2023-2024学年吉林省长春市榆树市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市榆树市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1．9的平方根是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．±9
2．在实数﹣，0，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣B．0C．D．3.14
3．能与数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数B．有理数C．无理数D．实数
4．下列计算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m5B．m6÷m2＝m3C．（m3）2＝m9D．m3•m2＝m5
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
6．已知x，y满足，则x2﹣9y2的值为（ ）
A．﹣5B．4C．5D．25
7．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠A＝105°，∠D＝25°，则∠ABE等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
8．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（ ）
A．p＝0，q＝0B．p＝3，q＝1C．p＝﹣3，q＝﹣9D．p＝﹣3，q＝1
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．﹣0.008的立方根是 ．
10．多项式6ab2x﹣3a2by+12a2b2的公因式是 ．
11．以a＝ 为反例可以证明命题“对任意实数a它的平方是正数”是假命题，
12．已知3m＝2，3n＝5，则32m+n的值是 ．
13．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是 ．
14．如图，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB＝12m．AC＝4m，点P从点B出发，向终点A运动，每分钟走1m，点Q从点B出发．沿射线BD运动，每分钟走2m．P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动．设运动时间是x分钟，当x＝ 时，△CAP与△PQB全等．
三、简答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：
（1）﹣+；
（2）（﹣3x+2）（﹣3x+6）；
（3）（6x3﹣15x2+3x）÷3x．
16．把下列多项式分解因式：
（1）a2x2﹣a2y2．
（2）4x2﹣8xy+4y2．
17．利用乘法公式计算：
（1）20192﹣2018×2020．
（2）99.82．
18．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE．求证：△ABC≌△DEF．
19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+a（2b﹣a），其中a＝，b＝﹣2．
20．已知a+＝3，求：（1）a2+；（2）a﹣．
21．如图，某市有一块长为（4a+b）米，宽为（a+2b）米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形水池．
（1）试用含a，b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；
（2）求出当a＝2，b＝1时的绿化面积．
22．如图，点E在边AC上，已知AB＝DC，∠A＝∠D，BC∥DE．
求证：（1）△ABC≌△DCE；
（2）DE＝AE+BC．
23．探究与应用
我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；……
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
应用：计算2+22+23+24+……+22022．
24．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
善于观察思考的小明发现：利用图形面积关系这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2．
对于方案一，小明是这样验证的：
因为大正方形的面积可以看成：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，又可以看成（a+b）2，所以a2+2ab+b2＝（a+b）2．
解答下列问题：
（1）公式验证：请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程．
方案二： ；
方案三： ；
（2）公式应用，已知实数a，b均为正数，且a﹣b＝2，ab＝3，求a+b的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．9的平方根是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．±9
【分析】根据平方根的概念，推出9的平方根为±3．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为±3．
故选：C．
【点评】本题主要考查平方根的定义，关键在于推出（±3）2＝9．
2．在实数﹣，0，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣B．0C．D．3.14
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，算术平方根等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数是指无限不循环小数．
3．能与数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数B．有理数C．无理数D．实数
【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应关系，即可得出．
解：根据实数与数轴上的点是一一对应关系．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
4．下列计算正确的是（ ）
A．m3+m2＝m5B．m6÷m2＝m3C．（m3）2＝m9D．m3•m2＝m5
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；对各选项计算后利用排除法求解．
解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定判断即可．
解：A、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，是真命题；
B、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，是真命题；
C、两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了三角形全等的判定．
6．已知x，y满足，则x2﹣9y2的值为（ ）
A．﹣5B．4C．5D．25
【分析】由平方差公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）将原式分解因式即可解答．
解：因为x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），
所以原式＝﹣1×5＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题主要考查平方差公式，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键．
7．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠A＝105°，∠D＝25°，则∠ABE等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】依据SAS即可得判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，得出∠D＝∠E＝25°，由三角形内角和定理可求出答案．
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠D＝∠E，
∵∠D＝25°，
∴∠E＝25°，
∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝180°﹣105°﹣25°＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（ ）
A．p＝0，q＝0B．p＝3，q＝1C．p＝﹣3，q＝﹣9D．p＝﹣3，q＝1
【分析】把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
解：∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q），
＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q，
＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q．
∵乘积中不含x2与x3项，
∴p﹣3＝0，q﹣3p+8＝0，
∴p＝3，q＝1．
故选：B．
【点评】灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．﹣0.008的立方根是 ﹣0.2 ．
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
解：＝﹣0.2
故答案为：﹣0.2
【点评】本题考查立方根，解题的关键是正确理解立方根的定义，本题属于基础题型．
10．多项式6ab2x﹣3a2by+12a2b2的公因式是 3ab ．
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
解：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，
∴公因式为3ab．
故答案为：3ab．
【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
11．以a＝ 0 为反例可以证明命题“对任意实数a它的平方是正数”是假命题，
【分析】根据有理数的乘法法则判断．
解：当a＝0时，02＝0，0不是正数，
则命题“对任意实数a它的平方是正数”是假命题，
故答案为：0．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．已知3m＝2，3n＝5，则32m+n的值是 20 ．
【分析】首先根据3m＝2，求出32m的值是多少；然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出32m+n的值是多少即可．
解：∵3m＝2，3n＝5，
∴32m＝（3m）2＝22＝4，
∴32m+n＝32m•3n＝4×5＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
13．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是 AC＝DC（答案不唯一） ．
【分析】可以添加条件AC＝CD，再由条件∠BCE＝∠ACD，可得∠ACB＝∠DCE，再加上条件CB＝EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．
解：添加条件：AC＝DC，
∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：AC＝DC（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB＝12m．AC＝4m，点P从点B出发，向终点A运动，每分钟走1m，点Q从点B出发．沿射线BD运动，每分钟走2m．P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动．设运动时间是x分钟，当x＝ 4 时，△CAP与△PQB全等．
【分析】设它们运动x分钟后，△CAP与△PQB全等，则AP＝（12﹣x）m，BQ＝2xm，根据全等三角形的判定方法当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP，然后分别列出关于x的方程，然后解方程求出符合条件的x的值即可．
解：设它们运动x分钟后，△CAP与△PQB全等，
根据题意得AP＝（12﹣x）m，BQ＝2xm，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ（SAS），
即x＝4，12﹣x＝2x，
解得x＝4；
当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP（SAS），
即2x＝4，12﹣x＝x，x不能同时满足两方程，不符合题意舍去，
∴它们运动4分钟后，△CAP与△PBQ全等．
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是设出时间，表示出AP、BQ，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等．
三、简答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：
（1）﹣+；
（2）（﹣3x+2）（﹣3x+6）；
（3）（6x3﹣15x2+3x）÷3x．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义分别化简得出答案；
（2）直接利用多项式乘以多项式，进而计算得出答案；
（3）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：（1）﹣+
＝4﹣+
＝4；
（3）（﹣3x+2）（﹣3x+6）
＝9x2﹣18x﹣6x+12
＝9x2﹣24x+12；
（4）（6x3﹣15x2+3x）÷3x
＝2x2﹣5x+1．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的除法，二次根式的化简等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．把下列多项式分解因式：
（1）a2x2﹣a2y2．
（2）4x2﹣8xy+4y2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
解：（1）原式＝a2（x2﹣y2）＝a2（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝4（x2﹣2xy+y2）＝4（x﹣y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．利用乘法公式计算：
（1）20192﹣2018×2020．
（2）99.82．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式即可求解；
（2）根据完全平方公式即可求解．
解：（1）原式＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）
＝20192﹣20192+1
＝1．
（2）原式＝（100﹣0.2）2
＝10000﹣40+0.04
＝9960.04
【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解决本题的关键是掌握并熟练运用公式．
18．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据线段的和差得出BC＝EF，利用ASA证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+a（2b﹣a），其中a＝，b＝﹣2．
【分析】先按照平方差公式及单项式乘以多项式的运算法则展开化简，再将a＝，b＝﹣2代入计算即可．
解：（a+b）（a﹣b）+a（2b﹣a）
＝a2﹣b2+2ab﹣a2
＝﹣b2+2ab
∵a＝，b＝﹣2
∴原式＝﹣（﹣2）2+2××（﹣2）
＝﹣4﹣6
＝﹣10
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．
20．已知a+＝3，求：（1）a2+；（2）a﹣．
【分析】（1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值；
（2）利用完全平方公式求出所求式子的平方，开方即可求出值．
解：（1）把a+＝3两边平方得：（a+）2＝a2++2＝9，即a2+＝7；
（2）∵（a﹣）2＝a2+﹣2＝7﹣2＝5，
∴a﹣＝±．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．如图，某市有一块长为（4a+b）米，宽为（a+2b）米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形水池．
（1）试用含a，b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；
（2）求出当a＝2，b＝1时的绿化面积．
【分析】（1）绿化部分的面积等于整体面积减去正方形水池面积．
（2）将a＝2与b＝1代入求解．
解：（1）绿化部分的面积为S绿化＝（4a+b）（a+2b）﹣（a+b）（a+b）＝3a2+b2+7ab．
（2）当a＝2，b＝1时，S绿化＝3a2+b2+7ab＝3×22+12+7×2×1＝27．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
22．如图，点E在边AC上，已知AB＝DC，∠A＝∠D，BC∥DE．
求证：（1）△ABC≌△DCE；
（2）DE＝AE+BC．
【分析】（1）由“AAS”可证△DEC≌△ACB；
（2）根据全等三角形的性质可得AC＝DE，BC＝CE，根据线段的和差即可得解．
【解答】证明：（1）∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴AC＝DE，BC＝CE，
∴DE＝AC＝AE+CE＝AE+BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．探究与应用
我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝ x3﹣1 ；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1 ；……
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ x7﹣1 ；
应用：计算2+22+23+24+……+22022．
【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（3）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
应用：先根据以上算式得出（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）＝22023﹣1，再得出答案即可．
解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）
＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1
＝x3﹣1，
故答案为：x3﹣1；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）
＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x4﹣1，
故答案为：x4﹣1；
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1
＝x7﹣1，
故答案为：x7﹣1；
应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+……+1）
＝22023﹣1，
∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则和平方差公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
24．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
善于观察思考的小明发现：利用图形面积关系这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2．
对于方案一，小明是这样验证的：
因为大正方形的面积可以看成：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，又可以看成（a+b）2，所以a2+2ab+b2＝（a+b）2．
解答下列问题：
（1）公式验证：请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程．
方案二： （a+b）2＝a2+ab+b（a+b）＝a2+2ab+b2 ；
方案三： （a+b）2＝a2+2×（a+a+b）•b＝a2+2zb+b2 ；
（2）公式应用，已知实数a，b均为正数，且a﹣b＝2，ab＝3，求a+b的值．
【分析】（1）方案二根据“大正方形的面积＝一个小正方形的面积+两个矩形的面积”即可得出答案；方案三根据“大正方形的面积＝一个小正方形面积+两个直角梯形的面积”即可得出答案；
（2）先将a﹣b＝2的两边平方从而求出a2+b2＝10，然后在计算（a+b）2即可得出答案．
解：（1）方案二：
∵大正方形是由一个小正方形面积和两个矩形组成，
∴大正方形的面积为：a2+ab+b（a+b）＝a2+2ab+b2，
又∵大正方形的边长为（a+b），
∴大正方形的面积为：（a+b）2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
方案三：
∵大正方形是由一个小正方形面积和两个直角梯形组成，
∴大正方形的面积为：a2+2×（a+a+b）•b＝a2+2zb+b2，
又∵大正方形的边长为（a+b），
∴大正方形的面积为：（a+b）2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+ab+b（a+b）＝a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2×（a+a+b）•b＝a2+2zb+b2．
（2）∵a﹣b＝2，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴4＝a2+b2﹣2×3，
∴a2+b2＝10，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝10+2×3＝16，
∵a，b均为正数，
∴a+b＝4．
【点评】此题主要考查了几何背景下的乘法公式，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的面积计算公式和乘法公式的结构特征．