高考数学导数及其几何意义练习

这是一份高考数学导数及其几何意义练习，共4页。试卷主要包含了曲线在点处切线的斜率等于，设函数在处可导，则等于，曲线在点处的切线的倾斜角为等内容，欢迎下载使用。
1．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是
A．，B．C．D．，
2．曲线在点处切线的斜率等于
A．B．C．2D．1
3．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A．B．C．D．
4．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A．B．，，C．D．
5．已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A．B．C．D．
6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为
A．B．C．D．
7．设存在导函数且满足，则曲线上的点，（1）处的切线的斜率为
A．B．C．1D．2
8．设函数在处可导，则等于
A．B．C．D．
9．曲线在点处的切线的倾斜角为
A．B．C．D．
10．如图，函数的图象在点处的切线是，则（2）（2）
A．B．3C．D．1
11．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为
A．B．C．D．
12．已知函数为偶函数，则的导函数的图象大致为
A．B．C．D．
13．若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是
A．，B．C．D．
二．多选题（共2小题）
14．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是
A．函数的增区间是，
B．函数的增区间是，
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
15．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是
A．B．C．D．
三．填空题（共15小题）
16．函数的图象在处的切线方程为，则（2）（2） ．
17．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ．
18．设函数的导数为，且，则（1） ．
19．正弦曲线上一点，正弦曲线的以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是 ．
20．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
21．若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ．
22．定义在区间，上的连续函数，如果，，使得（b）（a），则称为区间，上的“中值点”．下列函数：
①；
②；
③；
④，
在区间，上“中值点”多于一个的函数序号为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）
23．已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ．
24．函数在处的切线的斜率为 ．
25．函数的图象在点，（1）处的切线的斜率为 ．
26．若指数函数且与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
27．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 ．
28．已知函数在处的导数为，则 ．
29．已知函数的图象在点，（1）处的切线方程是，则（1）（1）的值是 ．
30．已知函数的导数，且满足（1），则（e） ．
四．解答题（共3小题）
31．已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线相切的直线方程．
32．已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：．
33．求曲线在处的切线的倾斜角．
导数及其几何意义
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是
A．，B．C．D．，
【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数，，都有恒成立”转换成，构造函数，根据增减性求出导函数，即可求出的范围．
【解答】解：对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，假设，
，即对于任意成立，
令，在为增函数，
在上恒成立，
，则
故选：．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题．
2．曲线在点处切线的斜率等于
A．B．C．2D．1
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】解：函数的导数为，
当时，（1），
即曲线在点处切线的斜率（1），
故选：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
3．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A．B．C．D．
【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在，处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．
【解答】解：若，则，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是，，，围成的三角形面积为，故选．
【点评】函数在处的导数的几何意义，就是曲线在点，处的切线的斜率，过点的切线方程为：
4．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A．B．，，C．D．
【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．
【解答】解：，，
，，，
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率．
5．已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A．B．C．D．
【分析】设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．
【解答】解：设切点坐标为，
，，
切线的斜率是，
切线的方程为，
将代入可得，，
切线的斜率是；
故选：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．
6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为
A．B．
C．D．
【分析】先从的图象判断出的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象
【解答】解：由的图象判断出可得从左到右函数的单调性在轴左侧先增，再减，
在轴的右侧，函数单调递减，
导函数的图象可能为区间内，先有，
再有，在再有．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题
7．设存在导函数且满足，则曲线上的点，（1）处的切线的斜率为
A．B．C．1D．2
【分析】根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出．
【解答】解：在点，（1）处的切线的斜率为（1），
故选：．
【点评】本题考查极限的定义的应用，曲线在某处切线斜率的意义，属于基础题．
8．设函数在处可导，则等于
A．B．C．D．
【分析】根据导数的几何意义，以及导数的极限表示形式进行化简变形，得到结论．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的极限表示形式，本题属于中档题．
9．曲线在点处的切线的倾斜角为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设曲线在该点处切线的倾斜角为，求出曲线方程的导数，进而求出的值，即可得切线的斜率，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设曲线在该点处切线的倾斜角为，
曲线方程为，其导数，
则有，则切线的斜率；
则有，故；
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．
10．如图，函数的图象在点处的切线是，则（2）（2）
A．B．3C．D．1
【分析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出的式子，进而可求出的式子，即可求得结果．
【解答】解：由图象可得：函数的图象在点处的切线是与轴交于，与轴交于，则可知
，（2），（2）
代入则可得（2）（2），
故选：．
【点评】本题考查导数性质的基本应用，结合图形的基本性质即可求得答案．
11．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为
A．B．C．D．
【分析】曲线在处的切线的倾斜角为，所以，所以，将代入即可．
【解答】解：依题意，，所以，
所以，
故选：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题．
12．已知函数为偶函数，则的导函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】根据函数为偶函数求得的值，再求出的导函数，
利用导数判断的单调性与极值，从而得出函数的大致图象．
【解答】解：函数为偶函数，
则，解得，
，
；
设，
则，
令，解得，
当时，，
当时，；
在时取得极大值为
，
导函数的图象大致为选项所示．
故选：．
【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．
13．若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是
A．，B．C．D．
【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程．
【解答】解：设切点为，，过点的切线方程为，代入点坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到，函数在上单调递减，在上单调递增，在
上单调递减，故得到，即
故选：．
【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键．
二．多选题（共2小题）
14．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是
A．函数的增区间是，
B．函数的增区间是，
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【分析】根据题意，由函数的图象分析导函数的符号，进而可得的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象可知：
当时，，，此时为增函数，
当时，，，此时为减函数，
当时，，，此时为减函数，
当时，，，此时为增函数；
据此分析选项：函数的增区间是，，则正确，错误；
是函数的极大值点，是函数的极小值点，则正确，错误；
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题．
15．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是
A．B．C．D．
【分析】通过解方程，看是否有解即可解决此题．
【解答】选项中，由得：，△，无解，函数无巧值点，故不选；
选项中，由得：，解得：，函数有巧值点，故选；
选项中，由得：，无解，函数无巧值点，故不选；
选项中，由得：，函数与在第一象限有一个交点，方程有一个解，函数有巧值点，故选；
故选：．
【点评】本题考查导数运算、方程思想、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题．
三．填空题（共15小题）
16．函数的图象在处的切线方程为，则（2）（2） ．
【分析】先将代入切线方程可求出（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出（2）的值，最后相加即可．
【解答】解：由已知切点在切线上，
所以（2），
切点处的导数为切线斜率，
所以（2），
所以（2）（2）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．
17．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ．
【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出的范围，再根据，结合正切函数的图象求出角的范围．
【解答】解：根据题意得，
，
且
则曲线上切点处的切线的斜率，
又，结合正切函数的图象
由图可得，
故答案为：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
18．设函数的导数为，且，则（1） 0 ．
【分析】根据题意，求出函数的导数，令可得：，解可得的值，即可得的解析式，将代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，，其导数，
令可得：，解可得，
则，
故（1），
故答案为：0．
【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
19．正弦曲线上一点，正弦曲线的以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是 ，， ．
【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出的范围，再根据，结合正切函数的图象求出角的范围．，再根据导数的几何意义可知，结合正切函数的图象求出角的范围．
【解答】解：根据题意得，
，
则曲线上切点处的切线的斜率，
又，结合正切函数的图象
由图可得，，，故答案为：，，．
【点评】本题考查了导数的几何意义、正弦函数的导数、余弦函数的值域等基本知识，以及利用正切函数的图象求倾斜角，考查运算求解能力，考查数形结合思想．
20．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
【分析】先求出曲线的导数，得到曲线在处的斜率，再根据切线的倾斜角为，得到的值，进一步求出的值．
【解答】解：由，得，
曲线在处的切线斜率，
曲线在处的切线的倾斜角为，
，．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，三角恒等变换，二倍角公式和直线的斜率与倾斜角之间的关系，考查了转化思想，属基础题．
21．若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】先对函数求导，然后令导函数等于0得到关于，的关系式，再由基本不等式可求出的范围．
【解答】解：
由题意可知存在实数使得，即成立
（当且仅当，即时等号取到）
故答案为：，
【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率．
22．定义在区间，上的连续函数，如果，，使得（b）（a），则称为区间，上的“中值点”．下列函数：
①；
②；
③；
④，
在区间，上“中值点”多于一个的函数序号为 ①④ ．（写出所有满足条件的函数的序号）
【分析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间，上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间，的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．
【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间，上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间，的两个端点连线的斜率值．如图．
对于①，根据题意，在区间，上的任何一点都是“中值点”，故①正确；
对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间，只存在一个“中值点”，故②不正确；
对于③，在区间，只存在一个“中值点”，故③不正确；
对于④，根据对称性，函数在区间，存在两个“中值点”，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题．
23．已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 3 ．
【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．
【解答】解：设切点的横坐标为，
曲线的一条切线的斜率为2
解得：或
故答案为：3
【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．
24．函数在处的切线的斜率为 1 ．
【分析】利用导数的几何意义即可得出．
【解答】解：，
．
在处的切线斜率为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
25．函数的图象在点，（1）处的切线的斜率为 81 ．
【分析】利用导数的求导法则先求出，然后由导数的几何意义求解（1）即可．
【解答】解：函数，
所以，
故（1）．
故答案为：81．
【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了导数几何意义的理解，考查了运算能力，属于基础题．
26．若指数函数且与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
【分析】先分析函数单调性，值域；再分两种情况当时，当时，讨论在上单调性，值域，发现当时，只能是在上函数与有两个交点在上，方程有两个不等实数根，在上，方程有两个不等实数根，令，，求导，分析单调性，最值，进而得出答案．
【解答】解：函数在上单调递增，在上，在上，
当时，在上单调递减，且
所以两个函数图象只有一个交点，不符合题意，
当时，在上单调递增，且，
所以只能是在上函数与有两个交点，
即在上，方程有两个不等实数根，
所以在上，方程有两个不等实数根，
令，
，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（e），
所以，
所以．
故答案为：
【点评】本题考查函数图象交点，方程的根，以及利用导数求最值，属于中档题．
27．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 1 ．
【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，结合方程组求出常数和即可．
【解答】解：，，
，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标
它也在切线上，
代入，得．
常数为：1．
故答案为：1．
【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线的斜率的概念等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
28．已知函数在处的导数为，则 ．
【分析】根据题意，由导数的定义可得，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数在处的导数为，即，
而，
故答案为：
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及极限的计算，属于基础题．
29．已知函数的图象在点，（1）处的切线方程是，则（1）（1）的值是 2 ．
【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出（1）的值，把（1）和（1）代入（1）（1）即可．
【解答】解：点，（1）是切点，在切线上，
（1），（1）
函数的图象在点，（1）处的切线方程是，切线斜率是
即（1）
（1）（1）
故答案为2
【点评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的应用．
30．已知函数的导数，且满足（1），则（e） 3 ．
【分析】先对求导数，再求（1）可解决此题．
【解答】解：（1），，（1），，（e）．
故答案为：3．
【点评】本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
31．已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线相切的直线方程．
【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点处的值为切线方程的斜率可得答案．
（2）先设切点坐标，然后得出斜率的表达式求出斜率，最后根据直线的点斜式方程可得答案．
【解答】解：（1）
当时，
点处的切线方程为：即：
（2）设切点坐标为
则直线斜率，
而，
整理得到：
解得，，
当时：，直线方程为；
当时，，直线方程为
当时，，直线方程为
【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于过该点的曲线的切线的斜率．
32．已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：．
【分析】（1）由利用导数研究函数的单调性得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由利用导数研究函数的极值得：令，，则只需证明，由于，故在上单调递减，所以（1）．
又当时，，，故，所以对任意的，．得解．
【解答】解：（1）由题得，其中，
考察，，其中对称轴为，△．
①若，则△，
此时，则，所以在上单调递增；
②若，则△，
此时在上有两个根，，且，
所以当时，，则，单调递增；
当，时，，则，单调递减；
当，时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，
所以．
令，，
则只需证明，
由于，
故在上单调递减，
所以（1）．
又当时，，，
故，
所以对任意的，．
综上，可得，
故命题得证．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值，属综合性较强的题型．
33．求曲线在处的切线的倾斜角．
【分析】求出函数在出的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系，即可解出．
【解答】解：，
所以函数在处的导数为：，
故该直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，，，
．
【点评】本题考查了导数的应用，直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．