四川省绵阳南山中学2024届高三上学期10月月考数学（文）试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知复数z满足（i为虚数单位）,则复数z的虚部等于( )
A.1B.-1C.2D.-2
3、等差数列的前n项和为,且,则( )
A.4B.3C.2D.1
4、已知,,则( )
A.2B.9C.4D.5
5、已知,则( )
A.B.C.D.
6、函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7、已知向量,,,若B,C,D三点共线,则( )
A.6B.-6C.9D.-9
8、已知,,且,则xy的最大值为( )
A.B.C.1D.2
9、正项等比数列公比为q,前n项积为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10、已知点P是曲线上任意一点,点Q是直线上任一点,则的最小值为( )
A.B.C.1D.e
11、我国油纸伞制作工艺巧妙.如图（1）,伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角,且,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图（2）,伞完全收拢时,伞圈D已滑动到的位置,且A、B、三点共线,,B为的中点,当伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着平柄向下滑动的距离为,则当伞完全张开时,的余弦值是( )
A.B.C.D.
12、函数,已知为图象的一个对称中心,直线为图象的一条对称轴,且在上单调递增.记满足条件的所有的值的和为S,则S的值为( )
A.B.2C.D.3
二、填空题
13、已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为________.
14、若,,与的夹角为,且,则m的值为______.
15、已知函数的定义域为R,满足,,当时,,则___________.
16、若函数的图象关于直线对称,且有且仅有4个零点,则的值为_________．
三、解答题
17、已知向量,.设函数.
（1）求的单调减区间；
（2）若先将函数的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图象.当时,求函数的最大值.
18、已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19、记的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）求角B；
（2）若,的周长为,求的面积.
20、已知函数.
（1）当时,求的极值；
（2）若方程在R上恰有3个实数解,求实数a的取值范围.
21、已知函数.
（1）讨论单调性；
（2）若方程有两个不相等的实根,,求实数a的取值范围,并证明.
22、已知曲线的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求,在直角坐标系下的普通方程；
（2）设M是上的任意一点,求M到的距离最大值.
23、已知函数.
（1）若,求不等式的解集；
（2）若,求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意知.
故选：B.
2、答案：A
解析：因为,
所以,所以复数z的虚部等于1；
故选：A．
3、答案：C
解析：因为等差数列的前n项和为,且,
所以,
所以,
故选：C.
4、答案：A
解析：因为,所以,
所以.
故选：A.
5、答案：D
解析：由题意可得：.
故选：D.
6、答案：B
解析：函数的定义域为,
由,
因此函数是偶函数,其图象关于y轴对称,选项CD不满足；
当时,,,即,选项A不满足,B满足.
故选：B.
7、答案：D
解析：,因为B,C,D三点共线,即,
故选：D.
8、答案：C
解析：,当且仅当时,取等号.
即xy的最大值为1.
故选：C.
9、答案：C
解析：由正项等比数列公比为q,前n项积为,
充分性：,则,则,即,充分性成立；
必要性：若,则,则,则,必要性成立,是充要条件.
故选：C.
10、答案：A
解析：函数的定义域为全体正实数,
,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,函数图象如下图：
过点的曲线的切线与直线平行时,最小,
即有,
所以,
故选：A
11、答案：A
解析：由题意得当伞完全张开时：,
因为B为的中点,
所以,
当伞完全收拢时：,
所以,
在中,由余弦定理得,
所以,
故选：A.
12、答案：C
解析：由题意知：或,,,
化简得或,.
在上单调递增,
,
.
①当时,取知,此 时,
又,
结合题意可知,即,
当时,,此时在上单调递减,不符合题意；
取时,,此时,
同理,
因为结合题意可知,即,
当时,,此时在上单调递增,
.
②当时,取知,此时,
同理,
因为结合题意可知,即,
当时,,此时在上单调递增,
.
综上：或1,.
故选：C.
13、答案：
解析：画出约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示：
目标函数可化为：,
平移,可知当直线经过点时,直线的截距最小,z取最大值.
则的最大值为.
故答案为：.
14、答案：
解析：因为,,与的夹角为,
所以,
所以
,
解得,
故答案为：.
15、答案：-2
解析：因为,即,
可得,所以6为函数的周期,
所以.
故答案为：-2.
16、答案：39
解析：由得,
令,
由于的图象关于直线对称,
所以的图象也关于对称,
显然为的两个零点,故由对称性可知,的另外两个零点分别为-5,-3,
即,解得,
故,
令,
则
,
故当或时,,单调递增,
当或时,,单调递减,
又,,
画出的图象如下,
故图象是将图象位于x轴下方部分沿着x轴翻折到x轴上方即可,如下：
要想有且仅有4个零点,则,
故.
故答案为：39.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由条件及二倍角公式、辅助角公式可知：
,
所以,,
解得单调减区间为：；
（2）由(1)知函数的图象向右平移个单位长度,得到,
再将得到的图象各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数,
当时,可得,
由余弦函数的单调性可知时单调递减,
所以当时,即,函数的最大值为.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知：,
令得,解得,也符合上式,
因此.
（2）由(1)可知：,
故,
故.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知及二倍角公式可知：,
,；
（2）由（1）及余弦定理得,
,
又因为的周长为,
得,,.
所以的面积为.
20、答案：（1）极大值,极小值
（2）
解析：（1）时,,,
令,解得或.
当或时,,在上单调递增；
当时,,在上单调递减.
所以的极大值为,极小值为.
（2）令,,
令,得或,
当时,,在R上单调递增,
在R上没有3个实数解,舍去.
当时,或时,；时,,
在,上单调递增,在上单调递減,且,
所以若方程在R上恰有3个实数解,
只需,即,解得.
当时,或时,；时,,
在,上单调递增,在上单调递減,
,
在R上没有3个实数解,舍去.
综上所述,实数a的取值范围为.
21、答案：（1）答案见解析
（2）；证明见解析.
解析：（1）因为,
当时,,所以在区间上单调递增；
当时,令,得；
令,得,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减；
综上：当时,在区间上单调递增,
当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
（2）方程,即,等价于,
令,其中,则,显然,
令,则,
当时,,
所以在区间上单调递减,且当x趋于0时,,
所以在区间上,
当时,；当时,,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,
所以关于t的方程有两个实根,,
即与有两个不同交点,
所以；
要证,即证,
又因为,,
即证,只需证,
因为,所以,整理可得,
不妨设,则只需证,
即,
令,,其中,
因为,
所以在区间上单调递增,
所以,
故.
22、答案：（1）,
（2）
解析：（1）由得,代入得的普通方程为.
由得,因为,,
所以的直角坐标方程为.
（2）设曲线上的任意一点的坐标为,,
则M到的距离,
当时,M到的距离最大,此时.
23、答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,不等式,即为,
则不等式等价于或或,
解得或或,所以不等式的解集为.
（2）由题意,不等式的解集包含,即,恒成立,
即,即,即,
即,所以,
因为函数在上为单调递减函数,所以,
函数在上为单调递增函数,所以,
所以,即实数m的取值范围为.