天津市静海区第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

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一、选择题
1、已知集合，则( )
A.B.C.D.
2、已知a，b为实数，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3、已知函数，则（）
A.B.C.D.
4、函数在上的图象大致为( )
A.B.
C.D.
5、已知函数，，则( )
A.B.C.D.
6、( )
A.6B.8C.9D.7
7、已知函数的图象关于点中心对称，则( )
A.在区间单调递减
B.在区间内有两个极值点
C.直线是曲线的对称轴
D.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数
8、已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
9、已知函数若关于的方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
10、若复数满足，则复数的虚部为______________.
11、已知向量，，则______________；向量在向量的投影向量是______________.
12、函数，当x=______________时，的最大值为______________.
13、已知平面内三个向量，，，若，则k=______________.
14、设，若，则的最大值为______________.
15、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度____________.
三、解答题
16、（1）在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；
（2）在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值；
（3）请同学们辨析总结解决平面向量数量积问题中，若选择坐标法解决，在建系时应注意什么？
17、已知向量，，，设函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值.
18、已知函数.
(1)若是函数的极值点，
①求在处切线方程；
②求在区间上的最值；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围.
19、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
20、设函数.
(1)当时，若函数在其定义域内单调递增.求b的取值范围；
(2)若，，证明：时，；
(3)若有两个零点，，且，求证：.
参考答案
1、答案：B
解析：因为，
所以，
所以，
故.
故选：B.
2、答案：D
解析：因为，如果b是负数，则是虚数，与无法比较大小，即由不可推出，
因为，取，，则，即由不可推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
3、答案：D
解析：由题意知，
所以，解得.
故选：D.
4、答案：C
解析：当时，，所以为奇函数，排除B，选项C满足；
当时，，当时，，排除A，D，选项C满足.
故选：C.
5、答案：D
解析：因为的定义域为，
，所以是偶函数，
因为当，，则在上单调递增，
，，，
因为，，，
所以，因为在上单调递增，
所以，则.
故选：D.
6、答案：A
解析：
.
故选：A.
7、答案：A
解析：因为函数的图象关于点中心对称，
所以，则，
又，所以，
所以，
对于A，由，得，
所以在区间单调递减，故A正确；
对于B，由，得，
所以在区间内有一个极值点，故B错误；
对于C，由，
所以直线不是曲线的对称轴，故C错误；
对于D，函数的图象向右平移个单位长度得
，故D错误.
故选：A.
8、答案：D
解析：，
在上，，即有且仅有1个零点，
所以，则.
故选：D
9、答案：D
解析：当时，，此时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，
作出的图象，如图所示，
，
即与共六个不等实根，
由图可知时，或，即有两个根，
若使与共六个不等实根，
只需满足，即.
故选：D
10、答案：1
解析：设，则，
由，得，
所以，所以，得，
所以复数的虚部为1.
故答案为：1.
11、答案：
解析：由题意，，所以，
向量在向量的投影向量是.
故答案为：，
12、答案：3
解析：
，
当时，则，
所以，
所以当时，即时，.
13、答案：
解析：因为，，，
，
，
因为，所以，
所以，解得：.
故答案为：
14、答案：
解析：因为，所以，
又，
所以.
因为，根据基本不等式有，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
15、答案：
解析：设此山高为，则，
在中，.
则.
在中，利用正弦定理则有.解得：
故答案为：
16、答案：（1）
（2）
（3）答案见解析
解析：（1）由题意知，
得，于是.
取的中点，连接DE，如图所示，
根据极化恒等式有，
因此要求的最小值，就是要求的最小值，
当时，最小，此时过点A作BC的垂线AF，垂足为，如图所示，
则.
所以的最小值为；
（2）设，
因为，则，
由图可得，，
所以，
即，即.
因为点为的中点，
所以，
于是.
记，
则
，
在中，由余弦定理得，，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值；
（3）观察图形特点，充分挖掘图形的几何特征，合理建系，便于确定图形中的点的坐标.
17、答案：(1)，
(2)
解析：（1）解：，，
，
令，，
解得，，
的单调递增区间是，；
（2）由（1）知，
，，即
，，
，，
的面积为，，解得，
，
由余弦定理得，
，
，，
综上所述，.
18、答案：(1)①；②最小值为，最大值为
(2)
解析：（1）解：由函数，可得，
因为已知是函数的极值点，
所以1是方程的根，
可得，解得，故，
经检验符合题意，故.
①因为，
所以，，
所以切线方程为；
②因为，
所以当时；当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又由，，，
且，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
（2）因为恒成立，即恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，
记，则，
令，得，
令，得，令，得，
列表如下：
所以函数的极大值也是最大值为，
由恒成立得，
所以.
19、答案：(1)
(2)（i）（ⅱ）
解析：（1）由，且C是三角形的内角，
则，
因为，所以，即，
由正弦定理得，
所以；
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得或（舍去），故；
（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以.
20、答案：(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）依题意：，
在上递增，对恒成立，
即对恒成立，只需
，，当且仅当时取等号，，
的取值范围是；
（2）要证时，，即证，
令且，则，
所以在上递增，则，即.
所以时，.
（3）证明：由已知得，即，
两式相减得：，即，
由，得
，
令，则令，
则，是上的减函数，，
所以，又，，.
↗
↘