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重庆市名校联盟2023-2024学年度高二上学期期中联考数学试题
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这是一份重庆市名校联盟2023-2024学年度高二上学期期中联考数学试题，共7页。
数学试题（高2025届）
【命题学校：万州高级中学 命题人：莫益梅 审题人：石龙飞】
（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，若，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
4．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
7．如图，平面与平面所成的二面角是是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．若过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率可为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面．下列结论正确的是（ ）
A．B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥D．平面平面
11．圆和圆的交点为则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
C．公共弦的长为
D．圆上存在三个点到直线的距离为
12．已知正四面体的棱长为2，点分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若取得最小值，则
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．直线到平面的距离为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量且，则__________．
14．已知方程表示圆，则整数可以是__________（答案不唯一，写一个即可）．
15．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，则欧拉线的方程为__________．
16．如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为__________，点的轨迹的长度为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）三角形的三个顶点是．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
18．（12分）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．
（1）证明：；
（2）当为针角时，求的取值范围．
19．（12分）已知圆．
（1）过点向圆作切线，求切线的方程；
（2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值．
20．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知条件．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件：①；②；③到平面的距离为1．
21．（12分）已知圆心在轴的正半轴上，且半径为2的圆被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）设动直线与圆交于两点，则在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为6的正三角形，．
（1）求点到平面的距离；
（2）点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．
重庆市名校联盟2023-2024学年度第一期期中联合考试
数学试题参考答案（高2025届）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—8 ABCA DABB
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．BD 10．ABC 11．ABD 12．BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．1（答案不唯一，小于2的整数都可以） 15． 16．
7．【详解】过作，垂足为，假定和均为正方形，且边长为1
则平面，故，又平面
故直线在平面内的射影为，由已知可得，
则以直线与平面所成的角正弦值，
所以直线与平面内直线所成的角正弦值最小为，
而直线与所成角最大为（异面垂直），即最大正弦值为1．故选：B
12．【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以所在直线为轴，轴，轴，如图所示，因为正四面体的长为2，所以正方体的棱长为，
则，因为点分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为，
所以
设，则，
所以，
所以，
，
对于A：因为，
，
所以，
当时，即，取得最小值，故A错误；
对于B：若，则，所以，
因为，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
因为，所以平面，即平面，故B正确；
对于C：若平面，则，即，即，
设平面的一个法向量为，因为，
则，取，则，
因为，所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，
又因为点为等边三角形的重心，所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，
设三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C选项正确；
对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，所以，
设平面的一个法向量为，因为，
所以，取，则，
因为，且直线平面，所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
则点到平面的距离，
即直线到平面的距离为，故D正确，
故选：BCD．
16．【详解】由为边的中点知：且，
易知，而，故面，故与的夹角为．
若是的中点，又为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故且，故的轨迹与到的轨迹相同。因为面，所以到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
解：（1）边所在直线的斜率
因为所在直线的斜率与高线的斜率乘积为，所以高线的斜率为，
又因为高线所在的直线过
所以高线所在的直线方程为，即
（2）设中点为，则中点，又，
所以边上的中线所在的直线方程为：，即：
18．（本小题满分12分）
解：（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则；
，
因为，所以，
所以，
所以，所以．
（2），
因为为针角，所以，
解得．
又因为在上恒成立，所以．
19．（本小题满分12分）
（1）若切线的斜率不存在，则切线的方程为．
若切线的斜率存在，设切线的方程为，即．
因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为2，
即，解得，
所以切线的方程为，即．
综上，切线的方程为或．
（3）圆心到直线的距离为，直线与圆相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
20．（本小题满分12分）
（1）证明：取的中点为，连接．
分别是的中点，．
是的中点，
直三棱柱．．
四边形为平行四边形．
又平面平面，所以平面．
（2）解：选择条件①：；
直三棱柱平面平面，
平面，
所以平面．而平面
又．
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，则
．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
选择条件②：；
取的中点为，连接．
直三棱柱分别是的中点，
平面平面，
平面，
所以平面．而平面．
分别是的中点，．
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如
图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，则
．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
选择条件③：到平面的距离为1．
过点作，垂足为直三棱柱，
平面平面，
平面，
所以平面．平面．所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以．又，所以
又因为是的中点，所以是的中点，．∴
又．
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，则
．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
21．（本小题满分12分）
（1）设圆的方程为：
圆心到直线的距离
根据垂径定理得，解得，
，故圆的方程为
（2）假设存在定点，使得直线与直线关于轴对称，那么，
设，联立得：
由
，，
．，．
故存在，当点为时，直线与直线关于轴对称．
22．（本小题满分12分）
解：（1）取的中点，连接．
因为是三棱锥的高，即平面，
因为平面，所以．
因为的中点为，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以．
又因为是边长为6的正三角形，的中点为
所以，，即点在上．
所以，．
过点作，交于，则两两垂直，
所以，以为坐标原点，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，点到平面的距离为．
（2）结合（1）得，
所以，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，，设．
所以，．
设平面的法向量为，
则，即取，则
所以，，当且仅当时，等号成立．
所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．
数学试题（高2025届）
【命题学校：万州高级中学 命题人：莫益梅 审题人：石龙飞】
（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，若，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
4．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
7．如图，平面与平面所成的二面角是是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．若过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率可为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面．下列结论正确的是（ ）
A．B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥D．平面平面
11．圆和圆的交点为则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
C．公共弦的长为
D．圆上存在三个点到直线的距离为
12．已知正四面体的棱长为2，点分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若取得最小值，则
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．直线到平面的距离为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量且，则__________．
14．已知方程表示圆，则整数可以是__________（答案不唯一，写一个即可）．
15．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，则欧拉线的方程为__________．
16．如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为__________，点的轨迹的长度为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）三角形的三个顶点是．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
18．（12分）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．
（1）证明：；
（2）当为针角时，求的取值范围．
19．（12分）已知圆．
（1）过点向圆作切线，求切线的方程；
（2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值．
20．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知条件．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件：①；②；③到平面的距离为1．
21．（12分）已知圆心在轴的正半轴上，且半径为2的圆被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）设动直线与圆交于两点，则在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为6的正三角形，．
（1）求点到平面的距离；
（2）点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．
重庆市名校联盟2023-2024学年度第一期期中联合考试
数学试题参考答案（高2025届）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—8 ABCA DABB
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．BD 10．ABC 11．ABD 12．BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．1（答案不唯一，小于2的整数都可以） 15． 16．
7．【详解】过作，垂足为，假定和均为正方形，且边长为1
则平面，故，又平面
故直线在平面内的射影为，由已知可得，
则以直线与平面所成的角正弦值，
所以直线与平面内直线所成的角正弦值最小为，
而直线与所成角最大为（异面垂直），即最大正弦值为1．故选：B
12．【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以所在直线为轴，轴，轴，如图所示，因为正四面体的长为2，所以正方体的棱长为，
则，因为点分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为，
所以
设，则，
所以，
所以，
，
对于A：因为，
，
所以，
当时，即，取得最小值，故A错误；
对于B：若，则，所以，
因为，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
因为，所以平面，即平面，故B正确；
对于C：若平面，则，即，即，
设平面的一个法向量为，因为，
则，取，则，
因为，所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，
又因为点为等边三角形的重心，所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，
设三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C选项正确；
对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，所以，
设平面的一个法向量为，因为，
所以，取，则，
因为，且直线平面，所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
则点到平面的距离，
即直线到平面的距离为，故D正确，
故选：BCD．
16．【详解】由为边的中点知：且，
易知，而，故面，故与的夹角为．
若是的中点，又为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故且，故的轨迹与到的轨迹相同。因为面，所以到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
解：（1）边所在直线的斜率
因为所在直线的斜率与高线的斜率乘积为，所以高线的斜率为，
又因为高线所在的直线过
所以高线所在的直线方程为，即
（2）设中点为，则中点，又，
所以边上的中线所在的直线方程为：，即：
18．（本小题满分12分）
解：（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则；
，
因为，所以，
所以，
所以，所以．
（2），
因为为针角，所以，
解得．
又因为在上恒成立，所以．
19．（本小题满分12分）
（1）若切线的斜率不存在，则切线的方程为．
若切线的斜率存在，设切线的方程为，即．
因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为2，
即，解得，
所以切线的方程为，即．
综上，切线的方程为或．
（3）圆心到直线的距离为，直线与圆相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
20．（本小题满分12分）
（1）证明：取的中点为，连接．
分别是的中点，．
是的中点，
直三棱柱．．
四边形为平行四边形．
又平面平面，所以平面．
（2）解：选择条件①：；
直三棱柱平面平面，
平面，
所以平面．而平面
又．
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，则
．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
选择条件②：；
取的中点为，连接．
直三棱柱分别是的中点，
平面平面，
平面，
所以平面．而平面．
分别是的中点，．
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如
图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，则
．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
选择条件③：到平面的距离为1．
过点作，垂足为直三棱柱，
平面平面，
平面，
所以平面．平面．所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以．又，所以
又因为是的中点，所以是的中点，．∴
又．
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，则
．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
21．（本小题满分12分）
（1）设圆的方程为：
圆心到直线的距离
根据垂径定理得，解得，
，故圆的方程为
（2）假设存在定点，使得直线与直线关于轴对称，那么，
设，联立得：
由
，，
．，．
故存在，当点为时，直线与直线关于轴对称．
22．（本小题满分12分）
解：（1）取的中点，连接．
因为是三棱锥的高，即平面，
因为平面，所以．
因为的中点为，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以．
又因为是边长为6的正三角形，的中点为
所以，，即点在上．
所以，．
过点作，交于，则两两垂直，
所以，以为坐标原点，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，点到平面的距离为．
（2）结合（1）得，
所以，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，，设．
所以，．
设平面的法向量为，
则，即取，则
所以，，当且仅当时，等号成立．
所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．
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