高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

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①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解析】由题意知，说法①中，只要是不共线的一对向量就可以作为该平面的基底，故说法①错；则②③显然正确，故选B.
2．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，向量，且，，，
可得，即共线，所以三点共线，
故选A.。
3．（2019·全国高一课时练习）在中，，．若点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，故选A．
4．（2019·全国高一课时练习）已知向量不共线，若向量与的方向相反，则等于（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】C
【解析】∵向量与的方向相反，∴.
由向量共线的性质定理可知，存在一个实数，使得，
即，解得.
当时，向量与是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去；
∴.
故选C。
5．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知非零向量，满足，给出以下结论，其中正确结论是（ ）
A.若与不共线，与共线，则；
B.若与不共线，与共线，则；
C.存在实数，使得与不共线，与共线；
D.不存在实数，使得与不共线，与共线
【答案】AD
【解析】因为非零向量，满足，
若与不共线，与共线，可得，即，，解得，所以A正确，B错误.
若与共线，可得，可得与共线，所以C错误，D正确.故选AD。
6．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（ ）
A.且；
B.存在相异实数入，使；
C.（其中实数满足）；
D.已知梯形，其中。
【答案】AB
【解析】A由得，所以，故A正确；
B因为存在相异实数入，使；所以，所以，故B正确；
C若，则，但不一定共线，故C错误；
D梯形中，没有说明哪组对边平行，故D错误.
故选AB。
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）设向量与不共线，若，，，且三点共线，则_______.
【答案】
【解析】
三点共线且向量与不共线
，解得：
本题正确结果：
8．如图，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
【答案】
【解析】如图，设M是AC的中点，则＋＝2.又＋＝－2，∴＝－，即O是BM的中点，∴ S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，即＝.
9．如图所示，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．
【答案】6
【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则．
在直角△OCD中，因为，∠COD=30°，∠OCD=90°，
所以，，
故，，
即，
所以.
10．如图所示，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则的取值范围是______；当时，的取值范围是______．
【答案】；
【解析】由题意得：
设
＝.
由得
因为，所以当时，有，
解得
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练习）已知为两个不共线的向量，若四边形满足，
（1）将用表示；
（2）证明四边形为梯形.
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】（1）

（2）因为，即，
所以与同方向，且的长度为的长度的2倍，
所以在四边形中，，且，
所以四边形是梯形.
12．（2019·全国高一课时练习）在梯形ABCD中，，分别是的中点，且.设，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式:.
【答案】,,
【解析】如图，∵，且，
∴.
又∵，
∴.
∵
∴
.