重庆实验外国语学校2024届高三上学期10月月考数学试题

这是一份重庆实验外国语学校2024届高三上学期10月月考数学试题，文件包含Unit2ColoursPALetstalk课件-2023-2024学年小学英语三年级上册人教PEP版pptx、1wav、2wav、3wav、ALetstalkmp3、闹铃mp3、鸡鸣wav、Goodmorningmp4、Letstalkmp4等9份课件配套教学资源，其中PPT共27页， 欢迎下载使用。
数学试题
（满分150分，120分钟完成）
命题人 宋友威 审题人 数学备课组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数模的运算及除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，所以，
复数z在复平面上对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出集合B中的不等式，得到集合B，再进行补集和交集的运算.
【详解】由，解得，则有，，
所以.
故选：C
3. 在中，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为余弦函数在上单调递减，
在中，、，则，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 若向量在向量上的投影向量为，且，则数量积（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量求出与的关系，即可求出数量积的值.
【详解】由题意，设的夹角为，，
因为向量在向量上的投影向量为：，
所以，
则
故选：C.
5. 三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献，托勒密的《天文学大成》中有一张弦表，被认为是最早的正弦表．据书中记载，为了度量圆弧与弦长，托勒密采用了巴比伦人的60进位法，把圆周360等分，把圆的半径60等分，即用半径的作为单位来度量弦长，其中圆心角所对应的弦长表示为．建立了半径与圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对应的弦长，比如角所对的弦长正好是正六边形外接圆的半径，则角所对应的弦长为60个单位，即，由此可知，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到角所对应的弦长为正八边形的边长，结合余弦定理，即可求解.
【详解】由题意，可得角所对应的弦长为正八边形的边长，
设正八边形的外接圆半径为，
由余弦定理，，
所以．
故选：B．
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及在轴右侧的第一个零点与1的距离关系分析判断.
【详解】由图可知，是奇函数，在轴右侧的第一个零点与1的距离小于1.
对于A，的定义域为，
，
则为偶函数，故A不符合；
对于B，的定义域为，
，则为奇函数，
在轴右侧的第一个零点是，而，故B不符合；
对于C，的定义域为，
，则为奇函数，
在轴右侧的第一个零点是，且，故C符合；
对于D，的定义域为，
，
则为偶函数，故D不符合.
故选：C.
7. 已知数列的前项和为，若，，则有（ ）
A. 为等差数列B. 为等比数列
C. 为等差数列D. 为等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据，得到即可判断CD选项.
【详解】由题意，数列的前项和满足，
当时，，两式相减，可得，
可得，即，又由，当时，，所以，
所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错.
当时，，又由时，，适合上式，
所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错.
故选：D.
8. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，，为的导函数，且，若当时，的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数平移变换原则可得，结合可求得；利用整体代换的方式，结合余弦型函数的值域可求得结果.
【详解】，，
，，
，，又，，
；
当时，，
，，解得：.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A. 与的夹角为钝角
B. 向量在方向上的投影为
C.
D. 的最大值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】通过求出，向量在方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.
【详解】由题意，均为正数，
，
A项，
∵，
∴与的夹角不为钝角，A错误；
B项，
∵，
∴向量在方向上的投影为，B错误；
C项，
∵，，
∴，即，C正确；
D项，
∵，即，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为2，D正确；
故选：CD.
10. （多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 函数的周期是
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上单调递减
D. 该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到
【答案】AC
【解析】
【分析】观察图象可得函数的最小值，周期，且，由此可求函数解析式，根据三角函数对称性、单调递减区间和左右平移知识即可一一判断．
【详解】观察图象可得函数，，的最小值为，故
设函数的最小正周期为，由图象知，
则，故，故A正确；
由可得，又，
所以，
所以，
因为，故B错误；
由，可得，，
所以的单调递减区间为，
取知，函数在上单调递减，
，故C正确；
的图像向左平移个单位后得到，故D错误．
故选：AC．
11. 若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接代入递推公式求得，可知A正确；根据递推式求，构造数列为常数列，求得数列的通项，得，B正确；代入等差数列求和公式可得，C错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D正确.
【详解】，故A正确；
由知，，
两式相减得，
故，故当时，为常数列，
故，故，故，故B正确；
，故C错误；
，
故，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数的定义域为R，且，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B. 当时，
C.
D. 若，则恰有4个不同的零点
【答案】AC
【解析】
【分析】由对称性判断A，利用对称性求得值后，结合已知等式求得时的函数表达式判断B，由已知确定函数的周期性，然后计算函数值的和判断C，作出两函数与的图象，由图象确定交点个数（注意在处需要结合导数的几何意义判断交点个数），判断D．
【详解】因为，所以的图象关于中心对称，从而的图象关于原点对称，故A正确；
因为的图象关于中心对称，所以，解得．
所以当时，，因为，
所以，因为，所以，所以，即．
当时，，所以，故B错误；
因为，所以，所以的周期为8，
又，，，，，，，，
所以故C正确；
令，即，画出与的图象，
如图所示：

因为，
时，，，，由周期性知，
，则，，
即，时，的切线斜率大于的切线斜率，
所以两函数图象在区间上除了有公共点外，在区间上还有一个公共点，
因此两函数图象共有5个交点，所以恰有5个不同的零点，故D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在高考志愿模拟填报实验中，共有10个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率.
【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为，
填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为，
由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为．
故答案为：
14. 已知​，则​__________．
【答案】##0.28
【解析】
【分析】求出的值，即可计算出.
【详解】由题意， ，
，
解得： ，
∴，
，
故答案为：.
15. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得C点的仰角，从A点测得M点的仰角，从C点测得M点的仰角为.已知山高（百米），，，则山高___________（百米）.

【答案】5
【解析】
【分析】过作于，则，，由，设，，然后由已知可得，再在中利用余弦定理列方程可求出，从而可求出.
【详解】过作于，
因为平面，平面，所以‖，
因为平面，平面，所以，
因为，所以‖，所以四边形为矩形，
所以，，
因为，所以,
令，则，，
因为从A点测得C点的仰角，从A点测得M点的仰角，
所以和均为等腰直角三角形，
所以，
在中，，，
则由余弦定理得，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，
即山高为5百米，
故答案为：5

16. 已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，分析可得的取值范围，由求出，则有，构造函数，利用导数可求出其最值，从而可得答案.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
由于无穷等差数列中的各项均大于0，
则，由于，则，
解得或（舍去），
所以，
因为，所以，
令，
则，由，得，得，解得或（舍去）.
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以，即的范围为.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在递增的等比数列中，，，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答.
（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.
【小问1详解】
由，等比数列是递增数列，得，
因此数列的公比，则，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）得，，
.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角C；
（2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和消去角A，求角C；
（2）先利用向量运算及三角形面积公式得到边a，b的关系，再利用余弦定理求边c.
小问1详解】
由得
，
，
因为
所以.
【小问2详解】
由已知得，
所以 ，

所以，
所以，
因为的面积为，所以，
即，，
由余弦定理得
，
所以.
19. 已知数列{}中，，且.其中，
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设，求数列{}的前n项和.
【答案】（1），；
（2），.
【解析】
【分析】（1）法一：由题设得，累加法得，即得通项公式；法二：由题设得，递推至第一项，即得通项公式；
（2）由（1）得，进而有，最后应用错位相减法及等比数列前n项和公式求.
【小问1详解】
（法一）由題意知，，则，
累加得：且，又，故，
而符合上式，故.
（法二）由题意知，则，
所以则.
【小问2详解】
由（1），故，
于是，
则，
相减得：，
故.
20. 近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）
（2）请将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数；
②参考数据：；
③卡方临界值表：
其中，.
【答案】（1）0.96，y与x之间的线性相关性较强
（2）表格见解析，认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于0.05.
【解析】
【分析】（1）根据公式计算相关系数，进而判断相关性强弱；
（2）完成联表，根据公式计算，结合临界值表判断是否有关.
【小问1详解】
由表格知：，，
所以，
，
，
由上，有，
所以与之间的线性相关性较强；
【小问2详解】
依题意，完善表格如下：
则的观测值，
根据小概率值的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于.
21. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得的值，即可求得答案.
（2）利用正弦定理推出，设，确定t的范围，再利用余弦定理推得，谈论和时两种情况，即可求得答案.
【小问1详解】
由得，
故，
因为，故，
则，
而，
故，则；
【小问2详解】
由于，则，
在中，；
在中，；
而，故，设，
则，即，
在中，，
即，于是，故，
分别在利用余弦定理得，
两式相减得，
当时，上式恒成立，此时为正三角形，周长为；
当时，，于是，
故，
由于，故当时，取最小值，
故周长的最小值为.
22. 已知函数.
（1）当时，比较与的大小；
（2）若函数，且，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造，利用导数可得，即；
（2）构造函数，从而推得，再利用导数得到的单调性，从而得到，进而将问题转化为证，再利用导数证得，由此得证.
【小问1详解】
设函数，
则，
当时，，
则在上单调递增，
所以，从而，即；
【小问2详解】
设函数，
当时，，，则恒成立，
则由，得，
又，所以,
因为，所以，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，
又，，所以,
要证，只需证，
即证．
因为，所以．
设函数，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，
所以，从而得证．
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
年份
销量（万台）
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
女性车主
总计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10828
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
女性车主
总计