设,且,
所以,可得,
又因为,所以,即.
故选：A．
9、答案：ABC
解析：A：因为,所以本选项说法正确；
B：因为,所以向量与向量共线,因此本选项说法正确；
C：设的起点为坐标原点,所以该向量的终点为,
因为点关于x轴对称的点的坐标为,
所以向量关于x轴对称的向量为,因此本选项说法正确；
D：设的起点为坐标原点,所以该向量的终点为,
因为点关于yOz平面对称点的坐标为,
所以向量关于yOz平面对称的向量为,
故选：ABC.
10、答案：CD
解析：对于A项,由已知可得,所以或,故A项错误；
对于B项,因为,所以P,A,B,C四点不共面,故B项错误；
对于C项,根据空间向量基底的概念,可知C项正确；
对于D项,因为,,
所以,在上的投影向量为,故D项正确.
故选：CD.
11、答案：ABD
解析：由所抽学生为女生的概率均为,则,A正确；
A,B两事件不可能同时发生,为互斥事件,B正确；
C事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生,其对立事件为A,D正确；
D事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生,与C事件含义相同,故,C错误；
故选：ABD.
12、答案：AD
解析：将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79．
若,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57,
他们的差为4,不符合条件；
若,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61,
它们的差为18,不符合条件；
若,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x）,
则,解得或
故选：AD.
13、答案：1
解析：由向量,,
因为,可得,解得.
故答案为：1.
14、答案：
解析：如图所示,取BC的中点D,根据三角形重心的性质,可得,
根据向量的运算法则,可得 ,
所以
,所以,即.
故答案为：.
15、答案：
解析：由题意知,两人能完成该项任务的概率分别为,,且两人是否完成任务是相互独立的,
可得两人都未完成任务的概率为,
则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为.
故答案为：.
16、答案：
解析：依题意,,是空间单位向量,
且,
,,
,
,
当且仅当时等号成立,
所以,
所以.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题知,样本空间为;
（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M得结果数有4个,
故;
（3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N得结果数有3个,
故.
18、答案：(1)见解析
（2）存在,
解析：（1）证明：连接AF,则,,
,,,
平面ABCD,,,平面PAF,
平面PAF,；
（2）过点E作,交AD于点H,则平面PFD,且．
再过点H作交PA于点G,则平面PFD且,
平面平面PFD．平面GEH,平面PFD．
存在点G满足,使得平面PFD．
19、答案：（1）
（2）
解析：（1） “购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,．
又,．
（2）记事件A为“甲投资股市且获利”,事件B为“乙购买基金且获利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”,则,且A,B相互独立．
由题意可知,．
．
,．
又,,．
．
20、答案：（1）0.4
（2）52.5
（3）
解析：（1）由频率分布直方图可得：组距为10,所以：,
得：,故样本中数据落在的频率为：.
（2）设第50百分位数为x,易得x位于50和60之间,
则有：
解得：.
（3）分组人数为：人；
分组人数为：人,
利用分层抽样的方法易得：分组抽人,
分组抽人,
从这6人中随机抽取2人进行座谈,抽取的2人中至少有1人的年龄在分组,即：
2人中有1人的年龄在分组,另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组,
故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：.
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p