北师大版六年级数学上册第1单元 圆_第04讲_圆的面积(教师版) 试卷

小学数学辅导讲义

[北师大版]

知识图谱

圆的面积

知识精讲

一．圆的面积的意义

圆所占平面的大小叫做圆的面积．

二．把圆转化为长方形，推导圆的面积计算公式

1．在硬质上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼成学过的图形来进行推导．

2．发现：把圆平均分的份数越多，每一份就会越少，拼成的图形就会越接近一个长方形．长方形的长为（或），宽为r．

3．推导圆的面积计算公式：圆的面积=长方形的面积．

三．圆的面积计算公式的应用

1．已知圆的半径求面积：．

2．已知圆的直径求面积：．

3．已知圆的周长求面积：．

典型例题如下图，OA、OB分别是小半圆的直径，且cm，，阴影部分的面积是多少平方厘米？

名师学堂解题思路．图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分进行割补，使其变成规则图形，如下图所示：

由上图可知，阴影部分的面积=大圆的面积—三角形AOB的面积．

正确答案．（cm2）

答：阴影部分的面积是10.26 cm2．

三点剖析

重点：能运用圆的面积计算公式解决实际问题．

难点：理解圆的面积计算公式的推导过程．

易错点：在计算圆的面积是时，不要把写计算成，应该是．

圆的面积的意义

例题

例题1、（1）求下图中自动旋转喷灌装置喷水的最大范围，就是求圆的（    ）。

A．周长        B．面积        C．圆周率        D．以上都不对

（2）下图中阴影部分周长（    ）大半圆的周长；阴影部分面积（    ）大半圆的面积。

A．大于        B．等于        C．小于        D．无法确定

【答案】（1）B（2）A．C

【解析】（1）B（2）A．C

例题2、利用方格估计下图中圆的面积。

【答案】（1）28（2）50

【解析】（1）28（2）50

例题3、下面是一个数学兴趣小组用一根长16dm的铁丝围成的图形情况记录表。

（1）分析以上实验记录，你发现了什么？

（2）用上面的发现解释为什么自来水管的横截面都是圆形的。

【答案】（1）发现：周长相等的长方形、正方形和圆中，圆的面积最大。

（2）所用材料相同的情况下，横截面是圆形，面积最大，供水最快、最好。（合理即可）

【解析】（1）发现：周长相等的长方形、正方形和圆中，圆的面积最大。

（2）所用材料相同的情况下，横截面是圆形，面积最大，供水最快、最好。（合理即可）

随练

随练1、把一个圆分成若干（偶数）等份，拼成一个近似的长方形（分的份数越多，拼成的图形越接近长方形），拼成的长方形的长相当于圆的（        ），长方形的宽就是圆的（        ）．

【答案】周长的一半，半径

【解析】周长的一半，半径

随练2、看一看，比一比，你发现了什么？

【答案】小，大，小，大，接近于

【解析】小，大，小，大，接近于

圆的面积计算公式

例题

例题1、一块半圆形的塑料板，它的直径是20cm，周长是（        ）cm，面积是（        ）cm2．

【答案】51.4  157

【解析】51.4  157

例题2、已知圆的半径，圆的面积公式用字母表示为（        ）．

【答案】

【解析】

例题3、我是计算小能手。

求下图半圆的周长和面积。

【答案】周长：3.14×2÷2+2=3.14+2=5.14（dm）

面积：3.14×（2÷2）2÷2=3.14×12÷2=3.14×1÷2=1.57（dm2）

【解析】周长：3.14×2÷2+2=3.14+2=5.14（dm）

面积：3.14×（2÷2）2÷2=3.14×12÷2=3.14×1÷2=1.57（dm2）

例题4、根据表中有关数据完成下表．

【答案】略

【解析】略

随练

随练1、一个圆的半径是5cm，直径是（        ）cm，周长是（        ）cm，面积是（        ）cm2．

【答案】10  31.4  78.5

【解析】10  31.4  78.5

随练2、判断．

（1）用圆规画一个周长是25.12cm的圆，圆规两脚间的距离应为4cm．（    ）

（2）半圆的周长等于这个圆周长的一半．（    ）

（3）圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．（    ）

（4）直径相等的两个圆，面积相等．（    ）

【答案】（1）√（2）×（3）√（4）√

【解析】（1）√（2）×（3）√（4）√

随练3、画圆时，圆规两脚之间的距离是5cm，所画的圆的周长是（        ）cm；面积是（        ）cm2．

【答案】31.4  78.5

【解析】31.4  78.5

随练4、填写下表．

【答案】12  113.4  7.5  176.625  60  2826

【解析】12  113.4  7.5  176.625  60  2826

圆的面积计算公式的应用

例题

例题1、有一个圆形养鱼池，周长是31.4m．现在老板要扩大鱼池，将它的直径增加2m，这个鱼池的面积将增加多少平方米？

【答案】（m）  （m2）

【解析】（m）  （m2）

例题2、求图中阴影部分的周长和面积．（单位：cm）

【答案】周长：33.12cm；面积：25.12cm2

【解析】周长：（cm）

面积：（cm2）

例题3、求下面各图中阴影部分的面积．（单位：cm）

【答案】（1）36.48cm2;（2）157cm2

【解析】（1）（cm）  （cm2）

（2）（cm）  （cm）  （cm2）

例题4、下图中圆的周长是12.56cm，圆的面积正好等于长方形OABC的面积，你能求出这个长方形的周长吗？

【答案】16.56cm

【解析】提示：这个长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径．长：（cm）  宽：（cm）  周长：（cm）

随练

随练1、小丽用纸剪了一个风车图案（如图），它的中间部分是一个边长为8cm的正方形．这个图案的周长和面积分别是多少

【答案】周长：（cm）

面积：（cm2）

【解析】周长：（cm）

面积：（cm2）

随练2、有一个面积为700平方米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米和10米的三种装置．你认为应选哪种最合适？

【答案】（m2）  （m2）  （m2）

选射程为15米的装置最合适

【解析】（m2）  （m2）  （m2）

选射程为15米的装置最合适

随练3、学校运动场（如图）两端为半圆形，中间为长方形，这个运动场的周长和面积各是多少？

【答案】周长：（m）

面积：（m2）

【解析】周长：（m）

面积：（m2）

随练4、如下图，东方广场的东西两侧建有两块半圆形的花坛，它们的周长都是82.24m，这两个花坛占地总面积是多少？

【答案】803.84

【解析】（m）

（m2）

把圆转化成三角形，推导圆的面积公式

例题

例题1、小红把分成16等份的圆形纸板拼成了下面的梯形。

（1）梯形的面积相当于（    ）的面积。

（2）梯形上、下底的长度和相当于圆的（    ），梯形的高相当于圆的（    ）。

（3）梯形的面积等于（    ）×（    ）÷2，所以圆的面积＝（    ）。

【答案】（1）圆（2）周长的一半 半径的2倍（3）圆的周长的一半 半径的2倍 πr2

【解析】（1）圆（2）周长的一半 半径的2倍（3）圆的周长的一半 半径的2倍 πr2

例题2、淘气通过一个圆形硬纸板推导圆的面积如下图，并通过测量发现拼成的“平行四边形”的周长比圆盘的周长多了12cm．请根据以上信息，求出圆盘的面积．

【答案】圆盘的面积是113.04

【解析】

答：圆盘的面积是113.04

随练

随练1、如下图，把一个圆分成若干等份后，可以将圆近似地转化成以前学过的图形。拼成的图形与原来的圆有什么联系？推导一下圆的面积公式。

拼成的长方形的长近似于圆周长的（    ），宽等于圆的（    ）。因为长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝（    ）×（    ）＝（    ）。

【答案】一半，半径，，r，

【解析】一半，半径，，r，

随练2、填一填。

（1）如图，把一个圆分成若干（偶数）等份，拼成了一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底近似于圆的周长的（    ），高近似于圆的（    ）。因为平行四边形的面积＝（    ）×（    ），所以圆的面积＝（    ）。

（2）圆可以剪拼成近似的平行四边形或长方形，在这个过程中，只是形状发生了改变，（    ）没有变化。将圆等分的份数越（    ），拼出的图形就越接近平行四边形或长方形。

【答案】（1）一半，半径，底，高，

（2）面积，多

【解析】（1）一半，半径，底，高，

（2）面积，多

随练3、将一个圆剪拼成一个近似的长方形（如下图），已知这个长方形的周长是33.12dm，求圆的面积。

【答案】50.24dm2

【解析】解：设圆的半径是rdm

（3.14r+r）×2=33.12

4.14r×2=33.12

8.28r=33.12

r=4

3.14×42=3.14×16=50.24（dm2）

答：圆的面积是50.24dm2

拓展

拓展1、你能用方格估计下图中圆的面积吗？

【答案】12，50

【解析】12，50

拓展2、“半径2厘米的圆，它的周长和面积相等” 这句话对吗？为什么？

【答案】不对，周长和面积不能比

【解析】不对，周长和面积不能比

拓展3、填表．

【答案】略

【解析】略

拓展4、辨一辨．（对的画“√”，错的画“×”）

（1）一个圆的半径的长短，决定了这个圆的大小．（        ）

（2）一个圆的周长与半径的比的比值是一定的．（        ）

（3）半径是2cm的圆的周长和面积是相等的．（        ）

（4）圆的任意一条直径所在的直线都是这个圆的对称轴．（        ）

【答案】（1）√（2）√（3）×（4）√

【解析】（1）√（2）√（3）×（4）√

拓展5、求下面图形的周长和面积．（单位：cm）

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）（cm）   （cm2）

（2）（cm）   （cm2）

（3）（cm） 

（cm2）

【解析】（1）（cm）   （cm2）

（2）（cm）   （cm2）

（3）（cm） 

（cm2）

拓展6、一个水井的井口直径是0.8m（如下图）．

（1）沿水井井口周围走一圈，一共要走多少米？

（2）这个水井占地多少平方米？

【答案】（1）（m）

（2）（m2）

【解析】（1）（m）

（2）（m2）

拓展7、一个花坛，中间是边长4m的正方形，四边的外围是半圆形（如图），这个花坛的周长和面积各是多少？

【答案】周长25.12m，面积41.12m2

【解析】提示：这个花坛的周长就是两个直径是4米的圆的周长和，即（m），它的面积是两个圆的面积与正方形面积之和，即（m2）

拓展8、给一个圆柱形水桶配一个木盖，木盖的直径是40cm，做这个木盖至少需要多大面积的木板？如果要在木盖的四周围一圈铁条，至少要用多长的铁条？

【答案】

【解析】

拓展9、一块边长为20cm的正方形纸板，从它的4个角上剪下相同的圆心角为90°的扇形（如图所示），剩下的面积是多少？

【答案】（cm2）

【解析】（cm2）

拓展10、下图中圆的面积与长方形的面积相等．已知圆的周长是6.28厘米，图中阴影部分的面积你会求吗？

【答案】圆的半径：（cm）

S阴：（cm2）

【解析】圆的半径：（cm）

S阴：（cm2）

拓展11、将一个圆剪拼成一个近似的长方形（如下图），已知这个长方形的周长是16.56分米，求圆的面积。

【答案】16.56÷2÷（3.14+1）=2（dm）

3.14×=12.56（）

【解析】16.56÷2÷（3.14+1）=2（dm）

3.14×=12.56（）

拓展12、用以下两种方法推导圆的面积公式。

（1）梯形的（上底＋下底）相当于圆的（  ）的一半。梯形的高相当于圆的（  ）的2倍。

＝（  ）

（2）三角形的底相当于圆周长的（  ），三角形的高相当于圆的（  ）的4倍。

＝（  ）

【答案】（1）周长，半径，，2r，

（2），半径，，4r，

【解析】（1）周长，半径，，2r，

（2），半径，，4r，