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    浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段测试数学试题及答案

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    这是一份浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段测试数学试题及答案,共11页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.设全集,集合,则集合( )
    A.B.C.D.
    2.命题“,”的否定是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    3.“”是“”( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    4.已知,且,则下列不等式中一定成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    5.若函数的定义域为,值域为,则函数的图像可能是( )
    A.B.
    C.D.
    6.若,且,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    7.已知,其中表示不超过的最大整数,则=
    A.2B.3C.D.6
    8.已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.或D.
    二、多选题
    9.下列各组中表示同一函数的是( )
    A.B.
    C.D.
    10.下列关系中,正确的有( )
    A. B.C.D.
    11.(多选)若函数在上的最大值与最小值的差为2,则实数的值可以是( )
    A.2B.C.1D.0
    12.早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算术中项,几何中项以及调和中项,毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中算术中项,几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a,b的算术平均数,为正数a,b的几何平均数,并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则的最小值为
    C.若,则
    D.若实数a,b满足,则的最小值为2
    三、填空题
    13.已知集合,若,则实数a等于
    14.函数的定义域是 .
    15.已知,则 .
    16.已知不等式的解集为,则的取值范围是 .
    四、解答题
    17.已知集合,全集.
    (1)当时,求;
    (2)若,求实数的取值范围.
    18.求下列不等式的解集:
    (1);
    (2);
    (3).
    19.求下列函数的最值.
    (1)求函数的最小值.
    (2)已知,求函数的最大值.
    20.已知函数,.
    (1)判断函数的单调性并证明;
    (2)求函数的最大值和最小值.
    21.已如函数.
    (1)若不等式解集为时,求实数的值;
    (2)当时,解关于的不等式.
    22.“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技,属于由科技创新构成的物理世界,是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术,具有极高技术门槛和技术壁垒,难以被复制和模仿、最近十年,我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌,某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2023年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元,每生产x百台高级设备需要另投成本万元,且每百台高级设备售价为160万元,假设每年生产的高级设备能够全部售出,且高级设备年产展最大为10000台.
    (1)求企业获得年利润(万元)关于年产量(百台)的函数关系式;
    (2)当年产量为多少时,企业所获年利润最大?并求最大年利润.
    参考答案:
    1.C
    【分析】根据交集与补集的概念及运算方法,即可求解.
    【详解】由题意,集合,可得或,
    所以.
    故选:C.
    2.C
    【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可.
    【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“,”的否定是“,”.
    故选:C
    3.A
    【分析】根据题意由得出或,然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.
    【详解】由得或,
    所以由可以得到,但由不一定得到,
    所以是的充分不必要条件.
    故选:A.
    4.D
    【分析】利用不等式的性质,根据,证明不等式,若不正确,只需要举出一个反例即可.
    【详解】解:A选项:当,,时不符合题意;
    B选项:当时不符合题意;
    C选项:当时,不符合题意;
    D选项:,.又.
    故选:D.
    5.A
    【分析】通过函数的定义域和值域,分析四个选项的定义域和值域,即可得出正确图像.
    【详解】由题意,
    在中,定义域为,值域为,
    选项A,定义域为,值域为,满足题意,A正确.
    选项B,定义域,值域为,不满足定义域和值域,B错误.
    选项C,定义域为,值域为,不满足定义域,故C错误.
    选项D,根据函数定义知,对于每一个都有唯一确定的对应,所以故D中图象不是函数的图像,D错误.
    故选:A.
    6.B
    【分析】依题意,由基本不等式可得,当等号成立时即可求出最大值.
    【详解】因为,,根据基本不等式可得,,
    整理得,当且仅当时,等号成立,
    此时,的最大值为.
    故选:B
    【点睛】本题考查基本不等式求最值,需注意基本不等式的使用条件和等号成立的条件,属基础题.
    7.D
    【分析】由该特殊符号的性质求出的值,带入解析式即可求出函数值.
    【详解】由特殊符号的性质:,所以.
    故选D.
    【点睛】本题考查新定义函数及函数的代入求值,由题意求解即可,注意负数的大小关系.
    8.A
    【分析】由题意知在上有解,等价于,解不等式即可求实数的取值范围.
    【详解】因为关于的不等式在上有解,
    即在上有解,
    只需的图象与轴有公共点,
    所以,
    即,所以,
    解得:,
    所以实数的取值范围是,
    故选:A.
    9.ABD
    【分析】根据同一函数需同时满足:定义域相同,化简后的对应法则相同,对选项逐一分析即可.
    【详解】A选项,的定义域为, 的定义域为,,所以A符合题意;
    B选项的定义域均为,,故B选项符合题意;
    C选项,的定义域为,的定义域为,定义域不同,所以C错误;
    D选项,的定义域均为,,,,所以D符合题意.
    故选:ABD
    10.AB
    【分析】根据集合与集合的关系,元素与集合的关系逐一判断即可.
    【详解】根据集合间关系可得正确,错误
    根据元素与集合之间的关系可得正确,错误
    故选:AB.
    11.AB
    【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值,列出方程得解.
    【详解】依题意,当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即;
    当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即.
    故选AB.
    【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解,属于基础题.
    12.CD
    【分析】取可判断A;构造借助均值不等式可判断B;构造借助均值不等式可判断C;令,则,借助均值不等式可判断D
    【详解】对于A,若,则,A错误;
    对于B,∵,∴,,

    (当且仅当,即时取等号),即的最小值为4,B错误;
    对于C,∵,∴,,又,
    (当且仅当,即时取等号),C正确;
    对于D,令,则,∴(当且仅当时取等号),即的最小值是2.D正确.
    故选:CD
    13.3
    【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解.
    【详解】因为,所以,即,
    解得或,
    经检验时,,与集合中元素的互异性矛盾;
    时,,满足题意.
    故答案为:3
    14.且
    【分析】求使函数有意义的的范围即为定义域,逐项求解即可.
    【详解】解:由题意得,解得且,
    故函数的定义域为且.
    故答案为:且
    15.
    【分析】将代入已知关系式即可求得结果.
    【详解】令,解得:,.
    故答案为:.
    16.
    【解析】根据不等式的解集为,,列出不等式求出解集即可.
    【详解】∵不等式的解集为,
    ∴,即,即,所以.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题,解题时常用判别式来解答,是基础题目.
    17.(1)
    (2)
    【分析】(1)集合的并集运算,可运用画数轴数形结合方法求出.
    (2)由,得出,根据集合的包含关系可以求出对应参数的取值范围.
    【详解】(1)当时,,全集,
    (2),

    当时,则,解得,
    当,则,解得,
    综上,的取值范围是或.
    18.(1)
    (2)
    (3)
    【分析】(1)利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集;
    (2)利用分式不等式的解法解原不等式,即可得解;
    (3)将所求不等式变形为,利用二次不等式的解法解原不等式,即可得解.
    【详解】(1)解:可化为,
    对应方程的两个根为,,
    故原不等式的解集为.
    (2)解:原不等式等价于,解得,
    故原不等式的解集为.
    (3)解:不等式即为,即,解得,
    故原不等式的解集为.
    19.(1)
    (2)
    【分析】(1)将函数解析式变形为,然后利用基本不等式可求得该函数的最小值;
    (2)将函数解析式变形为,然后利用基本不等式可求得该函数的最大值.
    【详解】(1),,而,
    当且仅当,即当时,该函数取得最小值;
    (2),,则,
    当且仅当时,即当时,该函数取得最大值.
    20.(1)函数在区间上为减函数,证明见解析;(2)最大值为,最小值为.
    【解析】(1)利用函数单调性的定义证明即可;(2)利用函数的单调性,即可求解在闭区间上的最值.
    【详解】解:(1)根据题意,函数在区间上为减函数,
    证明:,
    设,则

    又由,则
    ,,,
    则,
    则函数在上为减函数;
    (2)由(1)的结论,函数在上为减函数,
    则在上最大值为,最小值为.
    21.(1) 或 (2)答案见解析
    【分析】(1)易得和2是方程的根.
    (2)可知两根为或者,再分别讨论和的大小即可.
    【详解】
    (1)的解集为


    (2)当,即时,恒成立.
    当,即时,或
    当,即时,或
    综上:时,不等式的解集为;
    时,不等式的解集为或;
    时,不等式的解集为或
    【点睛】此题考查二次函数含参解不等式题型,涉及到分类讨论,讨论时注意不重不漏,属于较难题目.
    22.(1);
    (2)当年产量为30百台时公司获利最大,且最大利润为800万元.
    【分析】(1)根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可;
    (2)当时,结合二次函数的性质求出函数的最大值;当时,利用基本不等式求出函数的最大值,再比大小,即可求解.
    【详解】(1)当时,
    .
    当时,

    所以;
    (2)当时,

    所以当时,(万元).
    当时,
    (万元),
    当且仅当即时,等号成立.
    因为,
    所以当年产量为30百台时,公司获利最大,且最大利润为800万元.

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