2024枣庄八中高二上学期10月月考试题数学含解析

这是一份2024枣庄八中高二上学期10月月考试题数学含解析，共4页。试卷主要包含了10， 直线的倾斜角是， 已知圆，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
2023.10
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则⊙O的方程为（ ）
A B. C. D.
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（ ）
A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 平行或在平面内
5. 对于圆上任意一点，的值与，无关，则当时，的最大值是（ ）
A B. 1C. 2D. 4
6. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（ ）

A. 5B. 3C. D.
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线过点，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角为，则方程为
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则方程为
C. 直线与圆：始终相交
D. 若直线和以为端点的线段有公共点，则直线的斜率
10. 已知圆，下列说法正确的是（ ）
A. 若圆的半径为1，则
B. 若圆不经过第二象限，则
C. 若直线恒经过的定点在圆内，则当被圆截得的弦最短时，其方程为
D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
11. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，两两共面，则，，共面
C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
12. 在正方体中，分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面B. 直线与平面所成角正弦值为定值
C. 平面平面D. 点到平面的距离为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．
14. 已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
15. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________．
16. 一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为___________；若曲线是直线族的包络线，则的长为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，.
（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.
18. 已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知点为直线上一动点，求最小值.
试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
20. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.
（1）求圆的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
21. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
22. 已知的三个顶点分别为，，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
枣庄八中东校高二年级10月月考
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
2023.10
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.
【详解】由题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即.
故选：D.
2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为：，
故选：D
3. 已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则⊙O的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合点到直线距离公式求出弦心距，再由勾股定理求出半径，即可得解.
【详解】∵⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，设⊙O的方程为x2+y2=r2，则弦心距为，解得r2=12，可得圆的标准方程为x2+y2=12.
故选：C.
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（ ）
A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 平行或在平面内
【答案】D
【解析】
【分析】计算结果，从而可判断.
【详解】因为，所以，
所以直线与平面平行或在平面内.
故选：D.
5. 对于圆上任意一点，的值与，无关，则当时，的最大值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式可得到表示点到直线和直线的距离和的倍，从而可得出当时，的最大值是两平行线间距离的一半.
【详解】因为，
所以表示点到直线和直线的距离和的倍.
所以要使的值与，无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，
又因为，
所以两平行线和之间的距离为，
所以的最大值是.
故选：C.
6. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（ ）

A. 5B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为一组基底，表示求解.
【详解】解：以为一组基底，
则，
，
，
，
，
，
，
所以.
故选：D
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.
【详解】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线过点，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角为，则方程为
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则方程为
C. 直线与圆：始终相交
D. 若直线和以为端点的线段有公共点，则直线的斜率
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线方程的形式，可判定A正确，截距的定义，分类讨论，可判定B错误；根据点与圆的位置关系，可判定C正确；根据直线的位置关系和斜率公式，可判定D错误.
【详解】对于A中，当直线的倾斜角为，则过点的直线方程为，所以A正确；
对于B中，当直线过原点时，过点直线方程为，此时在坐标轴上的截距相等；
当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入方程，求得，此时直线方程为，所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或，所以B错误；
对于C中，由，可得点在圆内，所以直线与圆：始终相交，所以 C正确；
对于D中，根据题意，设，可得，
要使得直线和以为端点的线段有公共点，
如图所示，则满足，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知圆，下列说法正确的是（ ）
A. 若圆的半径为1，则
B. 若圆不经过第二象限，则
C. 若直线恒经过的定点在圆内，则当被圆截得的弦最短时，其方程为
D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】圆的方程化为标准方程可判断A，根据点到圆心的距离判断B，由直线所过定点及定点与圆心连线与直线垂直判断C，根据切点写出切线方程，再由曲线与方程的关系得出切点弦所在直线方程判断D.
【详解】圆的标准方程为.
对于A，若圆的半径为1，则，即，故A正确；
对于，因为圆心在第四象限，所以若圆不经过第二象限，则原点不在圆内，则，即，故B错误；
对于，直线恒经过定点，当被圆截得的弦最短时，，因为的斜率为1，所以的斜率为，其方程为，故C错误；
对于D，当时，圆的方程为，其半径，
设切点，则直线的方程分别为，因为点在切线上，所以，即，所以直线的方程为，故D正确.
故选：AD
11. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，两两共面，则，，共面
C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
【答案】AD
【解析】
【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.
【解答】解：，，是空间的三个单位向量，
由，，则，故A正确；
，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；
由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；
若 是空间一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．
故选：AD.
12. 在正方体中，分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面B. 直线与平面所成角的正弦值为定值
C. 平面平面D. 点到平面的距离为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】设正方体边长为，以为坐标原点，为轴建立坐标系，利用空间向量法对各选项逐一判断即可.
【详解】设正方体边长为，
以为坐标原点，为轴建立如图所示坐标系，

选项A：，，，，
则，，，
设平面的法向量，则，
取可得平面的一个法向量，
因为，所以平面，A正确；
选项B：设，则，
由正方体的性质可知为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则不是定值，B错误；
选项C：，，，
则，，
设平面的法向量，则，
取可得平面的一个法向量，
因为，所以平面平面，C正确；
选项D：设 ，则，
则点到平面的距离是定值，D正确；
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可.
【详解】根据题意可得，设 ，则设，
即
故 ，不妨令，则，故．
故答案为：
14. 已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到，求出最小值，进而求出答案.
【详解】因为互相垂直，所以，
，
当且仅当时，取得最小值，最小值为9，
则的最小值为3.
故答案为：3
15. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得的重心和外心，进而求得的欧拉线的方程，结合两直线平行，即可求解.
【详解】由的顶点为，
可得的重心为，即为，
由为直角三角形，所以外心在斜边的中点，即，
可得三角形的欧拉线方程为，
因为直线与平行，可得，
解得.
故答案为：.
16. 一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为___________；若曲线是直线族的包络线，则的长为___________.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，分析方程，即可求解.
【详解】由题意，若圆：是直线族的包络线，
可得，可得；
又由曲线是直线族的包络线，
可得为定值，则，可得，此时，
所以曲线的方程为，所以曲线的周长为.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，.
（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.
【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）
【解析】
【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.
(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.
【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.
且.
因为向量与垂直,
所以
即.
所以实数和的值分别为和.
(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.
因为,
所以
所以实数的值为.
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.
18. 已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知点为直线上一动点，求最小值.
试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三种不同的条件，求出直线的斜率，得出直线的点斜式方程，在转化为一般式即可.
（2）设点关于直线的对称点为，利用中点坐标在直线上和两直线垂直斜率之积为，列出方程组求出对称点的坐标，利用对称即可求得最短距离.
【小问1详解】
解：若选①，由直线的方向向量为得，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以直线的一般式方程为.
若选②，直线经过与的交点，
联立，解得，
所以交点坐标为，
直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以直线的一般式方程为.
若选③，由题意设直线的方程为，则
所以直线的一般式方程为.
【小问2详解】
解：设点关于直线的对称点为，
由题意得，，解得，
所以，
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
（2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离.
【小问1详解】
因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，
如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，
，
所以直线DE和PF夹角的余弦值为.
【小问2详解】
由（1）知，，，，
设平面PBF的法向量，则，令，得，
所以点E到平面PBF的距离为.
20. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.
（1）求圆的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆，根据圆心在直线上，圆经过点，并且直线与圆相交所得的弦长为，列出关于的方程组，解出的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；
（2）点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为，又因为，利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.
【小问1详解】
设圆，
因为圆心在直线上，所以有：，
又因为圆经过点，所以有：，
而圆心到直线的距离为 ，
由弦长为4，我们有弦心距，所以有，
联立成方程组解得：或，
又因为通过了坐标原点，所以舍去.
所以所求圆的方程为： ，
化为一般方程为： .
【小问2详解】
点关于轴的对称点，
反射光线所在的直线即为，又因为，
所以反射光线所在的直线方程为：，
所以反射光线所在的直线方程的一般式为： .
21. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．
【详解】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
22. 已知的三个顶点分别为，，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）是，-5
【解析】
【分析】（1）设，利用距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）设直线和直线的斜率之积为，设，，，即可得到，再由，为圆：上及，消去参数得到关于的方程，解得即可.
【小问1详解】
设，由则，
化简得动点的轨迹的方程为．
【小问2详解】
设直线和直线的斜率之积为，
事实上，若，则直线必过原点，从而的坐标为，不合题意，舍去．
设，，，则，①，
则，
又，在圆：上，则，，
所以化简得：，
整理得②，
因为，所以，
从而，又为曲线的动点，
所以展开得，
将①代入：，
化简得：，
将②代入：，整理得：，
因为，所以，从而，所以．