2023-2024学年河南省商丘市夏邑一中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市夏邑一中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．7，3，4C．5，6，12D．1，2，3
2．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
3．数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形
D．两个正三角形一定是全等图形
5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．40°B．100°C．90°D．80°
6．如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（ ）
A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACE
C．△EBD≌△ECDD．以上答案都不对
7．适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
8．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（﹣2，5），则线段DE的长为（ ）
A．4B．6C．6.5D．7
9．如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
10．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．七边形内角和的度数是 ．
12．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 ，使△ABF≌△DCE．
13．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标是 ．
15．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，且∠B＝36°，∠C＝76，求∠EAD的度数．
17．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
18．已知一个多边形的边数为n．
（1）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多90°，求n的值．
（2）若这个多边形是正n边形，且一个内角与一个外角的比是13：2，求n的值．
19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
20．如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB＝BE，BC＝DE，AC交BD于F．
（1）求证：△ABC≌△BED；
（2）求∠BFC的度数．
21．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝15，AF＝8，试求DE的长．
22．如图，∠MON＝90°，点A、B分别在线段OM、ON上（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）若∠BAO＝60°，求∠ABC和∠D的度数；
（2）若∠BAO＝x°，求∠ABC和∠D的度数．（无法求出准确数值的，可以用含x的代数式表示）；
（3）若△ABD中有一个角是另一个角的3倍，则∠ABC＝ °（直接写出答案）．
23．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．
①填空：∠C＝ ，∠DBC＝ ；
②求证：△BDE≌△CDF．
（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．7，3，4C．5，6，12D．1，2，3
【分析】根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边进行判断即可．
解：A、3+4＞5，可以构成三角形，故此选项正确；
B、3+4＝7，不能构成三角形，故此选项错误；
C、5+6＜11，不能构成三角形，故此选项错误；
D、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
3．数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：A、BE是△ABC中AC边上的高，符合题意；
B、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
C、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
D、AE是△EAC中AC边上的高，不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形
D．两个正三角形一定是全等图形
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．40°B．100°C．90°D．80°
【分析】由角平分线的定义可得∠ACD＝120°，再利用三角形外角性质即可求∠A的度数．
解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣30°＝90°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
6．如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（ ）
A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACE
C．△EBD≌△ECDD．以上答案都不对
【分析】本题已知AB＝AC，DB＝DC，AD是公共边，具备了三组边对应相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．
解：在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
故选：A．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
7．适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．
解：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
8．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（﹣2，5），则线段DE的长为（ ）
A．4B．6C．6.5D．7
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA＝BO，∠AOB＝90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，则可得出答案．
解：∵A（﹣2，5），AD⊥x轴，
∴AD＝5，OD＝2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA＝BO，∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠DAO＝∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠DAO＝∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，
∴DE＝OD+OE＝5+2＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，根据全等三角形的性质得出∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，求出∠NBC＝∠N＝50°，求出∠BCN的度数即可．
解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，
∵△MNC≌△ABC，
∴∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，
∴∠NBC＝∠N＝50°，
∴∠BCN＝180°﹣∠N﹣∠NBC＝80°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
10．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2
【分析】根据折叠的性质可得∠A′＝∠A，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′＝∠A，
又∵∠ADA′＝180°﹣∠1，∠3＝∠A′+∠2，
∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°，
即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°，
整理得，2∠A＝∠1﹣∠2．
∴∠A＝（∠1﹣∠2），即2∠A＝∠1﹣∠2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A转化到同一个三角形中是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．七边形内角和的度数是 900° ．
【分析】根据n边形内角和公式即可得到答案．
解：由n边形内角和度数为（n﹣2）•180°，n＝7得：
七边形内角和的度数是（7﹣2）×180°＝900°，
故答案为：900°．
【点评】本题考查多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式：n边形内角和度数为（n﹣2）•180°．
12．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 ∠B＝∠C（答案不唯一） ，使△ABF≌△DCE．
【分析】求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
添加∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
13．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．
解：∵E是AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，
∴S△ACD＝2S△AEC，
∵△AEC的面积是1，
∴S△ACD＝2S△AEC＝2，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标是 （1，5） ．
【分析】先证明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD＝CE，DC＝EB，然后再根据点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），即可得到点B的坐标．
解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，如图所示，
则∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，DC＝EB，
∵点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），
∴OD＝7，AD＝3，OC＝2，
∴CE＝3，BE＝OD﹣OC＝7﹣2＝5，
∴OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴点B的坐标为（1，5），
故答案为：（1，5）．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 40°或10° ．
【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为40°或10°；
故答案为：40°或10°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，且∠B＝36°，∠C＝76，求∠EAD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，最后根据∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE代入数据进行计算即可得解．
解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣36°﹣76°＝68°，
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°，
∵∠B＝39°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣34°＝56°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝56°﹣34°＝12°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并准确识图，观察出∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE是解题的关键．
17．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
【分析】先根据AF＝CE得出AE＝CF，再根据平行线的性质得出∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理即可得出结论．
解：∵AF＝CE，
∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF，
∵BE∥DF，
∴∠DFE＝∠FEB，
在△ABE与△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等，先根据求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
18．已知一个多边形的边数为n．
（1）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多90°，求n的值．
（2）若这个多边形是正n边形，且一个内角与一个外角的比是13：2，求n的值．
【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答；
（2）正多边形的内角都相等，因而每个外角也分别相等，每个相邻的外角，与内角一定互补，就可以求出一个外角的度数．根据多边形的外角和是360°，就可以求出多边形的边数．．
解：（1）由题意，多边形的内角和的比一个四边形的外角和多90°
得 ，
解得 n＝12；
（2）一个内角与一个外角的比是13：2，得
解得n＝15．
【点评】考查了邻补角的定义，多边形的内角和的特征，掌握多边形的内角和的特征是解题的关键．
19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；
当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
20．如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB＝BE，BC＝DE，AC交BD于F．
（1）求证：△ABC≌△BED；
（2）求∠BFC的度数．
【分析】（1）在两个直角三角形中，已知的条件有：AB＝BE、BC＝DE、∠ABC＝∠E＝90°，即可由SAS判定两个三角形全等．
（2）根据（1）题证得的全等三角形，可得到∠DBE＝∠A，由于∠A、∠BCF互余，所以∠FBC、∠BCF互余，即∠BFC是直角．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC＝∠BED＝90°，
在△ABC和△BED中，
∴△ABC≌△BED（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BED，
∴∠DBE＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°．
∴∠DBE+∠ACB＝90°．
∴在△BFC中，∠BFC＝90°．
【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质；在证明三角形全等时，首先要看已知了哪些条件，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝15，AF＝8，试求DE的长．
【分析】（1）利用中点性质可得BD＝CD，由平行线性质可得∠DBE＝∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF＝AE﹣AF＝7，再由全等三角形性质可得DE＝DF，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝15，AF＝8，
∴EF＝AE﹣AF＝15﹣8＝7，
∵△BDE≌△CDF
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝7，
∴DE＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
22．如图，∠MON＝90°，点A、B分别在线段OM、ON上（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）若∠BAO＝60°，求∠ABC和∠D的度数；
（2）若∠BAO＝x°，求∠ABC和∠D的度数．（无法求出准确数值的，可以用含x的代数式表示）；
（3）若△ABD中有一个角是另一个角的3倍，则∠ABC＝ 60或78.75 °（直接写出答案）．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理先求出∠OBA，再求出∠ABC，最后利用三角形的外角和内角的关系求出∠D；
（2）利用三角形的内角和定理用含x的代数式表示出∠OBA，再表示出∠ABC，最后利用三角形的外角和内角的关系求出∠D；
（3）利用三角形的内角和定理分类讨论得结论．
解：∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠ABC＝∠CBN＝∠ABN．
∵BD是∠BAO的平分线，
∴∠OAD＝∠DAB＝∠OAB．
（1）∵∠BAO＝60°，∠MON＝90°，
∴∠OBA＝30°，∠BAD＝×60°＝30°．
∴∠ABN＝180°﹣∠OBA＝150°．
∴∠ABC＝×150°＝75°．
∵∠ABC＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°．
（2）∵∠BAO＝x°，∠MON＝90°，
∴∠OBA＝90°﹣x°，∠BAD＝×x°＝x°．
∴∠ABN＝180°﹣（90°﹣x°）＝90°+x°．
∴∠ABC＝∠ABN＝×（90°+x°）＝45°+x°．
∵∠ABC＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°x°﹣x°＝45°．
（3）由（2）知，∠D恒为45°．
当∠D是∠DAB的3倍时，∠DAB＝15°．
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°+15°＝60°．
当∠DBA＝3∠DAB时，4∠DAB+45°＝180°，
∴∠DAB＝33.75°．
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°+33.75°＝78.75°．
当∠DAB＝3∠D＝135°或∠DBA＝3∠D＝135°时，
△ABD的内角和大于180°，故∠DAB、∠DBA不可能等于3∠D；
故答案为：60或78.75．
【点评】本题主要考查了三角形角，掌握三角形的内角和定理及角平分线的性质是解决本题的关键．
23．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．
①填空：∠C＝ 45° ，∠DBC＝ 45° ；
②求证：△BDE≌△CDF．
（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质结合ASA进而得出答案；
（3）利用t＝0时，t＝2时，t＝4时分别得出答案．
【解答】（1）
①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，
∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；
故答案为：45°；45°；
②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，
故BD⊥AC，
∵ED⊥DF，
∴∠BDE＝∠FDC，
∴∠C＝∠DBC＝45°，
∴BD＝DC，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；
如图②所示：连接BD，当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；
如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，利用特殊位置求出全等的三角形是解题关键．