四川省苍溪中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份四川省苍溪中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共45页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线l过点0，3，且与直线x-y-1=0平行，则l的方程是（ ）
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x-y+3=0 D.x+y-3=0
3.若直线l的方向向量为a=1，0，2，平面α的法向量为n=-2，0，-4，则（ ）
A.l//α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交
4.如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（ ）
A.12a+12b-23c B.
C.D.
5.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A.直线的倾斜角为 B.过点与直线平行的直线方程为
C.向量是直线的一个方向向量 D.若直线，则
6.如图，在长方体中，，，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2，0)，若将军从山脚下的点A(3，0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线l1:x+2y+t2=0和直线l2:2x+4y+2t-3=0，则当l1与l2间的距离最短时，t的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
二、多选题（每小题5分，共20分，漏选得2分，错选多选得0分）
9.已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.向量的夹角为D.在方向上的投影是
10.设直线，，其中实数，满足，则（ ）
A.与平行B.与相交
C.与的交点在圆上D.与的交点在圆外
11.已知点，，直线l的方程为，且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值可以为（ ）
A. B.0C.1D.2
12.在四面体中，以下说法正确的有（ ）
A.若，则可知
B.若Q为△的重心，则
C.若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则=1
D.若，，则
三、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知空间向量，，且与垂直，则等于 ___.
13.写出截距相等且过点的直线方程________.
15.在棱长为2的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，则点O到直线的距离为________.
16.已知直线与圆交于A、B两点，直线垂直平分弦AB，则a的值为______.
四、解答题（共70分）
17.已知空间向量，，.
(1)若，求；(2)若与相互垂直，求.
18.已知三个顶点是
(1)求边上的垂直平分线的直线方程；(2)求的面积
19.已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求切线方程.
20.平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.
(1)求的长；
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
21.如图，在直三棱柱中，.
(1)若为中点，求证：平面平面；
(2)若二面角的大小为60°，求的长.
22.已知直线l:m+2x+1-2my+4m-2=0与圆C:x2-2x+y2=0交于M，N两点.
(1)求出直线l恒过定点的坐标
(2)求直线l的斜率的取值范围
(3)若O为坐标原点，直线的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
苍溪中学校高2022级高二上学期第一次学段考试答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．【答案】D
【分析】利用中点坐标公式直接求解．
【详解】因为点，
所以线段的中点坐标是，即．
故选：D
2．C
3．B
4．【答案】A
【分析】由题意结合图形，直接利用，即可求解．
【详解】因为空间四边形中，，点在线段上，且，点为中点，
所以，
所以．
故选：A
5．【答案】D
【分析】求出直线的倾斜角可判断A，由直线的方向向量可判断B，由直线平行设所求，代点即可判断C，由直线垂直可判断D
【详解】对于A：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误；
对于B：因为直线的方向向量为或，
所以的方向向量为或，故B错误；
对于C：因为与直线平行的直线方程可设为，
又直线过点，故，解得，
故所求直线为，故C错误；
对于D：，则，
所以，故D正确；
故选：D
6．【答案】B
【分析】构建空间直角坐标系，求的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求与所成角的余弦值即可．
【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
故选：B
7．【解析】
如图，设关于直线对称的点为，
则有，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC，
此时，
故选：C
8．【答案】A
【分析】利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解．
【详解】解：
∵直线即为直线直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，的值为．
故答案选：A
二、多选题（每小题5分，共20分，漏选得2分，错选多选得0分）
9．【答案】AC
【分析】根据向量垂直、模、夹角的运算判断ABC选项的正确性，根据向量投影的计算公式判断D选项的正确性．
【详解】对选项A，，因为，所以，故A正确；
对选项B，，所以，故B错误；
对选项C，，所以向量的夹角为，故C正确；
对选项D，在方向上的投影是，故D错误．
故选：AC
10．【答案】BC
【分析】根据直线的斜截式方程知两斜率相乘为是两直线互相垂直，即相交，再利用联立两直线求出交点坐标，在找到关系即可得到答案．
【详解】∵与不可能相等，，故与垂直即相交，故B正确；与的交点为，故与的交点在圆上．
故选：BC．
11．【答案】CD
【分析】首先判断出直线经过定点，根据两点间的斜率公式，再结合图形即可求出斜率的取值范围，进而选出答案．
【详解】因为，
所以，
由解得，所以直线经过定点，
又因为点，在坐标系中画出图形
结合图形可知直线与线段有公共点，则或，
所以或，
所以的值可以为1，2
故选：CD
12．【答案】ABD
【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求的线性关系；C：由正四面体性质求的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论．
【详解】A：由，则在线段上，又，若，则，又，故，所以，即，正确；
B：若为的中点，，又，而，所以，又，则，整理得，正确；
C：由题设知：，即，且，故，错误；
D：若，则，又，所以，整理得
，故，正确．
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．【答案】4
【分析】根据向量垂直数量积等于0列方程即可求解．
【详解】因为向量，且与垂直，
所以，可得，
故答案为：4．
14．【答案】或
15．【答案】
【分析】如图，以为原点建系，利用向量法即可求出答案．
【详解】解：如图，以为原点建系，
则，
则，
则，
又，所以，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
16．【答案】4
【分析】由题意可得直线与垂直，可求出的值，再由直线垂直平分弦，可得直线过圆心，可求出．
【详解】因为直线与垂直，
所以，得，
由，得，则圆心为，
因为直线垂直平分弦，
所以直线过圆心，
所以，解得，
故答案为：4
四、解答题（共70分）
17．【答案】（1）（2）
18．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意可得的中点和的斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可；
（2）由（1）得的方程，可得到的距离，再求得的长度，代入三角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）∵，则所求直线的斜率为：
又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：；
（2）直线的方程为：，则点到直线
的距离为：．
【点睛】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积，及点到直线的距离，属于基础题．
19．【答案】（1）；
（2）和．
【分析】（1）设圆心，由半径可构造方程求得，由此得到圆心和半径，进而得到圆的方程；
（2）当切线斜率存在时，假设切线方程，利用圆心到直线距离可构造方程求得，由此可得切线方程；当过直线斜率不存在时，是圆的切线；综合可得切线方程．
（1）∵圆心在直线上，∴可设圆心，
∴，解得：，则圆心，
∴圆的半径，
∴圆的方程为；
（2）当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即，
∴圆心到直线的距离，解得：，
∴切线方程为，即；
当直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离是3，是圆的切线；
综上所述：过点的圆的切线方程为和．
20．答案（1）（2）
21．【答案】（1）证明详见解析；（2）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明平面，根据面面垂直的判定即可得到结果；（2）根据二面角的大小，求出两个平面的法向量，用夹角公式解决．
【详解】（1）如图，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，，
即，
；
又平面．
又平面，根据面面垂直的判定定理，
∴平面平面．
（2）设，则，
设平面的法向量为．
则由取，得
又平面的法向量为，则由，解得，于是．
22．【答案】（1）；（2）；（3）为定值1．
【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标；
（2）设直线方程，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；
（3）可设直线方程，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由整理可得定值．
【详解】（1）将直线方程整理为：，
令，解得：直线恒过定点；
（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；圆方程可整理为，则其圆心，半径，∵直线与圆交于两点，∴圆心到直线距离，即，解得：，即直线斜率的取值范围为；
（3）设
当时，与圆仅有一个交点，不合题意，∴，
则直线可设直线方程为，
由得：，由（2）知：；
∴，
∴，
∴为定值1．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值．